數(shù)學(xué)建模之下料問題

1、數(shù)學(xué)建模第三次作業(yè)下料問題摘要本文是針對如何對鋼管進行下料問題，根據(jù)題目要求以及下料時有關(guān)問題進行建立切割費用最少以及切割總根數(shù)最少兩個目標函數(shù)通過結(jié)果分析需要使用何種切割模式。生產(chǎn)方式所花費的成本價格或多或少有所不同，如何選取合理的生產(chǎn)方式以節(jié)約成本成為了很多廠家的急需解決的問題。這不僅僅關(guān)系到廠家的利益，也影響到一個國家甚至整個人類星球的可利用資源，人們的生活水平不斷提高對物資的需求量也不斷上升，制定有效合理的生產(chǎn)方式不僅可以為生產(chǎn)者節(jié)約成本也可以為社會節(jié)約資源，以達到資源利用最大化。本文以用于切割鋼管花費最省及切割總根數(shù)最少為優(yōu)化目標，通過構(gòu)建多元函數(shù)和建立線性整數(shù)規(guī)劃模型，利用數(shù)學(xué)及相

2、關(guān)方面的知識對鋼管的切割方式進行優(yōu)化求解最佳方案。本文最大的特色在于通過求解出切割鋼管花費最省及切割總根數(shù)最少時分別得出兩種目標函數(shù)取最小值時的切割模式。通過結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩種目標函數(shù)取最小值時所需切割根數(shù)都一樣。于是選擇切割鋼管花費最省為目標函數(shù)，此時的切割模式達到最少，這樣既滿足了總根數(shù)最小有滿足了切割費用最小。關(guān)鍵詞：切割模式 lingo軟件 線性整數(shù)一、問題的提出某鋼管零售商從鋼管廠進貨，將鋼管按照顧客的要求切割后出售。從鋼管廠進貨時得到的原料鋼管的長度都是1850mm。現(xiàn)有一客戶需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的鋼管。為了簡化生產(chǎn)過程，規(guī)定所使用的

3、切割模式的種類不能超過4種，使用頻率最高的一種切割模式按照一根原料鋼管價值的1/10增加費用，使用頻率次之的切割模式按照一根原料鋼管價值的2/10增加費用，依次類推，且每種切割模式下的切割次數(shù)不能太多（一根鋼管最多生產(chǎn)5根產(chǎn)品）。此外，為了減少余料浪費，每種切割模式下的余料不能超過100mm。為了使總費用最小，應(yīng)如何下料？二、基本假設(shè)1、假設(shè)所研究的每根鋼管的長度均為1850mm的鋼管。2、假設(shè)每次切割都準確無誤。3、假設(shè)切割費用短時間內(nèi)不會波動為固定值。5、假設(shè)鋼管余料價值為0.6、假設(shè)一切運作基本正常不會產(chǎn)生意外事件。 7、每一根鋼管的費用都一樣，為一常值。三、符號說明符號意義表示按照第

4、種切割模式（）切割的原料鋼管的根數(shù)第種切割模式下每根原料鋼管生產(chǎn)290mm鋼管的數(shù)量第種切割模式下每根原料鋼管生產(chǎn)315mm鋼管的數(shù)量第種切割模式下每根原料鋼管生產(chǎn)350mm鋼管的數(shù)量第種切割模式下每根原料鋼管生產(chǎn)455mm鋼管的數(shù)量生產(chǎn)鋼管過程所需要增加的總費用n所需鋼管的總根數(shù)四、問題分析和模型的建立與求解4.1、問題分析和模型的建立與求解4.1.1問題的分析 結(jié)合題意，首先我們要確定應(yīng)該選取哪些切割模式，生產(chǎn)15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的鋼管，每一種切割模式都要符合客戶的需求在原料鋼管上安排切割的一種組合，而且必須滿足一根原料剛管只能生產(chǎn)5根鋼管

5、。例如，我們可以將1850mm的鋼管切割成5根長350mm的鋼管，余料為100mm；或者將長1850mm的鋼管切割成長315mm、355mm和455mm的鋼管2根、2根、1根，余料為65mm。顯然，可行的切割模式是很多的。于是問題化為在滿足客戶需要的條件下，按照哪幾種合理的模式進行切割，每種模式切割多少根原料鋼管最為節(jié)省。而由于需求的鋼管規(guī)格為4種，所以枚舉法的工作量較大?？梢杂脁i表示按照第i種模式（i=1,2,3，4）切割的原料鋼管的根數(shù)。又設(shè)使用第i種切割模式下每根原料鋼管生產(chǎn)長290mm、315mm、355mm和455mm的鋼管數(shù)量分別為r1i，r2i，r3i，r4i。而所謂節(jié)省，這里

6、有兩種標準，一種切割后剩余的總余料量最小，二是切割原料鋼管的總根數(shù)最少。4.1.2模型的建立 根據(jù)情況，我們忽略每根鋼管的成本價，直接計算增加的總費用，即：min p=0.1x1+0.2x2+0.3x3+0.4x4總根數(shù)最少：min n=x1+x2+x3+x4假設(shè)條件 x1>=x2>=x3>=x4 (4-1)滿足客戶需求的約束條件為:r11x1+r12x2+r13x3+r14x4 15 (4-2)r21x1+r22x2+r23x3+r24x4 28 (4-3)r31x1+r32x2+r33x3+r34x4 21 (4-4)r41x1+r42x2+r43x3+r44x4 30

7、(4-5)每一種切割模式必須可行、合理，所以每根原料鋼管的成品量不能超過1850mm，也不能少于1750mm（余料不能大于100mm），于是175015r11+28r21+21r31+30r41 1850 (4-6)175015r12+28r22+21r32+30r42 1850 (4-7)175015r13+28r23+21r33+30r43 1850 (4-8)175015r14+28r24+21r34+30r44 1850 (4-9)最后，加上非負整數(shù)約束：xi，rji z+ ， i=1,2,3,4 j=1,2,3,4 (4-10)于是，問題歸結(jié)為在在約束條件（4-2）（4-10）下，求

8、xi和r1i，r2i，r3i，r4i（i=1,2,3）使目標（4-1）達到最小。顯然這是線性整數(shù)規(guī)劃模型。4.1.3模型的求解非線性整數(shù)規(guī)劃模型（4-1）（4-9）雖然用lingo軟件可以直接求解，但為了減少運行時間，可以增加一些顯然的約束條件，從而縮小可行解的搜索范圍。例如，由于4種切割模式的排列順序是無關(guān)要緊的，所以不妨增加以下約束：x1x2x3x4 （4-11）又如，注意到所需原料鋼管的總根數(shù)有明顯的上界和下界。首先，原料鋼管的根數(shù)不可能少于 (4-12)（根）。其次，考慮一種非常特殊的生產(chǎn)計劃：第一種切割模式下只生產(chǎn)290mm鋼管，一根原料鋼管切割成6根290mm鋼管，為滿足15根29

9、0mm鋼管的需求，需要3根原料鋼管；第二種切割模式下只生產(chǎn)315mm鋼管，一根原料鋼管切割成5根315mm鋼管為滿足28根315mm的需求，需要6根原料鋼管；第三種切割模式下只生產(chǎn)350mm鋼管，一根原料鋼管切割成5根350mm鋼管，為滿足21根350mm鋼管的需求，需要5根原料鋼管；第四種切割模式下只生產(chǎn)455mm鋼管，一根原料鋼管切割成4根455mm鋼管，為滿足30根455mm鋼管的需求，需要8根原料鋼管。于是滿足要求的這種生產(chǎn)計劃共需要3+6+5+8=22根原料鋼管，這就得到了最優(yōu)解的一個上界，所以可增加以下約束： 19x1+x2+x3+x422 (4-13)將式（4-1）（4-13）構(gòu)

10、成的模型輸入lingo如下：model:min=0.1*x1+0.2*x2+0.3*x3+0.4*x4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15; r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28; r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21; r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=30; 290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850; 290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850;290*r13+315*r23+350*r

11、33+455*r43<=1850;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;x1+x2+x3+x4>=19;x1+x2+x3+x4<=22;x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;gin(x1)

12、；gin(x2)；gin(x3)；gin(x4);gin(r11)；gin(r12)；gin(r13)；gin(r14);gin(r21)；gin(r22)；gin(r23)；gin(r24);gin(r31)；gin(r32)；gin(r33)；gin(r34);gin(r41)；gin(r42)；gin(r43)；gin(r44);end當花費p最少時，得到結(jié)果為:總共需要19根原料鋼管。分別為: 模式一：一根原料可以切割成315mm鋼管2根，350mm鋼管2根，455mm鋼管1根，總共8根。模式二：一根原料可以切割成290mm鋼管1根，315mm鋼管2根，455mm鋼管2根 總共6根。模

13、式三：一根原料可以切割成290mm鋼管2根，350mm鋼管1根，455mm鋼管2根，總共5根。 當總根數(shù)最少時，得到結(jié)果為:總共需要19根原料鋼管。分別為： 模式一：一根原料可以切割成290mm鋼管1根，315mm鋼管2根， 455mm鋼管2根，總共7根。模式二：一根原料可以切割成315mm鋼管1根，350mm鋼管3根，455mm鋼管1根 總共5根。模式三：一根原料可以切割成290mm鋼管2根，315mm鋼管1根，455mm鋼管2根，總共4根。 模式四：一根原料可以切割成315mm鋼管2根，350mm鋼管2根，455mm鋼管1根，總共3根。 綜合兩種情況，當兩個目標函數(shù)取最小值時，所需的總根數(shù)

14、都為19。如果選擇總根數(shù)最小為目標函數(shù)，則切割模式增加一種，那么切割費用有所增加。為此選擇切割費用最小為目標函數(shù)，這樣既滿足了總根數(shù)最小有滿足了切割費用最小。五、評價與改進 在本文中，對于如何下料是根據(jù)客戶的需要建立了兩個目標函數(shù)，通過求解模型發(fā)現(xiàn)，總根數(shù)最小為目標函數(shù)及切割費用最小為目標函數(shù)都取最小值時，所需原料都一樣。那么本文的優(yōu)點就是通過結(jié)果比較，再結(jié)合客戶需求選取切割費用最少為目標函數(shù)。此時的切割模式達到最少，這樣既滿足了總根數(shù)最小有滿足了切割費用最小。六、參考文獻【1】姜啟源等，數(shù)學(xué)模型(第三版)，高等教育出版社，2003七、附錄7.1 附錄正文附錄一：lingo求解代碼：min=x

15、1+x2+x3+x4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=30;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850;290*r14+315*r24+350*r34+45

16、5*r44<=1850;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;x1+x2+x3+x4>=19;x1+x2+x3+x4<=22;x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(r11);gin(r12);gin

17、(r13);gin(r14);gin(r21);gin(r22);gin(r23);gin(r24);gin(r31);gin(r32);gin(r33);gin(r34);gin(r41);gin(r42);gin(r43);gin(r44);end附錄二：local optimal solution found at iteration: 43721 objective value: 19.00000 variable value reduced cost x1 8.000000 0.000000 x2 6.000000 0.000000 x3 5.000000 0.000000 x4 0

18、.000000 0.000000 r11 0.000000 0.000000 r12 1.000000 0.000000 r13 2.000000 0.000000 r14 0.000000 0.000000 r21 2.000000 0.000000 r22 2.000000 0.000000 r23 0.000000 0.000000 r24 0.000000 0.000000 r31 2.000000 0.000000 r32 0.000000 0.000000 r33 1.000000 0.000000 r34 0.000000 0.000000 r41 1.000000 0.0000

19、00 r42 2.000000 0.000000 r43 2.000000 0.000000 r44 4.000000 0.000000 row slack or surplus dual price 1 19.00000 -1.000000 2 1.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 65.00000 0.000000 7 20.00000 0.000000 8 10.00000 0.000000 9 30.00000 0.000000 10 35.00000 0.0000

20、00 11 80.00000 0.000000 12 90.00000 0.000000 13 70.00000 0.000000 14 0.000000 -1.000000 15 3.000000 0.000000 16 2.000000 0.000000 17 1.000000 0.000000 18 5.000000 0.000000附錄三：local optimal solution found at iteration: 12509 objective value: 19.00000 variable value reduced cost x1 7.000000 0.000000 x2 5.000000 0.000000 x3 4.000000 0.000000 x4 3.000000 0.000000 r11 1.000000 0.000000 r12 0.000000 0.000000 r13 2.000000 0.000000 r14 0.000000