橢圓準線上點的兩個有趣性質_第1頁
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1、橢圓準線上點的兩個有趣性質最近筆者對橢圓的準線作了些研究，得到兩個有趣的性質定理1 設橢圓 b2x2a2y2=a2b2 準線上的點p對其長軸兩端點a1，a2的視角為，橢圓的半焦距為c，離心率為e，則是銳角且sine，當且僅當點p到 證明 不妨設ab，點p在右準線上且位于x軸上方如圖1，由兩條直線所成的角得由假設知 y0，即 tan0，故為銳角整理得 c2y22ac4·cot·ya2b2=0由題設知方程總有實數根，故=4a2c4·cot24a2b2c20整理并注意到為銳角即得sine設pa1x=，pa2x=，則=，由及兩角差的余切公式得 定理2 設橢圓b2x2a2y

2、2= a2b2準線上的點p對其兩焦點f1，f2的視角為，橢圓的半焦距為c，離心率為e，則是銳角且sine2，當且僅當點p到長軸 由假設知y0，a4c4，故tan0，即為銳角 又可化為c2y22c3·cot· ya4c4=0 由題設知方程總有實數根，故=4c6·cot24c2(a4c4)0 化簡并注意到為銳角，得sine2 仿定理1的證明得這兩個定理不僅結構簡潔，有趣易記，而且具較高的應用價值 試求的最大值以及取得最大值時pa1a2的面積 的兩條準線方程為x± 的視角為，試求的最大值以及取得最大值時pf1，pf2的直線方程故得所求方程為 例4 在平面直角坐標系中的y軸正半軸上給定兩點a1，a2，試在x軸正半軸上求點p，使a1pa2取得最大值(1986年全國高考題) 解 以a1，a2為橢圓長軸兩頂點，x軸為橢圓準

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