高一數(shù)學(xué)下第5章解斜三角形解析及答案

1、高一數(shù)學(xué)下第5章解斜三角形解析及答案鞏固基礎(chǔ)一、自主梳理 1.正弦定理：=2r，其中r是三角形外接圓半徑. 2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosa,b2=a2+c2-2accosb,cosa=. 3.sabc=absinc=bcsina=acsinb,s=sr(s=,r為內(nèi)切圓半徑)=(r為外接圓半徑). 4.在三角形中大邊對(duì)大角，反之亦然. 5.射影定理：a=bcosc+ccosb,b=acosc+ccosa,c=acosb+bcosa. 6.三角形內(nèi)角的誘導(dǎo)公式 (1)sin(a+b)=sinc,cos(a+b)=-cosc,tanc=-tan(a+b),cos=sin, sin=

2、cos 在abc中，熟記并會(huì)證明tana+tanb+tanc=tana·tanb·tanc; (2)a、b、c成等差數(shù)列的充要條件是b=60°； (3)abc是正三角形的充要條件是a、b、c成等差數(shù)列且a、b、c成等比數(shù)列. 7.解三角形常見(jiàn)的四種類(lèi)型 (1)已知兩角a、b與一邊a,由a+b+c=180°及=，可求出角c，再求b、c. (2)已知兩邊b、c與其夾角a，由a2=b2+c2-2bccosa，求出a，再由余弦定理，求出角b、c. (3)已知三邊a、b、c，由余弦定理可求出角a、b、c. (4)已知兩邊a、b及其中一邊的對(duì)角a，由正弦定理=，求出

3、另一邊b的對(duì)角b，由c=-(a+b)，求出c，再由=求出c，而通過(guò)=求b時(shí)，可能出一解，兩解或無(wú)解的情況，其判斷方法，如下表：a>90°a=90°a<90°a>b一解一解一解a=b無(wú)解無(wú)解一解a<ba>bsina兩解無(wú)解無(wú)解a=bsina一解a<bsina無(wú)解 8.用向量證明正弦定理、余弦定理，關(guān)鍵在于基向量的位置和方向. 9.三角形的分類(lèi)或形狀判斷的思路，主要從邊或角兩方面入手.二、點(diǎn)擊雙基1.在abc中，a=60°，a=43,b=4，則b等于( )a.45°或135° b.135° c

4、.45° d.以上答案都不對(duì)解析：sinb=,又b<a,b<a.0°<b<60°.故b=45°.答案：c2.abc中，a=2bcosc，則此三角形一定是( )a.等腰三角形 b.直角三角形c.等腰直角三角形 d.等腰或直角三角形解析：由正弦定理得sina=2sinbcosc, 即sin(b+c)=2sinbcosc. sin(b-c)=0. 又-<b-c<，b-c=0.答案：a3.設(shè)a是abc最小內(nèi)角，則sina+cosa的取值范圍是( )a.(-，) b.-, c.(1，) d.(1,解析：0°<a6

5、0°,45°<a+45°105°. sina+cosa=sin(a+45°)(1,.答案：d4.(2006山東濰坊檢測(cè))在abc中，cos2=(a、b、c分別為角a、b、c的對(duì)邊)，則abc的形狀為( )a.正三角形 b.直角三角形c.等腰三角形或直角三角形 d.等腰直角三角形解析：cos2=,=,即cosa=. 又cosa=,=,即a2+b2=c2.abc為直角三角形.故選b.答案：b5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,則a=_.解析：由已知得(b+c)2-a2=3bc,b2+c2-a2=bc.=.a=.答案：訓(xùn)練思維6、ab

6、c的三個(gè)內(nèi)角a、b、c的對(duì)邊分別是a、b、c,如果a2=b(b+c),求證:a=2b.剖析：研究三角形問(wèn)題一般有兩種思路.一是邊化角,二是角化邊.證明：用正弦定理,a=2rsina,b=2rsinb,c=2rsinc,代入a2=b(b+c)中,得 sin2a=sinb(sinb+sinc)sin2a-sin2b=sinbsinc -=sinbsin(a+b) (cos2b-cos2a)=sinbsin(a+b) sin(a+b)sin(a-b)=sinbsin(a+b).因?yàn)閍、b、c為三角形的三內(nèi)角,所以sin(a+b)0.所以sin(a-b)=sinb.所以只能有a-b=b,即a=2b.講

7、評(píng)：利用正弦定理,將命題中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角間關(guān)系,從而全部利用三角公式變換求解.鏈接·聚焦 7、(1)該題若用余弦定理如何解決? 解：利用余弦定理,由a2=b(b+c),得 cosa= =,cos2b=2cos2b-1=2()2-1=-1=. 所以cosa=cos2b.因?yàn)閍、b是abc的內(nèi)角,所以a=2b. (2)該題根據(jù)命題特征,能否構(gòu)造一個(gè)符合條件的三角形,利用幾何知識(shí)解決? 解：由題設(shè)a2=b(b+c),得=, 做出abc,延長(zhǎng)ca到d,使ad=ab=c,連結(jié)bd.式表示的即是=,所以bcdabc.所以1=d. 又ab=ad,可知2=d,所以1=2. 因?yàn)閎ac=2+d=22

8、=21, 所以a=2b.講評(píng)：近幾年的高考題中,涉及到三角形的題目,重點(diǎn)考查正弦、余弦定理,考查的側(cè)重點(diǎn)還在于三角轉(zhuǎn)換.這是命題者的初衷.8、（2004全國(guó)高考卷）已知銳角abc中,sin(a+b)=,sin(a-b)=.(1)求證:tana=2tanb;(2)設(shè)ab=3,求ab邊上的高.剖析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式,結(jié)合圖形,以(1)為鋪墊,解決(2).(1)證明：sin(a+b)=,sin(a-b)=, =2. tana=2tanb.(2)解：a+b,sin(a+b)=. tan(a+b)=-, 即=-.將tana=2tanb代入上式整理得2tan2b-4tanb-1=0

9、,解得tanb=(負(fù)值舍去).得tanb=,tana=2tanb=2+. 設(shè)ab邊上的高為cd,則ab=ad+db=+=. 由ab=3得cd=2+,ab邊上的高為2+.講評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)概念,兩角和與差的公式以及應(yīng)用,分析和計(jì)算能力.9、 如圖，有兩條相交成60°角的直路ef、mn，交點(diǎn)是o.起初，阿福在oe上距o點(diǎn)3千米的點(diǎn)a處；阿田在om上距o點(diǎn)1千米的點(diǎn)b處.現(xiàn)在他們同時(shí)以4千米/時(shí)的速度行走，阿福沿ef的方向，阿田沿nm的方向.(1)求起初兩人的距離；(2)用包含t的式子表示t小時(shí)后兩人的距離；(3)什么時(shí)候他們兩人的距離最短？解：(1)ab2=oa2+ob2-2oa

10、·obcos60°=7, 起初他們兩人的距離是7千米. (2)設(shè)他們t小時(shí)后的位置分別是p、q，則ap=4t,bq=4t. 下面分兩種情況討論: 當(dāng)0t時(shí)，pq2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°. 當(dāng)t>時(shí)，pq2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°. 由綜合得pq2=48t2-24t+7,即pq=. (3)pq2=48t2-24t+7=48(t-)2+4, 當(dāng)t=時(shí)，即在第15分鐘時(shí)他們兩人的距離最短.鏈接·拓展 本題還可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，從而避免分類(lèi)討論.

11、提示：以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，oe所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，則t時(shí)刻p(3-4t,0),q(1+4t), (1+4t).狀元訓(xùn)練復(fù)習(xí)篇10.在abc中，下列三式·>0,·>0,·>0中能夠成立的不等式個(gè)數(shù)( )a.至多1個(gè) b.有且僅有1個(gè) c.至多2個(gè) d.至少2個(gè)解析：原條件可轉(zhuǎn)化為cosa>0,cosb>0,cosc>0.而a、b、c是三角形的內(nèi)角，a+b+c=最多一個(gè)鈍角.答案：d11.在abc中，a=80,b=100,a=45°，則此三角形解的情況是( )a.一解 b.兩解 c.一解或兩解 d.無(wú)解解析：bsina=

12、50,a>bsina.答案：b12（理）在abc中，若a=60°,b=1,sabc=，則的值為( )a. b. c. d.解析：sabc=bcsina,bcsina=. c=4.a2=b2+c2-2bccosa=13.a=. =.答案：b13、(文)(2004浙江高考)在abc中,“a30°”是“sina”的( )a.充分而不必要條件 b.必要而不充分條件c.充分必要條件 d.既不充分也不必要條件解析：在abc中,a30°0sina1sina;sina30°a150°a30°.答案：b14.在abc中,角a、b、c所對(duì)的邊分別是

13、a、b、c,若三角形的面積s=(a2+b2-c2),則c的度數(shù)是_.解析：由s=(a2+b2-c2)得absinc=·2abcosc.tanc=1.c=45°.答案：45°15.在abc中,若c=60°,則+=_.解析：+= =. (*) c=60°,a2+b2-c2=2abcosc=ab.a2+b2=ab+c2. 代入(*)式得=1.答案：116.在abc中，c=2,a>b,c=,且有tana·tanb=6,試求a、b以及此三角形的面積.思路分析：由已知可求出tana+tanb,這樣便可求得tana和tanb的值，只要求出si

14、na、sinb利用正弦定理可求得a、b.解：tana+tanb=tan(a+b)(1-tanatanb) =-tanc(1-tanatanb) =-tan(1-6)=5, 又tana·tanb=6且a>b,則tana>tanb.tana=3,tanb=2. 而0<a<,0<b<, sina=,sinb=. 由正弦定理得a=, b=, sabc=absinc=.17.(2006北京海淀模擬)(理)abc中，角a、b、c的對(duì)邊分別為a、b、c，2sin2c=3cosc,c=,又abc的面積為.求：(1)角c的大?。?2)a+b的值.解：(1)由已知得2

15、(1-cos2c)=3cosc, cosc=或cosc=-2(舍), 在abc中，c=60°. (2)sabc=absinc=, absin60°=.ab=6. 又c2=a2+b2-2abcosc, ()2=a2+b2-2abcosc. a2+b2-ab=7.a2+b2=13. a+b=5.18(文)abc中，角a、b、c的對(duì)邊分別為a、b、c，abc的面積為,且c=,3cosc-2sin2c=0.求：(1)角c的大小；(2)a、b的值.解：(1)由已知得2(1-cos2c)=3cosc, cosc=或cosc=-2(舍), 在abc中，c=60°.(2)sabc

16、=absinc=, absin60°=.ab=6. 又c2=a2+b2-2abcosc, ()2=a2+b2-2abcosc. a2+b2-ab=7.a2+b2=13. a+b=5. a=2,b=3或a=3,b=2.加強(qiáng)篇19、在abc中，角a、b、c所對(duì)的邊分別為a、b、c,依次成等比數(shù)列，求y=的取值范圍.解：b2=ac, cosb= =(+)-.0b, y= =sinb+cosb=sin(b+). b+,sin(b+)1.故1y.20.(全新創(chuàng)編題)某城市有一條公路,自西向東經(jīng)過(guò)a點(diǎn)到市中心o點(diǎn)后轉(zhuǎn)向東北方向ob,現(xiàn)要修建一條鐵路l,l在oa上設(shè)一站a,在ob上設(shè)一站b,鐵路在

17、ab部分為直線段,現(xiàn)要求市中心o與ab的距離為10 km,問(wèn)把a(bǔ)、b分別設(shè)在公路上離中心o多遠(yuǎn)處才能使|ab|最短?并求其最短距離.(不要求作近似計(jì)算)解：在aob中,設(shè)oa=a,ob=b. 因?yàn)閍o為正西方向,ob為東北方向, 所以aob=135°. 則|ab|2=a2+b2-2abcos135°=a2+b2+ab2ab+ab=(2+)ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),“=”成立.又o到ab的距離為10,設(shè)oab=,則oba=45°-.所以 a=,b=, ab=·= = = =, 當(dāng)且僅當(dāng)=22°30時(shí),“=”成立. 所以|ab|2=400(+1)2,

18、 當(dāng)且僅當(dāng)a=b,=22°30時(shí),“=”成立. 所以當(dāng)a=b=10時(shí),|ab|最短,其最短距離為20(+1),即當(dāng)ab分別在oa、ob上離o點(diǎn)10km處,能使|ab|最短,最短距離為20(-1).教學(xué)參考 一、教學(xué)思路 1.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩條途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊.具體有如下四種方法：通過(guò)正弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換；通過(guò)余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換；通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；通過(guò)三角函數(shù)值符號(hào)的判斷以及正、余弦函數(shù)有界性的討論. 2.用正弦(余弦)定理解三角形問(wèn)題時(shí)可適當(dāng)應(yīng)用向量數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用向量的模求三角形邊長(zhǎng)等. 3.在判斷三角形形狀或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件. 4.用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角時(shí)，需通過(guò)向量的方向判斷向量的夾角與三角形內(nèi)角是相等還是互補(bǔ). 二、注意問(wèn)題 1.一方面要讓學(xué)生體會(huì)向量方法在解三角形方面的應(yīng)用,另一方面要讓學(xué)生體會(huì)解三角