更高更妙的物理：專題18電容器

1、專題18 電容器這里，我們將會更多地了解導(dǎo)體的電荷及帶電后的導(dǎo)體。 一個孤立的帶電量為、半徑為的金屬球；它具有電勢，這在我們已然熟知。稍加注意不難發(fā)現(xiàn)，帶電金屬球的電勢與所帶電量具有這樣的關(guān)系：和的比值等于球半徑的分之一，也就是說，比值是一個只與帶電導(dǎo)體的大小形狀有關(guān)而與其帶電多少無關(guān)的物理量。它表征了導(dǎo)體這樣一種特性：使導(dǎo)體得到單位電勢所必須給予的電量。這種特性被定義為導(dǎo)體的電容，定義式。孤立導(dǎo)體的電容一般很小，地球是我們可以接觸到的最大導(dǎo)體，其半徑約，它的電容，也就（微法）左右，所以，孤立導(dǎo)體的電容沒有實際意義。兩個彼此靠近而又相互絕緣的導(dǎo)體組成的電容器在電工及電子設(shè)備中得到廣泛應(yīng)用。因為

2、電容器可以具有很大的電容，即在一定的電勢下帶有更多的電量。電容器的電容，為一個導(dǎo)體（極板）上帶電量，為兩導(dǎo)體間電勢差。電容器的電容是反映電容器儲存電荷的能力的物理量，取決于電容器自身的構(gòu)建。確定一個電容器電容的途徑：一是從定義出發(fā)，一是通過等效變換。對電容器的研究，多涉及電容、電壓、電容器兩極間電場、電容器充、放電及電容器中電場的能量。最簡單的電容器是由靠得很近、互相平行的同樣大小的兩片金屬板組成的平行板電容器。兩板間距離為，兩板正對面積為，每板帶等量異種電荷與，由于板面很大而板間距離很小，故除邊緣部分外，電荷均勻分布在兩極板內(nèi)表面，面密度，根據(jù)高斯定理?！盁o限大”帶電平面兩側(cè)電場，故平行板電

3、容器板間電場強度由每板電荷引起的場強同向疊加：，兩板間電勢差，。球形電容器也是常規(guī)的電容器，由半徑分別為、的兩個同心導(dǎo)體球殼所組成，如圖所示。設(shè)內(nèi)球殼帶電，外球殼帶電，兩球殼之間有球心對稱的電場，方向沿徑向向外，由高斯定理可知，在距球心為（）處場強大小，電勢梯度是非均勻變化的?？紤]在一小段（），將其上場強視作不變，電勢降落，則從到總的電勢降落再由電容定義式即得球形電容器的電容公式為（），說明球形電容器的電容也僅由其幾何形狀及結(jié)構(gòu)決定。 由兩個同軸金屬圓柱面組成的圓柱形電容器也是常見電容器。一根同軸的電纜就形成一個圓柱形電容器，如圖所示為同軸電纜剖視，它的銅芯線和外包銅線相當(dāng)于圓柱形電容器的兩個

4、極板。電纜單位長度的電容是電纜的一個重要的特性參數(shù)，對圓柱形電容器電容的計算也是很有實際意義的，讀者可試解本專題小試身手題。 當(dāng)將兩個電容器如圖所示串聯(lián)時，等效于增大了板間距離，給板充電量、板充電量，右板及左板因靜電感應(yīng)而分別有電量及電量且與連接導(dǎo)線共成一等勢體，設(shè)串聯(lián)后等效電容為，則，。即電容器串聯(lián)后的等效電容值取各相串電容的調(diào)和平均，等效電容變小。 當(dāng)將兩個電容器如圖所示并聯(lián)時，等效于增大了極板的正對面積，各電容器板間電壓均為，設(shè)并聯(lián)后等效電容為，那么，即電容器并聯(lián)后的等效電容值為各相并聯(lián)電容的和。等效電容變大。 下面我們來計算兩個異形電容器的電容?！纠?】如圖所示，兩塊長與寬均為與的導(dǎo)體

5、平板在制成平行板電容器時稍有偏斜，使兩板間距一端為，另一端為（），且，試求該空氣電容器的電容。【分析與解】這里涉及的電容器是板間距離有微小變化的平板電容器，自然想到用微元法；將該電容器看作是個正對面積極小的電容器并聯(lián)而成，每個元電容器極板間距視作恒定，用平行板電容器公式示出其電容，總電容為。先取微元。由于微元量，求這樣一個調(diào)和級數(shù)的和是很困難的，故我們將總電容進(jìn)行分割，每個元電容，如圖所示，設(shè)第個小電容器極板間距離、正對面積，則，即，此式說明各電容相同的小電容器其板間距離是呈等比數(shù)列地從變?yōu)榈?，即。利用極限，得，于是 ?！纠?】如圖所示，兩個半徑均為的導(dǎo)體球相互接觸形成一孤立導(dǎo)體，試求此孤立導(dǎo)

6、體的電容。（）【分析與解】孤立導(dǎo)體的電容取決于其幾何構(gòu)建，球?qū)w電容為，兩個半徑均為的導(dǎo)體球切合，其電容是多少？我們從尋求等效下手。設(shè)系統(tǒng)的電勢為，如若確定此電勢下系統(tǒng)的荷電量，即可由定義求得電容先考慮若只一個金屬球，當(dāng)帶電量時，有，兩球相互接觸時。每球球心電勢將要增加對方球所帶電荷（視作集中在球心）引起的那部分電勢，可以設(shè)想在兩球心連線上適當(dāng)位置放上適當(dāng)電荷所謂像電荷來抵消，以便每球的電勢依然保持為。如圖所示，為了消除處對處電勢的影響，可在與距離處放置（參見專題例結(jié)論）。同樣，為了消除處對處電勢的影響，可在與距離處放置；但在消除對方對自身影響的同時，卻又在對方引起新的電勢，仿照前面做法。再引

7、入對電荷，其位置距球心，電量；如此往復(fù)無窮直至系統(tǒng)電勢為，此時系統(tǒng)總電荷，則該雙金屬球系統(tǒng)的電容為。 至此，我們所討論的電容器兩極間均無其他物質(zhì)，為真空絕緣。當(dāng)改變兩導(dǎo)體的絕緣物質(zhì)時，電容器的電容也將發(fā)生變化。電介質(zhì)的電學(xué)性質(zhì)是幾乎沒有自由電子、由中性分子構(gòu)成，每個分子帶等量異種電荷。通常情況下，整個電介質(zhì)物體不顯電性。當(dāng)把電介質(zhì)物體放在電場中，帶等量異種電荷的中性分子受電場力作用成為按電場方向順序排列的電偶極子，如圖所示，這就使電介質(zhì)的兩端呈局部帶電現(xiàn)象：電場線進(jìn)入的一端表面帶負(fù)電，電場線穿出的一端表面帶正電，這種現(xiàn)象叫做電介質(zhì)極化，電介質(zhì)兩端面上的電荷稱極化電荷。電介質(zhì)與導(dǎo)體在電場中的表現(xiàn)

8、是不同的：極化電荷不同于自由電荷，它不能自由移動；極化電荷建立的電場削弱了外電場，電介質(zhì)里的電場為，真空中場強與處在該場里的電介質(zhì)內(nèi)部被極化電荷削弱后的場強之比值定義為這種電介質(zhì)的介電常數(shù)，介電常數(shù)大于?？諝獾慕殡姵?shù)，一般的計算中將空氣的介電常數(shù)取作。 當(dāng)平行板電容器兩極板間均勻充滿介電常數(shù)為的電介質(zhì)時，其電容將增加為原來的倍，即計算電容的公式成為?！纠?】如圖所示，一平行板電容器，充以三種介電常數(shù)為分別、和的均勻介質(zhì)，板的面積為，板間距離為。試求電容器的電容。【分析與解】這樣一個電容器的電容可等效為由電容與的電容串聯(lián)后與電容的電容器并聯(lián)的電容值，這個等效電容為。 離子型晶體的電介質(zhì)如石英、

9、電氣石等，當(dāng)受到拉伸或壓縮而發(fā)生機械形變時，也能產(chǎn)生電極化現(xiàn)象，這被稱為壓電效應(yīng)。例如石英晶體處在的壓強下時，承受正壓力的上下兩個表面間出現(xiàn)正負(fù)電荷，產(chǎn)生約的電勢差。石英晶體的壓電現(xiàn)象被用來變機械振動為電磁振蕩，它是標(biāo)準(zhǔn)時間石英鐘的運作原理。 多個電容器按不同方式連接后充電，各電容器極板上的電量及兩板間的電壓將由電容器的電容制約，例如當(dāng)幾個原來不帶電的電容器串聯(lián)后，加上電壓，將按各電容器的電容反比例分配在各電容器上，這是因為各串聯(lián)電容器電量相同，而之故；當(dāng)幾個原來不帶電的電容器并聯(lián)后，充電到總電量為，各電容器將按電容正比例地分配電量，因為相同，在下面較為復(fù)雜的背景下，電容對兩板間的電壓及極板上

10、的電量的制約還是解決問題的瓶頸?！纠?】四塊同樣的金屬板，每板面積為，各板帶電量分別為、。各板彼此相距為，平行放置如圖所示，比板的線尺寸小得多，當(dāng)板、板的外面用導(dǎo)線連接，求板與板之間的電勢差?！痉治雠c解】“比板的線尺寸小得多”這個條件使我們可以忽略板的邊 緣效應(yīng)而將各板間電場均看作勻強電場。要求板、間電勢差，關(guān)鍵須確定由板、構(gòu)成的這個電容器的電量。當(dāng)將板、板以導(dǎo)線相連，有兩點；一是板與板成為等勢體；二是板與板總電量守恒為、板2與板3電量不變。我們可以假設(shè)各板左右兩側(cè)電荷分布如圖所示，其中 ，（） 各板間電場線方向如圖所示，即電勢從板到板降落，從板到板回升，從板到板回升，因為板與板等勢，所以。同

11、時每對金屬板構(gòu)成的電容器電容均為，故有， 由、三式解得板右側(cè)與板左側(cè)帶電量，于是可求出、板間的電壓。【例5】如圖所示，兩塊金屬平板平行放置，相距，一板上電荷面密度，另一板上電荷面密度，在兩板之間平行地放置一塊厚的石蠟板，石蠟的介電常數(shù)。求兩金屬板之間的電壓。【分析與解】這個問題中，兩塊金屬板均帶正電荷，如果在每個金屬板上附加面密度為的電荷，電容器的帶電就成為“標(biāo)準(zhǔn)狀況”了。兩板帶等量異種電荷，而附加電荷在板間引起的電場互相抵消，并不影響原來的板間電場，也不會改變電容器的電勢。因為這個電容器等效于一個電容的電容器與一個電容 的電容器串聯(lián)，總電容為，在帶電量為的情況下，兩板電勢差。電荷間存在相互作

12、用的電場力，而任何帶電過程，都是電荷之間的相對移動過程，所以帶電系統(tǒng)的形成過程或改變、削減過程，必定伴隨著電場力做功、其他形式的能與帶電系統(tǒng)電場能的轉(zhuǎn)換。例如用電池對電容器充電時，消耗電池中的化學(xué)能，充了電的電容器獲得靜電能；電容器放電時，它所儲存的電能，就會轉(zhuǎn)化為熱、光、聲等其他形式的能。帶電系統(tǒng)靜電能的變化是用電場力的功來量度的，以平行板電容器為例，我們來研究當(dāng)一個電容為的電容器通過電壓充電，帶上等量異種電量時具有的能量。這個充電過程，可等效為將電荷逐個地從原本電中性的兩極板中的一個板移到另一個板從兩板都不帶電，電勢為零開始，每移動一個電荷元，板間電壓升高一個微量，最后移過總電量，電壓達(dá)到

13、，由于電容恒定，電壓的升高隨電量的增加線性變化，故我們?nèi)∑骄妷?，由功能原理：電場力移動電荷做功等于電容器獲得的電能，即。 下面的問題涉及電容器充、放電過程中的電場、力與能。【例6】如圖所示的電路中，電池電動勢為，不計內(nèi)阻，與為已知量。先在斷開的條件下，接通、，令電池給三個電容器充電；然后斷開、，接通，使電容器放電，求：放電過程中，電阻上總共產(chǎn)生的熱量及放電過程達(dá)到放電總量一半時，上的電流?！痉治雠c解】斷開，、接通的條件下，三個電容器并聯(lián)在電源上，電路情況如圖所示，容易確定，充電后每個電容器極板上的電量依次為、。 然后斷開、，接通，電容器通過電阻放電，電容器有部分靜電能轉(zhuǎn)變?yōu)闊崃?。設(shè)穩(wěn)定后各電

14、容器極板電量情況如圖所示，由電荷守恒有， 。 而由左板與，右板等勢有。 由此三式解得，于是可得，將各電容器放電前后帶電量代入此式即得總共產(chǎn)生的熱量。 再分析放電一半時，電阻兩端電勢差亦即電容器左板與電容器右板電勢差從減為，那么通過電阻的電流是。【例7】在光滑絕緣水平面上，平行板電容器的極板固定，極板用絕緣彈簧固定在側(cè)壁上，如圖所示，若將開關(guān)閉合，極板開始平行地向極板移動，到達(dá)新的平衡位置時兩極板間距離減少了。如果開關(guān)閉合極短時間后就立刻斷開（此間設(shè)極板未及從原位置移動），求此后極板到達(dá)新的平衡位置時兩極板間距離減少的百分比?！痉治雠c解】設(shè)電源提供的電壓為。若開關(guān)始終閉合，則板移動過程中兩板間電

15、壓保持不變?yōu)?，但由于兩板間距減小，電容將增大，故電源將不斷對電容器充電，致使兩板上電量增加、板間場強增大，當(dāng)板上電荷受到板電荷的靜電力與彈簧對板的拉力等大時，板重新平衡。設(shè)板原間距為，電容為，彈簧勁度系數(shù)為。當(dāng)兩極板間距離減少時，電容為，板間場強為，而板上電荷引起的場強應(yīng)為。又，、兩板各帶有的正、負(fù)電荷，則板受到電場力為，平衡的板受力滿足。 如果開關(guān)閉合極短時間后就立刻斷開，隨著板的移動，不變量是兩極板上的電量及板間場強，變化的是電容及兩板間電壓。這種情況下到達(dá)新的平衡位置時，受力滿足。 比較、兩式可得，?！纠?】兩塊平行金屬板面積都是，相距為，其間充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，把兩塊板接到電壓為

16、的電池兩極上。現(xiàn)在把板間介質(zhì)沿平行于邊慢慢抽出一段，如圖所示，略去邊緣效應(yīng)及摩擦，求電場把介質(zhì)拉回去的力?！痉治雠c解】把介質(zhì)慢慢拉出過程，可視作外力克服電場力做功消耗電場能的過程，設(shè)將介質(zhì)沿拉出兩板邊緣，外力大小為，根據(jù)功能關(guān)系，其中，介質(zhì)充滿板間時電容器的電容；介質(zhì)抽出時電容器的電容，那么，故，而電場把介質(zhì)拉回去的力大小亦為此矣。1、如圖所示，由五個電容器組成的電路，其中，求間的總電容。2、在極板面積為，相距為的平行板電容器內(nèi)充滿三種不同的介質(zhì)，如圖所示。如果改用同一種介質(zhì)充滿板間而電容與之前相同，這種介質(zhì)的介電常數(shù)應(yīng)是多少？如果在和、之間插有極薄的導(dǎo)體薄片，問的結(jié)果應(yīng)是多少？3、球形電容器

17、由半徑為的導(dǎo)體球和與它同心的球殼構(gòu)成，球殼內(nèi)半徑為，其間一半充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖所示，求電容。4、如圖是一個無限的電容網(wǎng)絡(luò)，每個電容均為，求、兩點間的總電容。5、如圖所示為共軸的兩導(dǎo)體圓柱面組成的電容器。長、半徑分別為和。兩圓筒間充滿介電常數(shù)為的電介質(zhì)。求此電容器的電容。6、半徑分別為和的兩個球形導(dǎo)體，分別帶有電荷、，將其相距很遠(yuǎn)地放置，現(xiàn)用一金屬導(dǎo)線連接，試求連接后每球上的電荷量及系統(tǒng)的電容。7、平行板電容器的極板面積為，板間距離為。其間充滿介質(zhì)，介質(zhì)的介電常數(shù)是變化的，在一個極板處為，在另一個極板處為，其他各處的介電常數(shù)與到介電常數(shù)為處的距離成線性關(guān)系，如圖所示。試求此電容器的電

18、容。8、電容為的平行板電容器的一個極板上有電量，而另一個極板上有電量，求電容器兩極板間的電勢差。9、三個電容分別為、的未帶電的電容器，如圖示方式相連，再接到點、上。這三點電勢分別為、。則公共點的電勢是多大？10、如圖所示的兩塊無限大金屬平板、均接地，現(xiàn)在兩板之間放入一點電荷，使它距板為，距板。求、兩板上的感應(yīng)電荷電量各如何？11、三塊相同的平行金屬板，面積為，彼此分別相距和。起初板上帶有電量，而板和板不帶電。然后將板、分別接在電池正、負(fù)極上，電池提供的電壓為。若板、用導(dǎo)線連接如圖所示，求、各板所帶電量。12、極板相同的兩個平行板空氣電容器充以同樣電量。第一個電容器兩極板間的距離是第二個電容器的

19、兩倍。如果將第二個電容器插在第一個電容器的兩極板間，并使所有極板都互相平行，問系統(tǒng)的靜電能如何改變？13、靜電天平的原理如圖所示，一空氣平行板電容器兩極板的面積都是，相距為，下板固定，上板接到天平的一頭，當(dāng)電容器不帶電時，天平正好平衡。然后把電壓加到電容器的兩極上，則天平的另一頭須加上質(zhì)量為的砝碼，才能達(dá)到平衡。求所加的電壓。14、三只電容均為的電容器，互相串聯(lián)后接到電源上，電源電動勢為。當(dāng)電容器完全充電后跟電源斷開，然后接入兩只電阻均為的電阻器，如圖所示。試問每只電阻上釋放的熱量有多少？當(dāng)中間一只電容器的電壓減小到電源電動勢的的瞬間，流過電阻的電流和各為多大？15、如圖所示，兩個電容均為的電容器和，一個雙刀雙擲開關(guān)，一個可提供恒定電壓的蓄電池。將它們適當(dāng)連接并操作開關(guān)