幾何的五大模型教學(xué)材料

1、幾何的五大模型一、等積變換模型(1)等底等高的兩個三角形面積相等(2)兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比(3)兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比如左圖s1：s2=a:b(4)夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖，sabc= sbad反之，如果sabc= sbcd，則可知直線ab平行于cd （abcd）二、鳥頭定理(共角定理)模型(1)兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ)，這兩個三角形叫做共角三角形。(2)共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比。 如圖在abc中，d，e分別是ab，ac上的點如圖.(或d在ba的延長線上，e在ac上)，則sabc：sade=(ab&

2、#215;ac):(ad×ae)推理過程連接be，再利用等積變換模型即可。證明：圖（1）中設(shè)：過頂點d做底邊ae的高為h1；過頂點b做底邊ac的高為h2 abe中sade：sabe=ad：ab 同理sade：sabe=h1：h2 ad：ab= h1：h2又因sade=ae*h1*1/2 sabc=ac*h2*1/2 得出sade：sabc=ae*h1：ac*h2 所以sade：sabc=(ab×ac):(ad×ae)圖（2）中設(shè)過頂點d作底邊ae的高為h1，過頂點b做底邊ac的高為h2 dbe中，sade：sabe=ad：ab sade：sabe= h1：h2 a

3、d：ab= h1：h2又因sade=ae*h1*1/2 sabc=ac*h2*1/2 得出sade：sabc=ae*h1：ac*h2所以sade：sabc=(ab×ac):(ad×ae) 三、蝴蝶定理模型任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”) s1:s2=s4:s3 或者 s1×s3=s2×s4 ao:oc=(s1+s2):(s4+s3)證明（1）：在abd中，s1：s2=do:ob在dcb中，s4：s3=do：ob 得到s1:s2=s4:s3或者 s1×s3=s2×s4(十字相乘法)證明（2）：設(shè)過d點作底邊ac的高為h1，過b點作

4、底邊ac的高為h2 (s1+s2):(s4+s3)=（ao*h1*1/2+ao*h2*1/2）：（oc*h1*1/2+ oc*h2*1/2）約分得到：(s1+s2):(s4+s3)=ao：oc蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。 梯形中比例關(guān)系 （“梯形蝴蝶定理”） s1：s3=：證明：由ao：oc=do：oc=a:b而s1：s2=do：oc s1：s2= a:b ，得到s1= a/b*s2 而s2：s3=ao：oc s2：s3= a:b，得到s3=

5、s2*b/a s1：s3=： s1：s3：s2：s4=：ab:ab證明：由上面公式轉(zhuǎn)換推得梯形s的對應(yīng)份數(shù)為(a+b)證明：由上面公式轉(zhuǎn)換推得四、相似模型相似三角形性質(zhì)：(1)(2)sade：sabc=af: ag證明：sade：sabc=de*af*1/2：bc*ag*1/2 sade：sabc=af: ag所謂相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變，它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：a. 相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；b. 相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；五、燕尾定理模型(1)sabg：sacg = sbge：scg