精品數(shù)與式中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)

1、 “數(shù)與式” 中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)中考命題形勢與趨勢翻閱手中近幾年全國各地的中考試卷，仔細琢磨“數(shù)與式”的試題發(fā)現(xiàn)，這部分知識多考查實數(shù)、整式、分式以及二次根式的有關(guān)概念及其簡單運算和求值，另外還有一類新情境下的探索性、開放性問題也是本章的熱點考題.由于數(shù)與式涉及的知識點比較多，范圍比較廣，而且都是研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，所以預(yù)計2010的中考中的基礎(chǔ)知識的考查仍注重這些內(nèi)容，題型除了會加大創(chuàng)新的力度外，還將會沿襲傳統(tǒng)的題型.數(shù)與式試題的特點與數(shù)與式有關(guān)的試題的題型一般相對來說都比較小，而且大多出現(xiàn)在選擇與填空中，即使出現(xiàn)個別的解答題，一般也是靠近較前面的，好讓同學(xué)們下筆就能得分，個別探索型和開放型的

2、題目也只需同學(xué)們略動一下腦筋就能解答，一般沒有偏難的題目，更沒有同學(xué)們沒有遇到的問題，至于，試卷中會出現(xiàn)一些新定義，或簡單的閱讀理解問題，也會讓同學(xué)們一看即會明了的，總之，數(shù)與式部分的試題大多屬于送分題，同學(xué)們只要注重基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)，不遺漏任何一個知識即可.典型問題歸類例析專題1實數(shù)一、知識點1.實數(shù)的分類：按定義來分類：有理數(shù)和無理數(shù)；按正、負數(shù)來分類：正實數(shù)、0、負實數(shù).2.實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的.3.相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù).若a、b互為相反數(shù)，則a+b0，或1(a、b0).4.絕對值：從數(shù)軸上看，一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離5.倒數(shù)：乘積為1的兩個實

3、數(shù)互為倒數(shù)，即若a與b互為倒數(shù)，則ab1；反之，若ab1，則a與b互為倒數(shù).這里應(yīng)特別注意的是0沒有倒數(shù).6.科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)和有效數(shù)字：把一個數(shù)記成a×10n的形式，這種記法叫科學(xué)記數(shù)法.注意，科學(xué)記數(shù)法的實質(zhì)是有理數(shù)的乘方，其中110，n是比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)小1的正整數(shù).近似數(shù)是指近似地表示某一個量的數(shù).一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，這個近似數(shù)就精確到哪一位.由四舍五入得到的近似數(shù)精確到某一位，那么從左邊第一個不是零的數(shù)字起，到最后一位數(shù)字止，所以的都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字.7.平方根、算術(shù)平方根和立方根：若x2a（a0），則x就叫做a的平方根.一個非負數(shù)a的平方根可以符號表示為“

4、±”；正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，記為“”.如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根.8.實數(shù)的開方運算：a(a0)，.9.實數(shù)的混合運算順序：和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.10.實數(shù)的大小估算與實數(shù)大小的比較：（1）數(shù)形結(jié)合法；（2）作差法比較；（3）作商法比較；（4）倒數(shù)法；（5）平方法.二、考題例析考點1負數(shù)的意義例1（內(nèi)江市）汽車向東行駛5千米記作5千米，那么汽車向西行駛5千米記作（）a.5千米b.5千米c.10千米d

5、.0千米分析由負數(shù)的意義可知，汽車向東行駛5千米與汽車向西行駛5千米是表示兩個相反意義的量，既然汽車向東行駛5千米記作5千米，那么汽車向西行駛5千米就應(yīng)該記作與5千米相反的量.解因為汽車向東行駛5千米記作5千米，所以汽車向西行駛5千米就應(yīng)該記作5千米.故應(yīng)選b.說明本題意在讓同學(xué)們進一步體會負數(shù)的意義，知道負數(shù)的產(chǎn)生是源于生活，并服務(wù)于生活.考點2實數(shù)的概念例2（福州市）2009的相反數(shù)是（）a.2009 b.2009 c. d.分析利用相反數(shù)的定義直接求得2009的相反數(shù).解因為2009的相反數(shù)是2009，所以應(yīng)選a.說明明白相反數(shù)的意義可容易求解，即只有符號不同的兩個數(shù)稱為相反數(shù)，0的相反

6、數(shù)是0，互為相反數(shù)總是成對出現(xiàn)的，不能出現(xiàn)類似“2009是相反數(shù)”的錯誤.考點3數(shù)軸ba0-52例3（宜賓市）數(shù)軸上的點a、b位置如圖所示，則線段ab的長度為（）a.3b.5c.6d.7分析數(shù)軸上任意兩點之間的距離等于這兩點對應(yīng)的數(shù)值的差的絕對值，由此可以求解.解因為a點對應(yīng)的數(shù)值為5，b點對應(yīng)的數(shù)值為2，所以7，所以應(yīng)選d.說明利用數(shù)軸上任意兩點間的距離公式計算線段的長度時并不需要考慮數(shù)值的先后.如，本題中7.考點4科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)與有效數(shù)字例4（濟南市）2009年10月11日，第十一屆全運會將在美麗的泉城濟南召開.奧體中心由體育場，體育館、游泳館、網(wǎng)球館，綜合服務(wù)樓三組建筑組成，呈“三足

7、鼎立”、“東荷西柳”布局.建筑面積約為359800平方米，請用科學(xué)記數(shù)法表示建筑面積是（保留三個有效數(shù)字）（ ）a.35.9×105平方米 b.3.60×105平方米c.3.59×105平方米 d.35.9×104平方米 分析數(shù)據(jù)359800有6個整數(shù)位，即用科學(xué)記數(shù)法表示時10的指數(shù)為5，要求保留三個有效數(shù)字時，則從8開始四舍五入.解因為359800360000，所以用科學(xué)記數(shù)法表示為3.60×105.故應(yīng)選b.說明本題考查科學(xué)記數(shù)法和有效數(shù)字，求解時應(yīng)注意，將一個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10n(110)的形式，其中a的有效數(shù)字就是

8、a×10n的有效數(shù)字，且n等于這個數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1.考點5實數(shù)的估算例5（濟南市）估計20的算術(shù)平方根的大小在（ ）a.2與3之間 b.3與4之間c.4與5之間 d.5與6之間分析要估計20的算術(shù)平方根的大小，即估計范圍，此時，由于4216，5225，由此可以求解.解因為4252，所以20的算術(shù)平方根在4和5之間.故應(yīng)選c.說明對實數(shù)的估算，可以借助于數(shù)的平方，從而確定一個無理數(shù)的大致范圍.考點6實數(shù)的比較大小例6（常德市）設(shè)a20，b(3)2，c，d，則a、b、c、d按由小到大的順序排列正確的是（）a.cadb b.bdac c.acdb d.bcad分析可以分別求出a、b、c、d

9、的具體值，從而可以比較大小.解因為a201，b(3)29，c，d2，而129，所以cadb.故應(yīng)選a.說明比較實數(shù)的大小有好多種方法，在具體求解時應(yīng)根據(jù)題目自身的特點選擇容易比較的方法.考點7實數(shù)的運算例7（佛山市）（1）有這樣一個問題：與下列哪些數(shù)相乘，結(jié)果是有理數(shù)？a.3 b.2 c.+ d. e.0問題的答案是（只需填字母）：；（2）如果一個數(shù)與相乘的結(jié)果是有理數(shù)，則這個數(shù)的一般形式是什么（用代數(shù)式表示）？分析（1）可利用實數(shù)的運算驗證，看結(jié)果情況判斷.（2）設(shè)出這個數(shù)，從而列式求解.解（1）因為3×6，×3，0×0，所以分別與3、和0相乘，其結(jié)果為有理數(shù).

10、故應(yīng)選a、d、e.（2）設(shè)這個數(shù)為x，則根據(jù)題意，得x·a（a為有理數(shù)），所以x（a為有理數(shù)），這個數(shù)的一般形式是（a為有理數(shù)）.說明本題是考查實數(shù)的運算，其題型以前不常見，雖然不難，但請同學(xué)們應(yīng)注意關(guān)注.另外，應(yīng)注意避免對無理數(shù)的幾種錯誤認識：（1）錯誤認為無限小數(shù)就是無理數(shù)如1.414141···(41無限循環(huán)）；（2）錯誤認為帶根號的數(shù)是無理數(shù)，如；（3）錯誤認為兩個無理數(shù)的和、差、積、商也還是無理數(shù)，如+，都是無理數(shù)，但它們的積卻是有理數(shù)；（4）錯誤認為無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以無法在數(shù)軸上表示出來，這種說法錯誤，每一個無理數(shù)在數(shù)軸上都有一個唯

11、一位置，如，我們可以用幾何作圖的方法在數(shù)軸上把它找出來，其他的無理數(shù)也是如此.三、同步訓(xùn)練1.實數(shù)2，0.3，中，無理數(shù)的個數(shù)是（ ）a.2 b.3 c.4 d.52.通過世界各國衛(wèi)生組織的協(xié)作和努力，甲型h1n1流感疫情得到了有效的控制，到目前為止，全球感染人數(shù)約為20000人左右，占全球人口的百分比約為0.0000031，將數(shù)字0.0000031用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）a.3.1×105 b.3.1×106c.3.1×107d.3.1×1083.平方根節(jié)是數(shù)學(xué)愛好者的節(jié)目，這一天的月份和日期的數(shù)字正好是當年年份最后兩位數(shù)字的平方根，例如2009年的3

12、月3日，2016年的4月4日.請你寫出本世紀內(nèi)你喜歡的一個平方根（題中所舉例子除外）.年月日.4.+.專題二 整式一、考點掃描1.代數(shù)式的有關(guān)概念：代數(shù)式是由運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子.求代數(shù)式的值的方法：化簡求值；整體代入.2.整式的有關(guān)概念：只含有數(shù)與字母的積的代數(shù)式叫做單項式；幾個單項式的和，叫做多項式；所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項，叫做同類項.3.去括號與添括號：括號前面是正號，把括號和括號前的正號去掉后，括號里的各項不改變符號；括號前是負號，把括號和括號前的負號去掉，括號里的各項都要改變符號；給括號前添正號，括在括號里的各項都不改變符號；給括號前添負號

13、，括到括號里的各項都要改變符號.4.合并同類項：同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.5.乘法公式：平方差公式：(a+b)(ab)a2b2；完全平方公式：(a±b)2a2±2ab+b2.6.整指數(shù)冪的運算：am×anam+n，(am)namn，(a×b)nan×bn，am÷anam+n(a0).7.零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪：不等于零的數(shù)的零次冪等于1.即a01(a0).不等于零的數(shù)的負整數(shù)次冪等于這個數(shù)的正整數(shù)次冪的倒數(shù).即ap(a0，p是正整數(shù)).8.整式的運算：（1）加減運算：幾個整式相加減，通常用括號把每一個

14、整式括起來，再用加減號連接.整式加減的一般步驟是：如果遇到括號，按去括號法則去括號；合并同類項.（2）乘除運算：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式；單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加；多項式與多項式相乘，就是先用多項式的每一項去乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式.9.因式分解：多項式的因式分解，就是把一個多項式化為幾個整式的積.分解因式要進行到每一個因式都不

15、能再分解為止.分解因式的常用方法有：提公因式法和運用公式法.二、考題分析考點8列代數(shù)式例8（株洲市）孔明同學(xué)買鉛筆m支，每支0.4元，買練習(xí)本n本，每本2元.那么他買鉛筆和練習(xí)本一共花了元.分析買鉛筆m支，每支0.4元，則需錢0.4m元，買練習(xí)本n本，每本2元，則需錢2n元，由此可以列式求解.解因為買鉛筆m支，每支0.4元，買練習(xí)本n本，每本2元，所以鉛筆和練習(xí)本一共花了(0.4m+2n)元錢.說明列代數(shù)式的關(guān)鍵是正確掌握數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)詞，并且書寫代數(shù)式時應(yīng)注意規(guī)范性.考點9冪的運算例9（太原市）下列計算中，結(jié)果正確的是（ ）a.a2·a3a6 b.(2a)·(3a)6a c.(

16、a2)3a6 d.a6÷a2a3分析為了能準確地獲得答案，可利用冪的運算法則逐一計算驗證.解因為a2·a3a5，(2a)·(3a)6a2，a6÷a2a4，所以選項a，b，d都是錯誤的，只有(a2)3a6運算是正確的.故應(yīng)選c.說明要能正確地獵取答案，就必須熟練掌握冪的運算法則，弄清楚每一個法則的前因后果.考點10同類項例10（賀州市）已知代數(shù)式2a3bn+1與3am2b2是同類項，則2m+3n.分析利用同類項的定義，構(gòu)造出m和n的簡易方程，求得m和n即可求解.解因為代數(shù)式2a3bn+1與3am2b2是同類項，所以3m2，且n+12，解得m5，n1，當m5

17、，n1時，2m+3n2×5+3×113.說明同類項是所含字母相同，相同字母的指數(shù)也相同的項，根據(jù)同類項的定義可得字母指數(shù)的方程，然后再求代數(shù)式的值，這是中考中常出現(xiàn)的題型.考點11去括號例11（嘉興市）下列運算正確的是（）a.2(ab)2abb.2(ab)2a+bc.2(ab)2abd.2(ab)2a+2b 分析利用去括號的法則進行化簡.解因為2(ab)2a+2b，所以d是正確的，故應(yīng)選d.說明去括號時一定要注意兩點，一是括號前面是負號，去掉括號時，括括號內(nèi)的各項都要改變符號，二是括號前面有因數(shù)或因式時，去掉括號時，應(yīng)運用乘法的分配律運算，不能漏掉任何一項.考點12乘法公式

18、例12（內(nèi)江市）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（ab）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證（ ）a.(a+b)2a2+2ab+b2b.(ab)2a22ab+b2c.a2b2(a+b)(ab) d.(a+2b)(ab)a2+ab2b2aabbabb甲 圖乙乙 圖乙分析依題意，甲、乙兩個圖形中陰影部分的面積相等，由此，可列式驗證.解因為甲圖的陰影部分的面積a2b2，而乙圖的陰影部分面積(a+b)(ab)，所以a2b2(a+b)(ab).故應(yīng)選c.說明求解本題時要注意圖形在變換過程中面積的不變性，由此可以利用幾何圖形的面積公式求得

19、.考點13整式運算與因式分解例13（漳州市）給出三個多項式：x2+2x1，x2+4x+1，x22x.請選擇你最喜歡的兩個多項式進行加法運算，并把結(jié)果因式分解.分析給定的是三個多項式，要求選擇其中的兩個進行加減運算，顯然，選擇的方法不惟一，即結(jié)果不惟一，進而因式分解的結(jié)果也不惟一，但只要符合題意即可.解答案不惟一.如，情形一：x2+2x1+x2+4x+1x2+6xx(x+6)；情形二：x2+2x1+x22xx21(x+1)(x1)；情形三：x2+4x+1+x22xx2+2x+1(x+1)2.說明本題若改成“請選擇你最喜歡的兩個多項式進行加減法運算”，則情況則更多，同學(xué)們不妨一試.考點14規(guī)律探索

20、例14（欽州市）一組按一定規(guī)律排列的式子：a2，（a0）則第n個式子是（n為正整數(shù)）.分析先觀察分母，發(fā)現(xiàn)從1，2，3，4，隨項數(shù)依次遞增，第n個式子的分母應(yīng)該是n；而分子是關(guān)于a的冪，且指數(shù)分別是2，5，8，11，而23×11，53×21，83×31，113×41，第n個式子的分母應(yīng)該是3n1；再來看各項前面的符號特點是逢奇是負，逢偶是正，由此可以探索到結(jié)果.解因為a2()1，()2，()3，()4，所以第n個式子是()n.說明對于規(guī)律探索類的問題，一定要觀察一些特殊式的結(jié)構(gòu)特點，并從中找到規(guī)律性的問題，然后再將這一規(guī)律推廣，得到一般的結(jié)論.三、同步訓(xùn)

21、練5.小馬虎在下面的計算中只做對了一道題，他做對的題目是（）a.(ab)2a2b2 b.(2a3)24a6c.a3+a22a5 d.(a1)a16.一個矩形的面積為a32ab+a，寬為a，則該矩形的長為_.7.分解因式x24y2+x2y_.8.已知mx+5a1，n2x4+ax3x2，2xm+n÷x22的值與x無關(guān)，求a的值.專題三 分式一、考點掃描1.分式：整式a除以整式b，可以表示成的形式，如果除式b中含有字母，那么稱為分式.此時，若b0，則有意義；若b0，則無意義；若a0且b0，則0.2.分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變.3.通分

22、與約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分；通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母，最簡公分母應(yīng)為各分母系救的最小公倍數(shù)與所有相同因式的最高次冪的積.把一個分式的分子和分母的公團式約去，這種變形稱為分式的約分.4.分式的乘除、乘方法則：兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母；兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后，再與被除式相乘；分式的乘方要把分子、分母分別乘方.5.分式的加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進行計算.6.分式的混合運算：先

23、算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的.對于化簡求值的題型要注意解題格式，要先化簡，再代人字母的值求值.二、考題分析考點15分式的意義例15（黔東南州）當x時，有意義.分析要使分式有意義，必須滿足分式的分母不為0，從而可得到不等關(guān)系求解.解要使分式有意義，只要分母x+10，即x1，所以當x1時，分式有意義.說明分式無意義時，只要分式的分母等于0，進而構(gòu)造出方程求解.例16（安順市）已知分式的值為0，那么x的值為.分析要使分式的值為0，必須滿足分式的分子為0，而分式的分母不為0，從而列式求解.解由分式的分母x+10，得x1，而當x1時，分母x10，所以分式的值為0時，x的值為1.說明

24、處理分式的值的為0時，一定要注意強調(diào)分母不等于0，否則容易出現(xiàn)錯誤.考點16分式的基本性質(zhì)例17（濱州市）化簡：.分析先對分子與分母分別分解因式，再約去公因式.解.說明對于分式的分子或分母是多項式時，首先得進行因式分解，以便更好地發(fā)現(xiàn)公因式，進而約分.考點17分式的運算例18（包頭市）化簡÷，其結(jié)果是（ ）a.b.c.d.分析先對括號內(nèi)的第一個分式分解因式，對第二個分式的分子進行符號變換，進而進行括號內(nèi)的加法運算，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分化簡.解÷×××.故應(yīng)選d.說明有關(guān)分式的運算，一般都是考查整式的因式分解及分式的加減乘除混和運算，要注

25、意運算順序.先乘除后加減，有括號先算括號里的或按照乘法的分配律去括號.例19（武漢市）先化簡，再求值：÷，其中x2.分析先進行括號的減法運算，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，并分解因式，對分式化簡，再將條件中x的取值代入計算.解÷×.當x2時，原式1.說明解決分式的化簡求值試題，要正確運用分式的通分或約分，對分式進行必要地化簡，然后根據(jù)條件中給定的字母的取值，代入化簡后的式子進行計算.考點18開放型例20（齊齊哈爾市）先化簡：÷，當b1時，請你為a任選一個適當?shù)臄?shù)代入求值.分析先對分式進行化簡，再當b1，并選取使原分式有意義的一個字母a的值代入計算.解÷

26、÷×.當b1，并取a2時，原式1.說明解決此類的分式化簡與求值問題時，除了要能正確地先運用分式通分或約分法則，對分式進行化簡，然后根據(jù)分式有意義的情況下取字母適當?shù)闹荡牖喓蟮氖阶舆M行計算.本題的a不能取0和±1.三、同步訓(xùn)練9.下列各式從左到右的變形一定正確的是（ ）a. b. c. d.10.如果m個人完成一項工作需要d天，則(m+n)個人完成這項工作需要的天數(shù)為（ ）a.d+n b.dn c. d.11.當a時，(a2)5成立，當2m時，m.12.已知m、n，用“+”或“”連接m、n，有三種不同的形式：m+n、mn、nm，請你任選其中一種進行計算，并化簡求

27、值，其中xy52.專題四二次根式一、考點掃描1.二次根式的有關(guān)概念：（1）式子(a0)，叫做二次根式.注意被開方數(shù)只能是正數(shù)或0.（2）最簡二次根式：被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式.（3）同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式.2.二次根式的性質(zhì)：（1）a（a0）、，（2）·（a0，b0），（a0，b0）.3.二次根式的運算：二次根式的加減：先把各個二次根式化成最簡二次根式；再把同類二次根式分別合并.二次根式的乘除法：按·，運算，再化成最簡二次根式.二、考題分析考點19最簡二次根式例21（黃石市）下列根式中，不是最簡二次根式的是（ ）a.b.c.d.分析對照最簡二次根式的概念逐一篩選.解因為，所以不是最簡二次根式.故應(yīng)選c.說明最簡二次根式的判斷，必須遵循其兩個條件，缺一不可.考點20確定二次根式的字母值例22（綿陽市）已知是正整數(shù)，則實數(shù)n的最大值為（ ）a.12 b.11 c.8 d.3分析由于二次根式是正整數(shù)，則其式必須滿足12n0，且12n是一個完全平