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1、幾何的五大模型一、等積變換模型(1)等底等高的兩個三角形面積相等(2)兩個三角形高相等,面積比等于它們的底之比(3)兩個三角形底相等,面積比等于它們的高之比如左圖s1:s2=a:b(4)夾在一組平行線之間的等積變形,如右上圖,sabc= sbad反之,如果sabc= sbcd,則可知直線ab平行于cd (abcd)二、鳥頭定理(共角定理)模型(1)兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ),這兩個三角形叫做共角三角形。(2)共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比。 如圖在abc中,d,e分別是ab,ac上的點如圖.(或d在ba的延長線上,e在ac上),則sabc:sade=(ab&
2、#215;ac):(ad×ae)推理過程連接be,再利用等積變換模型即可。證明:圖(1)中設(shè):過頂點d做底邊ae的高為h1;過頂點b做底邊ac的高為h2 abe中sade:sabe=ad:ab 同理sade:sabe=h1:h2 ad:ab= h1:h2又因sade=ae*h1*1/2 sabc=ac*h2*1/2 得出sade:sabc=ae*h1:ac*h2 所以sade:sabc=(ab×ac):(ad×ae)圖(2)中設(shè)過頂點d作底邊ae的高為h1,過頂點b做底邊ac的高為h2 dbe中,sade:sabe=ad:ab sade:sabe= h1:h2 a
3、d:ab= h1:h2又因sade=ae*h1*1/2 sabc=ac*h2*1/2 得出sade:sabc=ae*h1:ac*h2所以sade:sabc=(ab×ac):(ad×ae) 三、蝴蝶定理模型任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”) s1:s2=s4:s3 或者 s1×s3=s2×s4 ao:oc=(s1+s2):(s4+s3)證明(1):在abd中,s1:s2=do:ob在dcb中,s4:s3=do:ob 得到s1:s2=s4:s3或者 s1×s3=s2×s4(十字相乘法)證明(2):設(shè)過d點作底邊ac的高為h1,過b點作
4、底邊ac的高為h2 (s1+s2):(s4+s3)=(ao*h1*1/2+ao*h2*1/2):(oc*h1*1/2+ oc*h2*1/2)約分得到:(s1+s2):(s4+s3)=ao:oc蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。通過構(gòu)造模型,一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系;另一方面,也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。 梯形中比例關(guān)系 (“梯形蝴蝶定理”) s1:s3=:證明:由ao:oc=do:oc=a:b而s1:s2=do:oc s1:s2= a:b ,得到s1= a/b*s2 而s2:s3=ao:oc s2:s3= a:b,得到s3=
5、s2*b/a s1:s3=: s1:s3:s2:s4=:ab:ab證明:由上面公式轉(zhuǎn)換推得梯形s的對應(yīng)份數(shù)為(a+b)證明:由上面公式轉(zhuǎn)換推得四、相似模型相似三角形性質(zhì):(1)(2)sade:sabc=af: ag證明:sade:sabc=de*af*1/2:bc*ag*1/2 sade:sabc=af: ag所謂相似三角形,就是形狀相同,大小不同的三角形(只要其形狀不改變,不論大小怎樣改變,它們都相似),與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下:a. 相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例,并且這個比例等于它們的相似比;b. 相似三角形的面積比等于它們相似比的平方;五、燕尾定理模型(1)sabg:sacg = sbge:scg
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