第二類曲線積分

1、第二類曲線積分 第十章第十章 第二節(jié)第二節(jié)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分第二類曲線積分二、第二類曲線積分的二、第二類曲線積分的概念與性質(zhì)概念與性質(zhì)一、向量場(chǎng)一、向量場(chǎng)三、第二類曲線積分的三、第二類曲線積分的計(jì)算計(jì)算第二類曲線積分一、向量場(chǎng)一、向量場(chǎng)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 畫向量場(chǎng)畫向量場(chǎng)xyo2fij xyo fxi xyofxiyj fyixj xyo第二類曲線積分機(jī)

2、動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 fzk fyixj 第二類曲線積分機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 梯度場(chǎng)和保守場(chǎng)梯度場(chǎng)和保守場(chǎng)第二類曲線積分機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解: :22( , )2(3)f x yxyixyj 第二類曲線積分二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定向曲線與切向量：定向曲線與切向量：定向曲線：帶有確定走向的一條曲線。定向曲線：帶有確定走向的一條曲線。 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 則則 l 的切向量為：的切向量為： )(, )(, )(tztytx

3、第二類曲線積分abl1 nmim1 im2m1mkzyxrjzyxqizyxpzyxf),(),(),(),( 分割分割.,110bmmmmann .abfw 解解: :機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 “分割分割, , 近似近似, , 求和求和, , 取極限取極限” ” 求變力沿曲線所作的功，利用求變力沿曲線所作的功，利用,),(1iiiiiimmfw 近似近似例：例：求變力求變力 f 沿曲線沿曲線 l 所作的功。所作的功。已知常力已知常力 f 沿直線所作的功沿直線所作的功變變力力設(shè)設(shè)曲曲線線,:bal),(iii 第二類曲線積分求和求和: :取極限取極限: nii

4、iiiiiiiiiiizryqxpw10),(),(),(lim 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 niiiiiimmfw11),( niiiiiimmfw110),(lim ,)()()(1kzjyixmmiiiii krjqipfiiiiiiiiiiii),(),(),(),( 向量形式向量形式坐標(biāo)形式坐標(biāo)形式abl1 nmim1 im2m1m),(iii 則則第二類曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義：對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義：機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分上式也稱為第二類曲線積分的上式也稱為第二類曲線積分的向量形式向量形式。

5、 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分也稱為第二類曲線積分也稱為向量場(chǎng)的線積分向量場(chǎng)的線積分。 第二類曲線積分說明說明： 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分基本性質(zhì)基本性質(zhì)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì)1 1： rdmgkmfkba )()(21rdmgkrdmfkbaba )()(21性質(zhì)性質(zhì)2 2： rdmfrdmfabba )()(性質(zhì)性質(zhì)3 3： rdmfrdmfrdmfbccaba )()()(第二類曲線積分第二類曲線積分的坐標(biāo)表示第二類曲線積分的坐標(biāo)表示設(shè)設(shè), ),(

6、kkkyxa, ),(kkkm 則則,11 iiiiyyxxiiiaar1 ,iiyx 記記 niiirmf1)( niiiiiiiyqxp1),(),( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 令令的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)為為其其中中iiiiiaass1,0max 若上式左端的極限存在，則右端的極限也存在若上式左端的極限存在，則右端的極限也存在記為記為rdyxfl ),( ldyyxqdxyxp),(),(上式右端稱為第二類曲線積分的坐標(biāo)表示。上式右端稱為第二類曲線積分的坐標(biāo)表示。第二類曲線積分（2）若若 ),(),(),(),(zyxrzyxqzyxpzyxf 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄

7、上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 rdzyxfl ),(dzzyxrdyzyxqdxzyxpl),(),(),( 上式右端稱為第二類曲線積分的坐標(biāo)表示。上式右端稱為第二類曲線積分的坐標(biāo)表示。第二類曲線積分的參數(shù)方程為：的參數(shù)方程為：設(shè)有向曲線弧設(shè)有向曲線弧 l0( , , )cos ,cos,cos ,lx y z 在在點(diǎn)點(diǎn)處處單單位位切切向向量量battzztyytxx :, )(, )(, )(0lfds 則則 ,( , )lfp qlx y 若若是是有有向向平平面面曲曲線線弧弧， 在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的0cos ,cos, 單單位位切切向向量量則則0(coscos)lllpdxqdyfd

8、spqds 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 三、兩類曲線積分之間的關(guān)系三、兩類曲線積分之間的關(guān)系(coscoscos )lpqrds lpdxqdyrdz ,fp q r 其其中中第二類曲線積分證明：證明：的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為設(shè)設(shè) lbattzztyytxx :,)(,)(,)(,)1(ba 若若：的的切切向向量量為為則則 l)(),(),(tztytx dttztytxrd222)()()(| 又又，也也是是切切向向量量則則dttztytxdzdydxrd)(),(),(, ds |0rdrd 則則dsrd cos,cos,cos 于是有于是有機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目

9、錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 0d rds 第二類曲線積分即即0llpdxqdyrdzfds ,)2(ba 若若,tu 可令可令bau :則則,ba 而而此此時(shí)時(shí),cosdsdx ,cosdsdy dsdz cos 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 平面曲線的情況完全類似推導(dǎo)。平面曲線的情況完全類似推導(dǎo)。故故(coscoscos )lpqrds 第二類曲線積分解解1： , fx y 設(shè)設(shè)，機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 0 是是指指定定方方向向的的單單位位切切向向量量，0f 因因?yàn)闉?，lixdxydy 則則00f 所所以以，0

10、lfds 0 xyo01, y xa 事事實(shí)實(shí)上上，容容易易求求得得：第二類曲線積分解解2： , fx y 設(shè)設(shè)，機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 0 是是指指定定方方向向的的單單位位切切向向量量，222:l xyax 兩兩邊邊關(guān)關(guān)于于求求導(dǎo)導(dǎo)得得lixdxydy 則則0lfds 0 xyo01, y xa ，220 ,xyy ,xyy 1,xy /, y x 取取逆逆時(shí)時(shí)針針方方向向00f 所所以以，第二類曲線積分解：解：10:,22,22 ttztytxl：22cos,21cos,21cos 2)()()(222 tztytx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁

11、 返回返回 結(jié)束結(jié)束 于是于是 lxdzzdyydx ldsxzy222121dtttt2222221222110 4221 第二類曲線積分四、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算四、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算，且，且存在存在線積分線積分則曲則曲且且上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)為端點(diǎn)的閉區(qū)間為端點(diǎn)的閉區(qū)間及及在以在以終點(diǎn)終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到沿沿的起點(diǎn)的起點(diǎn)從從點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)變到變到單調(diào)地由單調(diào)地由當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上連續(xù)上連續(xù)在有向曲線弧在有向曲線弧設(shè)設(shè) ldyyxqdxyxpttbattblalyxmbattytxllyxqyxp),(),(,0)()(,)(, )(,),(,)()(,),(

12、, ),(22 定理（平面曲線的情形）定理（平面曲線的情形）機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分dttttqtttpdyyxqdxyxpbal)()(),()()(),(),(),( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 證明：證明：則則切切向向量量處處的的單單位位在在是是設(shè)設(shè),),(cos,cos0 yxldsyxpdxyxpll cos),(),(則則若若,. )1(ba )()()(,)()()(22220tttttt 第二類曲線積分則則即即,)()()(cos22ttt dsyxpdxyxpll cos),(),(dttttt

13、tttpba 2222)()()()()()(),( dttttpba )()(),( 則則若若,. )2(ba 22)()()(costtt 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分dsyxpdxyxpll cos),(),(dttttpab )()(),( dttttpba )()(),( 綜綜上上所所述述，不不論論ba 還還是是ba ，都都有有 dttttpdxyxpbal )()(),(),( 其其中中，等等式式右右端端的的定定積積分分的的下下限限 a對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于 l的的起起點(diǎn)點(diǎn)，上上限限 b對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于 l的的終終點(diǎn)點(diǎn)。 同同理理可可證證： dttt

14、tqdyyxqbal )()(),(),( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分dttttqtttpdyyxqdxyxpbal)()(),()()(),(),(),( 于于是是 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 注意：注意：a 未必小于未必小于 b。其其中中，等等式式右右端端的的定定積積分分的的下下限限 a對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于 l的的起起點(diǎn)點(diǎn)，上上限限 b對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于 l的的終終點(diǎn)點(diǎn)。 第二類曲線積分特殊情形特殊情形則則，終終點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為, )(:)1(baxxyyl dxxyxyxqxyxpqdypdxbal )()(,)(,則

15、則終終點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為, )(:)2(dcyyxxl dyyyxqyxyyxpqdypdxdcl ),()(),(機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分(4) 若曲線若曲線 l 的方程為極坐標(biāo)方程：的方程為極坐標(biāo)方程：, )( :先化成參數(shù)方程：先化成參數(shù)方程：,sin)(cos)( yx :然后用公式計(jì)算。然后用公式計(jì)算。第二類曲線積分，且，且存在存在則曲線積分則曲線積分一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有及及以以在在的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上連續(xù)上連續(xù)向曲線弧向曲線弧在空間有在空間有設(shè)設(shè) lrdzqdypdxbatttba

16、ttztytxllzyxrzyxqzyxp,)(, )(, )(,:, )(, )(, )(:,),(, ),(, ),( 定理（空間曲線的情形）定理（空間曲線的情形）dtttttrttttqttttprdzqdypdxbal)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分注意：兩類曲線積分之間注意：兩類曲線積分之間區(qū)別區(qū)別（1 1）第一類第一類曲線積分是數(shù)量函數(shù)對(duì)弧長(zhǎng)的積分；曲線積分是數(shù)量函數(shù)對(duì)弧長(zhǎng)的積分； 第二類第二類曲線積分是向量函數(shù)的各分量函數(shù)曲線積分是向量函數(shù)的各分量函數(shù) 對(duì)坐標(biāo)的積分。對(duì)坐標(biāo)的積

17、分。（2 2）第一類第一類曲線積分與路徑的方向無關(guān)，化成曲線積分與路徑的方向無關(guān)，化成 定積分時(shí)，定積分時(shí)，下限總小于上限下限總小于上限； 第二類第二類曲線積分與路徑的方向有關(guān)（方向曲線積分與路徑的方向有關(guān)（方向 改變，積分值變號(hào)），化成定積分時(shí)，改變，積分值變號(hào)），化成定積分時(shí)，下下 限未必小于上限。限未必小于上限。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 （2 2）對(duì)于第二類曲線積分，當(dāng)積分?。?duì)于第二類曲線積分，當(dāng)積分弧 l 是垂直于某坐是垂直于某坐標(biāo)軸的直線段標(biāo)軸的直線段 ab 時(shí)，對(duì)該坐標(biāo)的積

18、分為零，即時(shí)，對(duì)該坐標(biāo)的積分為零，即;0),( abdxyxpxab軸軸時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng);0),( abdyyxqyab軸軸時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)空間曲線上的第二類曲線積分也有類似的性質(zhì)。空間曲線上的第二類曲線積分也有類似的性質(zhì)。說明：說明：（1 1）在第二類曲線積分中，由于涉及積分曲線的方向）在第二類曲線積分中，由于涉及積分曲線的方向問題，因此要慎用對(duì)稱性。一般情況下，應(yīng)在曲線積分問題，因此要慎用對(duì)稱性。一般情況下，應(yīng)在曲線積分化為定積分后再考慮能否利用對(duì)稱性來化簡(jiǎn)計(jì)算?；癁槎ǚe分后再考慮能否利用對(duì)稱性來化簡(jiǎn)計(jì)算。第二類曲線積分.)0 ,()0 ,()2(;)1(:,2的直線段的直線段軸到點(diǎn)軸到點(diǎn)沿沿從點(diǎn)從點(diǎn)

19、繞行的上半圓周繞行的上半圓周針方向針方向、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)半徑為半徑為為為其中其中計(jì)算計(jì)算abxaaaldxyl 例例3:3:解解: 0:,sincos:)1(ayaxl)0 ,(aa)0 ,( ab daa 022)sin(sin原式原式)(cos)cos1(023 da .343a 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ,:,0:)2(aaxyl aadx0原式原式0 第二類曲線積分。，其其中中有有向向折折線線的的一一段段弧弧到到上上從從拋拋物物線線的的一一段段弧弧到到上上從從拋拋物物線線為為其其中中計(jì)計(jì)算算)1 , 1(),0 , 1(),0

20、, 0()3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222baooabboyxboxyldyxxydxl 例例4 4：2xy )0 , 1(a)1 , 1(b解：解：.)1(的積分的積分化為對(duì)化為對(duì) x, 10:,:2 xxyl 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分) 0 , 1 (a)1,1(b2yx .)2(的的積積分分化化為為對(duì)對(duì) y,10:,:2 yyxl 1042)22(dyyyyy原原式式 1045dxy. 1 )0 , 1(a)1 , 1(b)3

21、( aboadyxxydxdyxxydx2222原原式式,上上在在 oa,10:,0 xy oadyxxydx22 102)002(dxxx. 0 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ,上上在在 ab,10:,1 yx 102)102(2dyydyxxydxab. 1 10 原式原式. 1 第二類曲線積分 一般情況下，一般情況下，第二類曲線積分的值，不僅與積第二類曲線積分的值，不僅與積分路徑的起點(diǎn)或終點(diǎn)有關(guān)，而且與積分路經(jīng)本身有分路徑的起點(diǎn)或終點(diǎn)有關(guān)，而且與積分路經(jīng)本身有關(guān)。即被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑關(guān)。即被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果

22、不同。不同積分結(jié)果不同。例例3說明：說明：機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 在有些情況下，在有些情況下，第二類曲線積分的值，僅與積分第二類曲線積分的值，僅與積分路徑的起點(diǎn)或終點(diǎn)有關(guān)，而與積分路經(jīng)本身無關(guān)。路徑的起點(diǎn)或終點(diǎn)有關(guān)，而與積分路經(jīng)本身無關(guān)。即被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，路徑不同積即被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，路徑不同積分但結(jié)果相同。分但結(jié)果相同。例例4說明：說明：第二類曲線積分例例5.5. 求求, )( lxdyydxxyi其中其中 l 是雙紐線的右半支是雙紐線的右半支, )()(222222yxayx ,0 x逆時(shí)針方向。逆時(shí)針方向。解解: : l

23、的極坐標(biāo)方程是：的極坐標(biāo)方程是：44:,2cos22 al 的參數(shù)方程是：的參數(shù)方程是：,sin2coscos2cos ayax44: ,2cos3sin ax ,2cos3cos ay dai 444)3coscos3sinsin(cossin2cos0 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 奇函數(shù)奇函數(shù)第二類曲線積分ozyx例例6.6. 求求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzi 其中其中,2122 zyxyx從從 z 軸正向看為順時(shí)針方向軸正向看為順時(shí)針方向. .解解: : 取取 的參數(shù)方程的參數(shù)方程,sin,costytx )02:(sincos2 tttz 0

24、2 itttcos)sincos22( tttttd )sin)(cossin(cos ttttd)cos2sin2cos41(220 )sin)(cos2(tt 2 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分例例7.7.解解: :zxoyabzk222zyxkzjyixzk abzyxzzzyyxxk222ddd:ab22 tx22 ty1 tz)10:(t 101d3ttk2ln3k )1 ,2,2(a動(dòng)到動(dòng)到, )2,4,4(b向坐標(biāo)原點(diǎn)，向坐標(biāo)原點(diǎn)， 其大小與作用點(diǎn)到其大小與作用點(diǎn)到 xoy 面的距離成反比。面的距離成反比。沿直線移沿直線移rfwabd

25、f)(0r 1 , 2 , 2 abr求求 f 所作的功所作的功 w。已知已知 f 的方向指的方向指一質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)一質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)f 作用下由點(diǎn)作用下由點(diǎn)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分例例8 8：解：解：bazyx10cosxt 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 如圖如圖5zt 10sinyt l：:06t ( , , )0,0,(8010) f x y zg dlwfr 90lgdz 60590gdt 則則2700( )g j 第二類曲線積分例例9 9：解：解：10cos ,xt 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回

26、 結(jié)束結(jié)束 5,zt 10sin ,yt l：:06t ( , , )0,0,(90) 3tf x y zg dlwfr (90)3ltgdz 605(90)3tgdt 則在則在 t 時(shí)刻：時(shí)刻：2670( )g j 單位時(shí)間流出的油漆為：?jiǎn)挝粫r(shí)間流出的油漆為：26kg 第二類曲線積分1. 1. 定義定義 kkkknkyqxp ),(),(limkk10 lyyxqxyxpd),(d),(2. 2. 性質(zhì)性質(zhì)(1) (1) l l 可分成可分成 k 條有向光滑曲線弧條有向光滑曲線弧),1(kili lyyxqxyxpd),(d),( ilkiyyxqxyxpd),(d),(1(2) (2) l

27、 表示表示 l 的反向弧的反向弧 lyyxqxyxpd),(d),( lyyxqxyxpd),(d),(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向積分弧段的方向! !內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分,)()(: tytxl 3. 3. 計(jì)算計(jì)算 lyyxqxyxpd),(d),( tttqttpbad )(),( )(),( )(t )(t 對(duì)有向光滑弧對(duì)有向光滑弧機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 bat: 若曲線若曲線 l 的方程為極坐標(biāo)方程：的方程為極坐標(biāo)方程：, )( :先化成參數(shù)方程

28、：先化成參數(shù)方程：,sin)(cos)( yx :然后用公式計(jì)算。然后用公式計(jì)算。第二類曲線積分zzyxryzyxqxzyxpd),(d),(d),( battztytx :,)()()( batttp)(, )(),( )(t )(t )(t )(, )(),(tttq )(, )(),(tttr td 對(duì)空間有向光滑弧對(duì)空間有向光滑弧 : :機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分區(qū)別：區(qū)別： 第一類第一類曲線積分與路徑的方向無關(guān)，化成定曲線積分與路徑的方向無關(guān)，化成定積分時(shí)，下限總小于上限；積分時(shí)，下限總小于上限；機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁

29、返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類第二類曲線積分與路徑的方向有關(guān)（方向改曲線積分與路徑的方向有關(guān)（方向改變，積分值變號(hào)），化成定積分時(shí)，下限未變，積分值變號(hào)），化成定積分時(shí)，下限未必小于上限。必小于上限。4. 4. 兩類曲線積分的聯(lián)系與區(qū)別兩類曲線積分的聯(lián)系與區(qū)別 sqpldcoscos zryqxpddd srqpdcoscoscos 聯(lián)系：聯(lián)系： lyqxpdd第二類曲線積分作業(yè)作業(yè) 習(xí)題習(xí)題9-2(p250) 1(3)(6)(7)(8)； 2(2)(4); 3; 5；7第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二類曲線積分1 1、的的弧弧段段。到到上上從從為為求求)1 , 1()1, 1(,2ba

30、xylxydxl 解解的定積分，的定積分，化為對(duì)化為對(duì) x)1(.xy obaolxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( a)1 , 1(b機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 的的定定積積分分，化化為為對(duì)對(duì) y)2(,2yx ablxydxxydx 1122)(dyyyy. 11: y 1142dyy.54 備用題備用題第二類曲線積分xyzo34)5 , 4 , 3(b)0 , 0 , 2(a )0 , 4 , 3(c解：解：的參數(shù)方程為：的參數(shù)方程為：ab10:,5,4,2 ttztytx的參數(shù)方程為：的參

31、數(shù)方程為：bc01:,5, 4, 3 ttzyx bcab原原式式dtttt 10)5)2(454(dt 015321915249 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分)0 , 0 , 1(a)0 , 1 , 0(b)1 , 0 , 0(coxyz3. 已知已知 為折線為折線 abcoa( (如圖如圖), ), 計(jì)算計(jì)算 zyyxiddd提示提示: :i0 01d)1(yy 10dx2 )211( 1 21 01d2 x1 yx1 zyyxabdd zyybcdd oaxd機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分 f原點(diǎn)原

32、點(diǎn) o 的距離成正比的距離成正比,4 4、 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在),(yxm處受處受恒指向原點(diǎn)恒指向原點(diǎn), ,)0,(aa沿橢圓沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)12222 byax逆時(shí)針移動(dòng)到逆時(shí)針移動(dòng)到, ),0(bb),(yxmxyo)0 ,(aa), 0(bb提示提示: :yykxxkwdd ab:abtaxcos tbysin 20: t, ,yxom f 的大小與的大小與m 到原到原f 的方向的方向力力f 的作用的作用,求力求力f 所作的功所作的功. . ,yxkf f,xyk 思考思考: : 若題中若題中f 的方向的方向 改為與改為與om 垂直且與垂直且與y 軸夾銳角軸夾銳角, ,則則 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第二類曲線積分5.5.將積分將積分yyxqxyxpld),(d),( 化為對(duì)弧長(zhǎng)的積化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分分, ,0222 xyx).0 , 2()0 , 0(bo到到從從解解1 1：yxy 1 yyxqxyxpld),(d),(故故 syxqyxpld),(),( y)1(x 其中其中l(wèi) 沿上半圓周沿上半圓周機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊對(duì)兩邊對(duì)方程方程xxyx0222 oyxb 處的切向量為處的切向量為上任一點(diǎn)上任一