《二元一次不等式(組)與平面區(qū)域》典型例題透析

1、數(shù)學(xué)備課大師 目錄式免費(fèi)主題備課平臺(tái)！二元一次不等式（組）與平面區(qū)域典型例題透析類型一：二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域例1. 畫出不等式表示的平面區(qū)域。解析：先畫直線（畫成虛線）.取原點(diǎn)代入得,原點(diǎn)不在表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式表示的區(qū)域如圖：總結(jié)升華： 1. 畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定域”的方法。特殊地，當(dāng)時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)。2. 虛線表示區(qū)域不包括邊界直線，實(shí)線表示區(qū)域包括邊界直線舉一反三：【變式1】畫出下列不等式所表示的平面區(qū)域（1）； （2）【答案】 （1） （2）例2. 用平面區(qū)域表示不等式組.思路點(diǎn)撥: 不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示

2、的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。解析：不等式表示直線右下方的區(qū)域，表示直線右上方的區(qū)域，取兩區(qū)域重疊的部分，如圖的陰影部分就表示原不等式組的解集?？偨Y(jié)升華：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。舉一反三：【變式1】畫出下列不等式組表示的平面區(qū)域。（1）； （2）； （3）.【答案】 （1） （2） （3）【變式2】畫出不等式組表示的平面區(qū)域并求其面積?！敬鸢浮咳鐖D，面積為；【變式3】由直線，和圍成的三角形區(qū)域（如圖）用不等式組可表示為 。【答案】例3. 畫出下列不等式表示的平面區(qū)域(1) ； (2)

3、思路點(diǎn)撥: 將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組，然后畫圖.解析：(1) 原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為或（無解），故點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)，如圖：(2) 原不等式等價(jià)為或，如圖總結(jié)升華：把非規(guī)范形式等價(jià)轉(zhuǎn)化為規(guī)范不等式組形式便于求解舉一反三：【變式1】用平面區(qū)域表示不等式【答案】【變式2】用平面區(qū)域表示不等式（1）； （2）； （3）【答案】 （1） （2） （3）例4.求滿足不等式組的整數(shù)解.思路點(diǎn)撥:不等式組的實(shí)數(shù)解集為直線： ，：，：所圍成的三角形區(qū)域內(nèi)部(不含邊界)，求出三條直線的交點(diǎn)，求得區(qū)域內(nèi)點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍，取出的所有整數(shù)值，再代回原不等式組轉(zhuǎn)化為的一元不等式組得出相應(yīng)的的整數(shù)值。解析：設(shè)： ，：，：，則由，得，

4、由，得由，得于是看出區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)在內(nèi)，取，當(dāng)時(shí)，代入原不等式組有，即，得2，區(qū)域內(nèi)有整點(diǎn)。同理可求得另外三個(gè)整點(diǎn)、.總結(jié)升華：求不等式的整數(shù)解即求區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)是教學(xué)中的難點(diǎn)，它為線性規(guī)劃中求最優(yōu)整數(shù)解作鋪墊。常有兩種處理方法，一種是通過打出網(wǎng)絡(luò)求整點(diǎn)；另一種是本題解答中所采用的，先確定區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍，確定的所有整數(shù)值，再代回原不等式組，得出的一元一次不等式組，再確定的所有整數(shù)值，即先固定，再用制約。舉一反三：【變式】求不等式組的整數(shù)解。【答案】如圖所示，作直線，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫出滿足不等式組的區(qū)域，此三角形區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1,1)，(2,1)，(

5、3,1)即為原不等式組的整數(shù)解。類型二：圖解法解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題.例5.已知、滿足約束條件，求下列各式的最大值和最小值. （1）； （2）.解析：（1）不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示：求出交點(diǎn)，作過點(diǎn)的直線:，平移直線，得到一組與平行的直線:,. 可知，在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于的直線中，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的直線所對(duì)應(yīng)的最大，所以；當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的直線所對(duì)應(yīng)的最小，所以.（2）不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示：作過點(diǎn)的直線:，平移直線，得到一組與平行的直線:,. 可知，在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于的直線中，當(dāng)經(jīng)過線段上的所有點(diǎn)時(shí)的直線所對(duì)應(yīng)的最大，所以；當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的直線

6、所對(duì)應(yīng)的最小，所以.總結(jié)升華：1.本題的切入點(diǎn)是賦予“”恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x：縱截距或橫截距；2.線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得；3.線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值也可能在可行域的邊界上取得，即滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)的圖象一定與區(qū)域中的一條邊界直線平行舉一反三：【變式1】求的最大值和最小值，使式中的、滿足約束條件.【答案】不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示：從圖示可知，直線在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，以經(jīng)過點(diǎn)的直線所對(duì)應(yīng)的最小，以經(jīng)過點(diǎn)的直線所對(duì)應(yīng)的最大.所以，.【變式2】求的最大值、最小值，使、滿足條件【答案】，例6. 某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)

7、每一噸產(chǎn)品所需的勞動(dòng)力和煤、電耗如下表：產(chǎn)品品種勞動(dòng)力（個(gè)）煤（噸）電（千瓦）A產(chǎn)品394B產(chǎn)品1045已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤是7萬元，生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤是12萬元，現(xiàn)因條件限制，該企業(yè)僅有勞動(dòng)力300個(gè)，煤360噸，并且供電局只能供電200千瓦，試問該企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各多少噸，才能獲得最大利潤？思路點(diǎn)撥:本題中條件較多，應(yīng)分門列類列出約束條件后，再運(yùn)用圖解法進(jìn)行求解。解析：設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各x、y噸，利潤為z萬元?jiǎng)t，目標(biāo)函數(shù)作出可行域，如圖所示， 作出在一組平行直線7x+12y=t（t為參數(shù)）中經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)和原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線，此直線經(jīng)過點(diǎn)M（20，24）故z的最優(yōu)解為（2

8、0，24），z的最大值為7×20+12×24=428（萬元）?？偨Y(jié)升華：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實(shí)際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解舉一反三：【變式1】家具公司制作木質(zhì)的書桌和椅子，需要木工和漆工兩道工序，已知木工平均四個(gè)小時(shí)做一把椅子，八個(gè)小時(shí)做一張書桌，該公司每星期木工最多有8000個(gè)工作時(shí)；漆工平均兩小時(shí)漆一把椅子、一小時(shí)漆一張書桌，該公司每星期漆工最多有1300個(gè)工作時(shí)，又已知制作一把椅

9、子和一張書桌的利潤分別是15元和20元，試根據(jù)以上條件，問怎樣安排生產(chǎn)能獲得最大利潤?【答案】設(shè)制作x把椅子，y張桌子約束條件：， 目標(biāo)函數(shù)：z=15x+20y.如圖：目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，z取得最大值 即A(200, 900) 當(dāng)x=200, y=900時(shí)，zmax=15×200+20×900=21000(元)答：安排生產(chǎn)200把椅子，900張桌子時(shí)，利潤最大為21000元?！咀兪?】某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件要消耗煤9噸，電力4千瓦，使用勞動(dòng)力3個(gè)，獲利7000元：生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件要消耗煤4噸，電力5千瓦，使用勞動(dòng)力10個(gè)，獲利12000元。有一個(gè)生產(chǎn)日，這

10、個(gè)廠可動(dòng)用的煤是360噸，電力是200千瓦，勞動(dòng)力是300個(gè)，問應(yīng)該如何安排甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，才能使工廠在當(dāng)日的獲利最大，并問該廠當(dāng)日的最大獲利是多少?【答案】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件 約束條件：， 目標(biāo)函數(shù)：z=7000x+12000y如圖：目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，z取得最大值 ， 即A（20，24） 當(dāng)x=20, y=24時(shí)，zmax=7000×20+12000×24=428000（元）。答：安排甲產(chǎn)品20件，乙產(chǎn)品24件時(shí)，利潤最大為428000元。【變式3】某運(yùn)輸公司有7輛載重量為6 t的A型卡車與4輛載重量為10 t的B型卡車，9名駕駛員，在建筑某段高速公路中，此公司承擔(dān)了每天至少搬運(yùn)360 t瀝青的任務(wù)，已知每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車8次，B型卡車6次，每輛卡車每天往返的成本費(fèi)為A型卡車160元，B型卡車252元，每天派出A型車與B型車各多少輛，才能使公司所花的成本費(fèi)最低？【答案】設(shè)派出A型車x輛，B型車y輛，所花成本費(fèi)為z=160x+252y，且x、y滿足給條件如：，即如圖所示，作出不等式表示的區(qū)域，作直線，即，作直線的平行線：當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)A點(diǎn)時(shí)，縱截距最小，可得A點(diǎn)坐標(biāo)為。z=160x+252y，式中代表該直線的縱截距b，而