考研線性代數(shù)總結(jié)

1、更多資源下載就在易空間 線性代數(shù)總結(jié)概念、性質(zhì)、定理、公式必須清楚，解法必須熟練，計算必須準確 ：全體維實向量構(gòu)成的集合叫做維向量空間. 關(guān)于：稱為的標準基，中的自然基，單位坐標向量；線性無關(guān)；任意一個維向量都可以用線性表示.行列式的定義 行列式的計算：行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.若都是方陣（不必同階）,則（拉普拉斯展開式）上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積.關(guān)于副對角線： （即：所有取自不同行不同列的個元素的乘積的代數(shù)和）范德蒙德

2、行列式：矩陣的定義 由個數(shù)排成的行列的表稱為矩陣.記作：或伴隨矩陣 ，為中各個元素的代數(shù)余子式. 逆矩陣的求法: ： 方陣的冪的性質(zhì)： 設(shè)的列向量為,的列向量為，則 ，為的解可由線性表示.即：的列向量能由的列向量線性表示，為系數(shù)矩陣.同理：的行向量能由的行向量線性表示，為系數(shù)矩陣.即： 用對角矩陣乘一個矩陣,相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的向量；用對角矩陣乘一個矩陣,相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的向量. 兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘. 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：分塊矩陣的逆矩陣： 分塊對角陣相乘：,分塊對角陣的伴隨矩陣： 矩陣方程的解法()：設(shè)法化成 零向量是任

3、何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交. 單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線性無關(guān). 部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無關(guān),部分必無關(guān). （向量個數(shù)變動） 原向量組無關(guān),接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān),原向量組相關(guān). （向量維數(shù)變動） 兩個向量線性相關(guān)對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān). 向量組中任一向量都是此向量組的線性組合. 向量組線性相關(guān)向量組中至少有一個向量可由其余個向量線性表示.向量組線性無關(guān)向量組中每一個向量都不能由其余個向量線性表示. 維列向量組線性相關(guān)； 維列向量組線性無關(guān). 若線性無關(guān)，而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法唯一. 矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的

4、秩. 行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù).行階梯形矩陣 可畫出一條階梯線，線的下方全為；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素非零.當非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是時，稱為行最簡形矩陣 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系； 矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系. 即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩. 矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系：對施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘；對施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘.矩陣的秩 如果矩陣存在不為零的階子式，且任意階子式均

5、為零，則稱矩陣的秩為.記作向量組的秩 向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為這個向量組的秩.記作 矩陣等價 經(jīng)過有限次初等變換化為. 記作：向量組等價 和可以相互線性表示. 記作： 矩陣與等價，可逆作為向量組等價,即：秩相等的向量組不一定等價.矩陣與作為向量組等價矩陣與等價. 向量組可由向量組線性表示有解. 向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關(guān).向量組線性無關(guān),且可由線性表示,則. 向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價； 任一向量組和它的極大無關(guān)組等價.向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價. 向量組的極大無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組所含向量個數(shù)唯一確定. 若兩個線性無關(guān)的向量組等價,則它們

6、包含的向量個數(shù)相等. 設(shè)是矩陣,若，的行向量線性無關(guān)； 若，的列向量線性無關(guān),即：線性無關(guān). 矩陣的秩的性質(zhì)： 即：可逆矩陣不影響矩陣的秩. 若；若等價標準型. 14：線性方程組的矩陣式 向量式 矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：矩陣可逆的性質(zhì)：伴隨矩陣的性質(zhì)：（無條件恒成立）線性方程組解的性質(zhì)： 設(shè)為矩陣,若一定有解， 當時,一定不是唯一解,則該向量組線性相關(guān). 是的上限. 判斷是的基礎(chǔ)解系的條件： 線性無關(guān)； 都是的解； . 一個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一. 若是的一個解，是的一個解線性無關(guān) 與同解（列向量個數(shù)相同）,則： 它們的極大無關(guān)組相對應(yīng),從而秩相等； 它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性； 它們

7、有相同的內(nèi)在線性關(guān)系. 兩個齊次線性線性方程組與同解. 兩個非齊次線性方程組與都有解，并且同解. 矩陣與的行向量組等價齊次方程組與同解（左乘可逆矩陣）； 矩陣與的列向量組等價（右乘可逆矩陣）. 關(guān)于公共解的三中處理辦法： 把(i)與(ii)聯(lián)立起來求解； 通過(i)與(ii)各自的通解，找出公共解；當(i)與(ii)都是齊次線性方程組時，設(shè)是(i)的基礎(chǔ)解系, 是(ii)的基礎(chǔ)解系，則 (i)與(ii)有公共解基礎(chǔ)解系個數(shù)少的通解可由另一個方程組的基礎(chǔ)解系線性表示.即：當(i)與(ii)都是非齊次線性方程組時，設(shè)是(i)的通解，是(ii)的通解，兩方程組有公共解可由線性表示. 即： 設(shè)(i)的

8、通解已知，把該通解代入(ii)中，找出(i)的通解中的任意常數(shù)所應(yīng)滿足(ii)的關(guān)系式而求出公共解。標準正交基 個維線性無關(guān)的向量,兩兩正交,每個向量長度為1.向量與的內(nèi)積 . 記為：向量的長度 是單位向量 . 即長度為的向量. 內(nèi)積的性質(zhì)： 正定性： 對稱性： 雙線性： 的特征矩陣 .的特征多項式 . 是矩陣的特征多項式的特征方程 . ，稱為矩陣的跡. 上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的各元素. 若,則為的特征值,且的基礎(chǔ)解系即為屬于的線性無關(guān)的特征向量. 一定可分解為=、,從而的特征值為：, . 為各行的公比，為各列的公比. 若的全部特征值，是多項式,則: 若滿足的任何一個

9、特征值必滿足的全部特征值為；. 初等矩陣的性質(zhì)： 設(shè)，對階矩陣規(guī)定：為的一個多項式. 的特征向量不一定是的特征向量. 與有相同的特征值，但特征向量不一定相同.與相似 （為可逆矩陣） 記為：與正交相似 （為正交矩陣）可以相似對角化 與對角陣相似. 記為： （稱是的相似標準形） 可相似對角化 為的重數(shù)恰有個線性無關(guān)的特征向量. 這時,為的特征向量拼成的矩陣，為對角陣,主對角線上的元素為的特征值.設(shè)為對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量,則有：. ：當為的重的特征值時，可相似對角化的重數(shù) 基礎(chǔ)解系的個數(shù). 若階矩陣有個互異的特征值可相似對角化. 若可相似對角化,則其非零特征值的個數(shù)（重根重復(fù)計算）. 若=，

10、相似矩陣的性質(zhì)：,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.是關(guān)于的特征向量,是關(guān)于的特征向量. 從而同時可逆或不可逆； （若均可逆）； （為整數(shù)）；， 前四個都是必要條件. 數(shù)量矩陣只與自己相似. 實對稱矩陣的性質(zhì)： 特征值全是實數(shù),特征向量是實向量； 不同特征值對應(yīng)的特征向量必定正交； ：對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；一定有個線性無關(guān)的特征向量.若有重的特征值,該特征值的重數(shù)=；必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實二次型可經(jīng)正交變換化為標準形；與對角矩陣合同，即：任一實二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標準形；兩個實對稱矩陣相似有相同的特征值.正交矩陣 為正交矩陣的個行（列）向量

11、構(gòu)成的一組標準正交基. 正交矩陣的性質(zhì)： ； ； 正交陣的行列式等于1或-1； 是正交陣,則，也是正交陣； 兩個正交陣之積仍是正交陣； 的行（列）向量都是單位正交向量組.二次型 ，即為對稱矩陣，與合同 . 記作： （）正慣性指數(shù) 二次型的規(guī)范形中正項項數(shù) 負慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負項項數(shù)符號差 (為二次型的秩) 兩個矩陣合同它們有相同的正負慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等. 兩個矩陣合同的充分條件是： 兩個矩陣合同的必要條件是： 經(jīng)過化為標準形. 二次型的標準形不是唯一的,與所作的正交變換有關(guān),但非零系數(shù)的個數(shù)是由 唯一確定的. 當標準形中的系數(shù)為-1或0或1時,稱為二次型的規(guī)范形 . 實對稱矩陣的正（負）慣性指數(shù)等于它的正（負）特征值的個數(shù). 慣性定理：任一實對稱矩陣與唯一對角陣合同. 用正交變換化二次型為標準形: 求出的特征值、特征向量； 對個特征向量正交規(guī)范化； 構(gòu)造（正交矩陣）,作變換,則新的二次型為,的主對角上的元素即為的特征值.施密特正交規(guī)范化 線性無關(guān), 單位化： 技巧：取正交的基礎(chǔ)解系，跳過施密特正交化。讓第二個解向量先與第一個解向量正交，再把第二個解向量代入方程，確定其自由變量. 例如：取，.正定二次型 不全為零，.