考研線性代數(shù)知識點歸納

1、1、行列式1. 行列式共有個元素，展開后有項，可分解為行列式；2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、和的大小無關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為；3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：4. 設(shè)行列式：將上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為，則；將順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)，所得行列式為，則；將主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為，則；將主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為，則；5. 行列式的重要公式：、主對角行列式：主對角元素的乘積；、副對角行列式：副對角元素的乘積；、上、下三角行列式（）：主對角元素的乘積；、和：副對角元素的乘積；、拉普拉斯展開式：、范

2、德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；、特征值；6. 對于階行列式，恒有：，其中為階主子式；7. 證明的方法：、；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組，證明其有非零解；、利用秩，證明；、證明0是其特征值；2、矩陣1. 是階可逆矩陣：（是非奇異矩陣）；（是滿秩矩陣）的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組有非零解；，總有唯一解；與等價；可表示成若干個初等矩陣的乘積；的特征值全不為0；是正定矩陣；的行（列）向量組是的一組基；是中某兩組基的過渡矩陣；2. 對于階矩陣： 無條件恒成立；3.4. 矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均、可逆：若，則：、；、；、

3、；（主對角分塊）、；（副對角分塊）、；（拉普拉斯）、；（拉普拉斯）3、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個矩陣，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：；等價類：所有與等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣、，若；2. 行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個非0元素必須為1；、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；3. 初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）、 若，則可逆，且；、對矩陣做初等行變化，當(dāng)變?yōu)闀r，就變成，即：；、求解線形方程組：對于個未知數(shù)個方程，如果，則可逆，且；4. 初等矩陣和對角矩陣的

4、概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；、，左乘矩陣，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； 、對調(diào)兩行或兩列，符號，且，例如：；、倍乘某行或某列，符號，且，例如：；、倍加某行或某列，符號,且，如：；5. 矩陣秩的基本性質(zhì)：、；、；、若，則；、若、可逆，則；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）、；（）、；（）、；（）、如果是矩陣，是矩陣，且，則：（）、的列向量全部是齊次方程組解（轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論）；、若、均為階方陣，則；6. 三種特殊矩陣的方冪：、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律；、型如的矩陣：利用二項展開式；二項展開

5、式：；注：、展開后有項；、組合的性質(zhì)：；、利用特征值和相似對角化：7. 伴隨矩陣：、伴隨矩陣的秩：；、伴隨矩陣的特征值：；、8. 關(guān)于矩陣秩的描述：、，中有階子式不為0，階子式全部為0；（兩句話）、，中有階子式全部為0；、，中有階子式不為0；9. 線性方程組：，其中為矩陣，則：、與方程的個數(shù)相同，即方程組有個方程；、與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組為元方程；10. 線性方程組的求解：、對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換（只能使用初等行變換）；、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11. 由個未知數(shù)個方程的方程組構(gòu)成元線性方程：、；、（向量方程，為矩陣，個方程，個未知數(shù)）、（全部按列

6、分塊，其中）；、（線性表出）、有解的充要條件：（為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1. 個維列向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣；個維行向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣；含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)；2. 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)有、無非零解；（齊次線性方程組）、向量的線性表出是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示是否有解；（矩陣方程）3. 矩陣與行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組和同解；(例14)4. ；(例15)5. 維向量線性相關(guān)的幾何意義：、線性相關(guān)；、線性相關(guān)坐標(biāo)成比例或共線（平行）；、線性相關(guān)共面；6. 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若線性相關(guān)，則必線性相關(guān)；

7、若線性無關(guān)，則必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）若維向量組的每個向量上添上個分量，構(gòu)成維向量組：若線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；反之若線性相關(guān)，則也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；7. 向量組（個數(shù)為）能由向量組（個數(shù)為）線性表示，且線性無關(guān)，則(二版定理7)；向量組能由向量組線性表示，則；（定理3）向量組能由向量組線性表示有解；（定理2）向量組能由向量組等價（定理2推論）8. 方陣可逆存在有限個初等矩陣，使；、矩陣行等價：（左乘，可逆）與同解、矩陣列等價：（右乘，可逆）；、矩陣等價：（、可逆）；9. 對于矩陣與：、若與行等價，則與的行秩相等；

8、、若與行等價，則與同解，且與的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣的行秩等于列秩；10. 若，則：、的列向量組能由的列向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；、的行向量組能由的行向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）11. 齊次方程組的解一定是的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；、只有零解只有零解；、有非零解一定存在非零解；12. 設(shè)向量組可由向量組線性表示為：（題19結(jié)論）（）其中為，且線性無關(guān)，則組線性無關(guān)；（與的列向量組具有相同線性相關(guān)性）（必要性：；充分性：反證法）注：當(dāng)時，為方陣，可當(dāng)作定理使用；13. 、對矩陣，存在，、的列向量線性無關(guān)；（）、

9、對矩陣，存在，、的行向量線性無關(guān)；14. 線性相關(guān)存在一組不全為0的數(shù)，使得成立；（定義）有非零解，即有非零解；，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；15. 設(shè)的矩陣的秩為，則元齊次線性方程組的解集的秩為：；16. 若為的一個解，為的一個基礎(chǔ)解系，則線性無關(guān)；（題33結(jié)論）5、相似矩陣和二次型1. 正交矩陣或（定義），性質(zhì)：、的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即；、若為正交矩陣，則也為正交陣，且；、若、正交陣，則也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化；2. 施密特正交化：；;3. 對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；對于實對稱陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量正交；4. 、與等價經(jīng)過初等變換得到；，、可逆；，、同型；、與合同，其中可逆；與有