第四章動(dòng)量定理

1、安徽大學(xué)出版社ANHUI UNIVERSITY大學(xué)物理學(xué) 安徽大學(xué)出版社安徽大學(xué)出版社 大學(xué)物理學(xué) October 29, 2021Page2ANHUI UNIVERSITY 41 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理 42 動(dòng)量守恒定律 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 29, 20213 41 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理一、力的沖量一、力的沖量 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理由牛頓第二定律由牛頓第二定律. 分離變量對(duì)一段時(shí)間積分分離變量對(duì)一段時(shí)間積分tmtpFd(ddd)v)( dddvmptF1

2、22121ddppptFpptt沖量沖量(impulse) 作用力作用力在在作用時(shí)間作用時(shí)間內(nèi)的累積量?jī)?nèi)的累積量.(.(矢量矢量) )21d)(ttttFI單位單位(SI): 牛頓牛頓秒秒 (NS )恒力的沖量：恒力的沖量：)(12ttFI 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 29, 20214質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理(theorem of momentum) 物體物體在運(yùn)動(dòng)過程中在運(yùn)動(dòng)過程中所受合外力的沖量所受合外力的沖量, ,等于等于該物體該物體動(dòng)量的增量動(dòng)量的增量. .說明說明ttzzzzttyyy

3、yxxttxxmmtFImmtFImmtFI000000dddvvvvvv (1)沖量的方向與動(dòng)量增量的方向一致沖量的方向與動(dòng)量增量的方向一致. (2)動(dòng)量定理中的動(dòng)量和沖量都是矢量，動(dòng)量定理中的動(dòng)量和沖量都是矢量，分量式分量式: 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 29, 20215 (3) 在碰撞或沖擊問題中在碰撞或沖擊問題中, 牛頓定律無法直接應(yīng)用牛頓定律無法直接應(yīng)用, 而動(dòng)而動(dòng)量定理的優(yōu)點(diǎn)在于避開了細(xì)節(jié)而只討論過程的總體效果量定理的優(yōu)點(diǎn)在于避開了細(xì)節(jié)而只討論過程的總體效果. (4) 動(dòng)量定理僅適用

4、于慣性系動(dòng)量定理僅適用于慣性系, 且與慣性系的選擇無關(guān)且與慣性系的選擇無關(guān).例例 如圖如圖, 一一重重錘從高度為錘從高度為h =1.5m的地方由的地方由靜止下落，錘與被加工的工件的碰撞后的靜止下落，錘與被加工的工件的碰撞后的末速度為零末速度為零. 若打擊時(shí)間分別為若打擊時(shí)間分別為10-1s, 10-2s, 10-3s, 10-4s，試計(jì)算這幾種情形下平均沖力試計(jì)算這幾種情形下平均沖力與重力的比值與重力的比值.解解: 取取如圖坐標(biāo)系如圖坐標(biāo)系, 設(shè)重錘質(zhì)量為設(shè)重錘質(zhì)量為m .重錘初速度重錘初速度 , gh20v末速度為末速度為0. . 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理

5、與動(dòng)量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 29, 20216000d)(vmtmgFt對(duì)重錘應(yīng)用動(dòng)量定理對(duì)重錘應(yīng)用動(dòng)量定理, 平均沖力為平均沖力為 FghmtmgtF2由此解得由此解得 tghtmgF55. 01211計(jì)算結(jié)果如下計(jì)算結(jié)果如下 10 10-1s-1s 10 10-2s-2s 10 10-3s-3s 10 10-4-4s s 6.5 6.5 56 56 551 551 5501 5501tmgF / 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 29, 20217二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)

6、量定理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理1m2mimexiFiniF 對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中第對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中第i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用牛個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用牛頓第二定律頓第二定律.(i)(e)ddiiiiFFFtp合內(nèi)力合內(nèi)力合外力合外力求和求和, 有有(i)(e)ddddiiiiFFpttp因?yàn)閮?nèi)力成對(duì)出現(xiàn)因?yàn)閮?nèi)力成對(duì)出現(xiàn), 上式可寫為上式可寫為:(e)ddiiFpt*合外力等于總動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率合外力等于總動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率. 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 29, 20218積分可得積分可得:121221(e)dPPPPtFiitti 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)

7、點(diǎn)系系動(dòng)量定理動(dòng)量定理 作用于質(zhì)點(diǎn)系的作用于質(zhì)點(diǎn)系的合外力的沖量等于合外力的沖量等于系系統(tǒng)統(tǒng)動(dòng)量的增量動(dòng)量的增量. .合外力的沖量合外力的沖量系統(tǒng)末動(dòng)量系統(tǒng)末動(dòng)量系統(tǒng)初動(dòng)量系統(tǒng)初動(dòng)量說明說明 (1) 內(nèi)力的內(nèi)力的作用不改變系統(tǒng)的總動(dòng)量作用不改變系統(tǒng)的總動(dòng)量, 但內(nèi)力做功卻但內(nèi)力做功卻可以改變系統(tǒng)的總動(dòng)能可以改變系統(tǒng)的總動(dòng)能. (2) 變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)方程變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)方程:Futmtmddd)(dv9所謂變質(zhì)量，是指體系在運(yùn)動(dòng)過程中不斷與外界交換質(zhì)量所謂變質(zhì)量，是指體系在運(yùn)動(dòng)過程中不斷與外界交換質(zhì)量. .對(duì)這樣體系的運(yùn)動(dòng)過程可以分解為一系列元過程對(duì)這樣體系的運(yùn)動(dòng)過程可以分解為一系列元過程.

8、.在元過程中，在元過程中，其組成是確定的，質(zhì)量是不變的，體系動(dòng)量變化服從體系動(dòng)量其組成是確定的，質(zhì)量是不變的，體系動(dòng)量變化服從體系動(dòng)量定理定理. .由此即可導(dǎo)出主體的運(yùn)動(dòng)方程。由此即可導(dǎo)出主體的運(yùn)動(dòng)方程。一、一、變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)mm vv mmFFFm mmFmFv10 Fdtdmvudtvdm 這就是變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)（即主體）運(yùn)動(dòng)方程這就是變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)（即主體）運(yùn)動(dòng)方程. .（變質(zhì)量動(dòng)量定理）（變質(zhì)量動(dòng)量定理）令令 ，則，則 ，上式取極限得，上式取極限得0 t0 v tFumvmvvmm 即即 tmvFtmvutvm 如圖，在如圖，在t t時(shí)刻，主體時(shí)

9、刻，主體m m與附體與附體 是分離的是分離的. .經(jīng)過經(jīng)過 時(shí)時(shí)間，附體并入主體間，附體并入主體. .于是，由體系的動(dòng)量定理，有于是，由體系的動(dòng)量定理，有mt11說明：說明： 方程中外力方程中外力 ，附體對(duì)主體的作用力為，附體對(duì)主體的作用力為 . .當(dāng)當(dāng)u=vu=v時(shí)，方程雖形式上與牛頓笫二定律時(shí)，方程雖形式上與牛頓笫二定律一樣，但注意一樣，但注意m m是變量是變量. .mmFFF dtdmvu/ 當(dāng)當(dāng)u=0u=0時(shí)，方程變?yōu)闀r(shí)，方程變?yōu)?FdtPdvmdtddtdmvdtvdm 上式是在上式是在 的情況下導(dǎo)出的，但當(dāng)?shù)那闆r下導(dǎo)出的，但當(dāng) 時(shí)，時(shí)，結(jié)論仍然正確結(jié)論仍然正確. .0 dtdm0

10、dtdm 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 29, 202112例例1 1 如圖用傳送帶如圖用傳送帶A輸送煤粉輸送煤粉, 料斗口在料斗口在A上方上方高高h(yuǎn)=0.5m處，處，煤粉自料斗口自由落在煤粉自料斗口自由落在A上上. 設(shè)料斗口連續(xù)卸煤的流量為設(shè)料斗口連續(xù)卸煤的流量為q=40kg/s, A以以v = 2.0m/s的水平速度勻速向右移動(dòng)的水平速度勻速向右移動(dòng). 求裝煤的求裝煤的過程中過程中, 煤粉對(duì)煤粉對(duì)A的作用力的大小和方向的作用力的大小和方向. (不計(jì)相對(duì)傳送帶靜不計(jì)相對(duì)傳送帶靜止的煤粉質(zhì)量止的煤粉

11、質(zhì)量.) hAv 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 29, 202113 解：解：煤粉對(duì)煤粉對(duì)A A的作用力即單位時(shí)間內(nèi)落下的煤粉給的作用力即單位時(shí)間內(nèi)落下的煤粉給A A的的平均沖力。這個(gè)沖力大小等于煤粉單位時(shí)間內(nèi)的動(dòng)量改變平均沖力。這個(gè)沖力大小等于煤粉單位時(shí)間內(nèi)的動(dòng)量改變量，方向與煤粉動(dòng)量改變量的方向相反量，方向與煤粉動(dòng)量改變量的方向相反。ghmmppmppyx2)(00012vv設(shè)設(shè) 時(shí)間內(nèi)落下的煤粉時(shí)間內(nèi)落下的煤粉質(zhì)量為質(zhì)量為 則有則有tm由動(dòng)量定理由動(dòng)量定理ptFtFItt21dxy1p初動(dòng)量初

12、動(dòng)量2p末動(dòng)量末動(dòng)量ppp12 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 29, 202114可得煤粉所受的平均沖力為可得煤粉所受的平均沖力為)N(2 .1252)N(80ghqtpFqtmtpFyyxxvv(N)14922yxFFF4 .57802 .125tanarctanarcxyFF1pxy2pppp12FOF煤粉給傳送帶的平均沖力為煤粉給傳送帶的平均沖力為6 .1224 .57180N149F方向由如圖夾角表示方向由如圖夾角表示方向由如圖夾角表示方向由如圖夾角表示 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定

13、理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 29, 202115 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 29, 202116 42 動(dòng)量守恒定律(law of momentum conservation)0(e)(e)iiFFiipp恒矢量恒矢量定義定義 系統(tǒng)所受合外力為零時(shí)系統(tǒng)所受合外力為零時(shí),系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變.說明說明 (1) 系統(tǒng)的動(dòng)量守恒是指系統(tǒng)的總動(dòng)量不變，系統(tǒng)內(nèi)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒是指系統(tǒng)的總動(dòng)量不變，系統(tǒng)內(nèi)任一物體的動(dòng)量是可變的任

14、一物體的動(dòng)量是可變的, 各物體的動(dòng)量必各物體的動(dòng)量必須須相對(duì)于同相對(duì)于同一慣性參考系一慣性參考系 . (2) 守恒條件守恒條件: 合外力為零合外力為零. 有些情況外力不為零有些情況外力不為零, 比比如如在碰撞、打擊、爆炸等相互作用時(shí)間極短的過程中在碰撞、打擊、爆炸等相互作用時(shí)間極短的過程中, 內(nèi)內(nèi)力力外力外力, 則則可略去外力可略去外力, 認(rèn)為系統(tǒng)動(dòng)量守恒認(rèn)為系統(tǒng)動(dòng)量守恒. 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 29, 202117 (3) 若系統(tǒng)所受外力的矢量和不為零，但合外力在若系統(tǒng)所受外力的矢量和不為

15、零，但合外力在某個(gè)坐標(biāo)軸上的分矢量為零，總動(dòng)量雖不守恒某個(gè)坐標(biāo)軸上的分矢量為零，總動(dòng)量雖不守恒, 但動(dòng)量但動(dòng)量守恒可在某一方向上成立守恒可在某一方向上成立.zizizzyiyiyyxixixxCmpFCmpFCmpFvvv,0,0,0(e)(e)(e) (4) 動(dòng)量守恒定律只在慣性參考系中成立動(dòng)量守恒定律只在慣性參考系中成立, 是自然界是自然界最普遍最普遍, 最基本的定律之一最基本的定律之一 , 即使即使在微觀高速范圍仍適用在微觀高速范圍仍適用. 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 29, 202118

16、43 質(zhì)心質(zhì)心(center of mass) 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理一、質(zhì)心一、質(zhì)心 在研究多個(gè)物體組成的系統(tǒng)或有限廣延體時(shí)在研究多個(gè)物體組成的系統(tǒng)或有限廣延體時(shí), 質(zhì)心質(zhì)心是個(gè)重要的概念是個(gè)重要的概念, 對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)用動(dòng)量定理對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)用動(dòng)量定理, 有有:)(2211).(ddennFmmmtvvv可寫為可寫為:)(221122).(ddennFrmrmrmt即即:)(2122112221).(dd).(ennnnFmmmrmrmrmtmmm 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 29, 20211

17、9)(22ddecFtrm令令: 為質(zhì)點(diǎn)的總質(zhì)量為質(zhì)點(diǎn)的總質(zhì)量, 并令并令immmrmriic則有則有 質(zhì)心質(zhì)心 我們把前式定義的位置矢量我們把前式定義的位置矢量 的矢端處的的矢端處的幾何點(diǎn)幾何點(diǎn)C, 稱為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心, 簡(jiǎn)稱質(zhì)心簡(jiǎn)稱質(zhì)心.cr質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程1) 離散分布的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心位置離散分布的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心位置(直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系)MzmzMymyMxmxriiciiciicc, 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 29, 2021202) 質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)

18、心位置質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心位置MmzzMmyyMmxxmmrrccccd,d,dd說明說明 (1) 質(zhì)心是由質(zhì)量分布所決定的一個(gè)特殊的幾何點(diǎn)質(zhì)心是由質(zhì)量分布所決定的一個(gè)特殊的幾何點(diǎn), 不一定在質(zhì)點(diǎn)上不一定在質(zhì)點(diǎn)上. (2) 根據(jù)質(zhì)心定義根據(jù)質(zhì)心定義 a.兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)心在其連線上兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)心在其連線上,質(zhì)心質(zhì)心到兩質(zhì)點(diǎn)的距離與質(zhì)量成反比到兩質(zhì)點(diǎn)的距離與質(zhì)量成反比; b.兩質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心兩質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心, 即為即為將兩質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量集中于各自質(zhì)心而構(gòu)成的兩個(gè)假想質(zhì)點(diǎn)將兩質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量集中于各自質(zhì)心而構(gòu)成的兩個(gè)假想質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)心的質(zhì)心; c.密度均勻的對(duì)稱物體密度均勻的對(duì)稱物體, 質(zhì)心在其幾何中心質(zhì)心在其幾何中

19、心. 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 29, 202121二、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理二、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 (theorem of motion for center of mass) 質(zhì)點(diǎn)系所受外力的矢量和等于質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量的質(zhì)點(diǎn)系所受外力的矢量和等于質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量的時(shí)間變化率時(shí)間變化率.22ddddtrtacccv)(ecFam引入質(zhì)心后引入質(zhì)心后,mmmrmttriiiiccvvdddd所以質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量所以質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量ciiniimmPPvv1 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理與動(dòng)量

20、守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 29, 202122三、質(zhì)心參考系三、質(zhì)心參考系 柯尼希定理柯尼希定理 所謂所謂質(zhì)心參考系質(zhì)心參考系, 就是就是質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心與坐標(biāo)原點(diǎn)重與坐標(biāo)原點(diǎn)重合且坐標(biāo)軸的方向相對(duì)于原慣性系保持不變的坐標(biāo)系合且坐標(biāo)軸的方向相對(duì)于原慣性系保持不變的坐標(biāo)系. 在質(zhì)心參考系中在質(zhì)心參考系中, , 因而質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量為零因而質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量為零.0cv因此又稱為因此又稱為零動(dòng)量參考系零動(dòng)量參考系或或動(dòng)量中心系動(dòng)量中心系.質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心參考系的運(yùn)動(dòng)具有質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心參考系的運(yùn)動(dòng)具有特殊性特殊性: (1) 質(zhì)心系中質(zhì)心系中, 質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量恒為

21、零質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量恒為零;(2) 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心系的角動(dòng)量定理與質(zhì)點(diǎn)系在慣性系質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心系的角動(dòng)量定理與質(zhì)點(diǎn)系在慣性系中相對(duì)于某定點(diǎn)的角動(dòng)量定理具有相同的形式中相對(duì)于某定點(diǎn)的角動(dòng)量定理具有相同的形式.(3) 下面將要介紹的柯尼希定理下面將要介紹的柯尼希定理. 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 29, 202123icivvv 質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)mi 相對(duì)于某一慣性系相對(duì)于某一慣性系K 速度是速度是 ,相對(duì)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的速度是相對(duì)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的速度是 , 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心相對(duì)于K系的速系的速度是度是 , 則由伽利略速度變換式則由伽利略速度變換式, 有有:cviviv質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)K 系總動(dòng)能系總動(dòng)能為為:22k)(2121 iciiiiimmEvvv221(2)2icciiimvvvv)(2121 22iiciiiciimmmvvvv 大學(xué)物理學(xué)Page第四章第四章動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY October 2