高斯消元法完整致遠書屋

1、高斯消元法解線性方程組 在工程技術(shù)和工程管理中有許多問題經(jīng)?？梢詺w結(jié)為線性方程組類型的數(shù)學模型，這些模型中方程和未知量個數(shù)常常有多個，而且方程個數(shù)與未知量個數(shù)也不一定相同。那么這樣的線性方程組是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的結(jié)構(gòu)如何呢？這就是下面要討論的問題。 一、線性方程組 設含有n個未知量、有m個方程式組成的方程組 （3.1）其中系數(shù)，常數(shù)都是已知數(shù)，是未知量（也稱為未知數(shù)）。當右端常數(shù)項, , , 不全為0時，稱方程組（3.1）為非齊次線性方程組；當= = 0時，即 （3.2）稱為齊次線性方程組。 由n個數(shù), , , 組成的一個有序數(shù)組（, , , ），如果將它們依次代

2、入方程組（3.1）中的, , , 后，（3.1）中的每個方程都變成恒等式，則稱這個有序數(shù)組（, , , ）為方程組（3.1）的一個解。顯然由=0, =0, , =0組成的有序數(shù)組（0, 0, , 0）是齊次線性方程組（3.2）的一個解，稱之為齊次線性方程組（3.2）的零解，而當齊次線性方程組的未知量取值不全為零時，稱之為非零解。 （利用矩陣來討論線性方程組的解的情況或求線性方程組的解是很方便的。因此，我們先給出線性方程組的矩陣表示形式。） 非齊次線性方程組（3.1）的矩陣表示形式為：ax = b其中a = ，x = ，b = 稱a為方程組（3.1）的系數(shù)矩陣，x為未知矩陣，b為常數(shù)矩陣。將系數(shù)

3、矩陣a和常數(shù)矩陣b放在一起構(gòu)成的矩陣=稱為方程組（3.1）的增廣矩陣。 齊次線性方程組（3.2）的矩陣表示形式為：ax = o 二、高斯消元法 （下面介紹利用矩陣求解方程組的方法，那么矩陣初等行變換會不會改變方程組的解呢？我們先看一個定理。） 定理3.1 若用初等行變換將增廣矩陣化為，則ax = b與cx = d是同解方程組。 證 由定理3.1可知，存在初等矩陣, , , ，使 = 記 = p，則p可逆，即存在。 設為方程組a x = b的解，即 a = b 在上式兩邊左乘p，得 p a = pb 即 c= d 說明也是方程組c x = d的解。反之，設為方程組c x = d的解，即 c= d

4、 在上式兩邊左乘，得 c= d 即 a = b 說明也是方程組ax = b的解。 因此，方程組a x = b與c x = d的解相同，即它們是同解方程組。（證畢） (由定理3.1可知，求方程組（3.1）的解，可以利用初等行變換將其增廣矩陣化簡。又有第二章定理2.10可知，通過初等行變換可以將化成階梯形矩陣。因此，我們得到了求解線性方程組（3.1）的一般方法：) 用初等行變換將方程組（3.1）的增廣矩陣化成階梯形矩陣，再寫出該階梯形矩陣所對應的方程組，逐步回代，求出方程組的解。因為它們?yōu)橥夥匠探M，所以也就得到了原方程組（3.1）的解。這種方法被稱為高斯消元法，（下面舉例說明用消元法求一般線性方

5、程組解的方法和步驟。） 例1 解線性方程組 （3.3） 解 先寫出增廣矩陣，再用初等行變換將其逐步化成階梯形矩陣，即= 上述四個增廣矩陣所表示的四個線性方程組是同解方程組，最后一個增廣矩陣表示的線性方程組為將最后一個方程乘，再將項移至等號的右端，得將其代入第二個方程，解得再將代入第一個方程組，解得因此，方程組（3.3）的解為 （3.4）其中可以任意取值。 由于未知量的取值是任意實數(shù)，故方程組（3.3）的解有無窮多個。由此可知，表示式（3.4）表示了方程組（3.3）的所有解。表示式（3.4）中等號右端的未知量稱為自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）稱為方程組（3.3）的一般解

6、，當表示式（3.4）中的未知量取定一個值（如=1），得到方程組（3.3）的一個解（如，），稱之為方程組（3.3）的特解。 注意，自由未知量的選取不是唯一的，如例1也可以將取作自由未知量。 如果將表示式（3.4）中的自由未知量取一任意常數(shù)k，即令= k，那么方程組（3.3）的一般解為 ，其中k為任意常數(shù)。用矩陣形式表示為 = （3.5）其中k為任意常數(shù)。稱表示式（3.5）為方程組（3.3）的全部解。 （用消元法解線性方程組的過程中，當增廣矩陣經(jīng)過初等行變換化成階梯形矩陣后，要寫出相應的方程組，然后再用回代的方法求出解。如果用矩陣將回代的過程表示出來，我們可以發(fā)現(xiàn)，這個過程實際上就是對階梯形矩陣進

7、一步簡化，使其最終化成一個特殊的矩陣，從這個特殊矩陣中，就可以直接解出或“讀出”方程組的解。例如，）對例1中的階梯形矩陣進一步化簡， 上述矩陣對應的方程組為將此方程組中含的項移到等號的右端，就得到原方程組（3.3）的一般解， （3.4）其中可以任意取值。 例2 解線性方程組 解 利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣化成階梯陣，再求解。即= 一般解為 例3 解線性方程組 解 利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣化成階梯陣，再求解。即= 階梯形矩陣的第三行“0, 0, 0, -2”所表示的方程為：，由該方程可知，無論，取何值，都不能滿足這個方程。因此，原方程組無解。 三、線性方程組的解的判定 前面介紹

8、了用高斯消元法解線性方程組的方法，通過例題可知，線性方程組的解的情況有三種：無窮多解、唯一解和無解。從求解過程可以看出，方程組（3.1）是否有解，關(guān)鍵在于增廣矩陣a b化成階梯非零行的行數(shù)與系數(shù)矩陣a化成階梯形矩陣后非零行的行數(shù)是否相等。因此，線性方程組是否有解，就可以用其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩來描述了。 定理3.9 線性方程組（3.1）有解的充分必要是 =。 證 設系數(shù)矩陣a的秩為r，即= r。利用初等行變換將增廣矩陣a b化成階梯陣： a b = c d 故ax = b與cx = d是同解方程組，因此 ax = b有解= 0 = r 即= r。 （證畢） 推論1 線性方程組有唯一解的充分必

9、要條件是= 。 推論2 線性方程組有無窮多解的充分必要條件是 。 （將上述結(jié)論應用到齊次線性方程組（3.2）上，則總有。因此齊次線性方程組一定有解。并且有） 例4 判別下列方程組是否有解？若有解，是有唯一解還是有無窮多解？ (1) (2) (3) 解 (1) 用初等行變換將增廣矩陣化成階梯陣，即a b = 因為 = 4，=3，兩者不等，所以方程組無解。 (2) 用初等行變換將增廣矩陣化成階梯陣，即a b = 因為 =2n（= 3），所以方程組有無窮多解。 (3) 用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即a b = 因為 = 3 = n，所以方程組有唯一解。 例5 判別下列齊次方程組是否有非零解

10、？ （機動） 解 用初等行變換將系數(shù)矩陣化成階梯形矩陣，即a =因為 = 4 = n，所以齊次方程組只有零解。向量組的相關(guān)性 在實際問題有許多研究的對象要用n元有序數(shù)組來表示。如總結(jié)某五年計劃各年某產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)據(jù)資料，某工程一年12個月份的用料情況等，就分別要用到5元和12元有序數(shù)組。 一、n維向量的定義 定義3.2 把有順序的n個數(shù)稱為一個n維向量，記作 其中稱為n維向量的第i個分量。 例如，矩陣 a =中每一列都可以看作三維向量：，稱為矩陣a的列向量。a中的每一行都可以看作四維向量：，稱為矩陣a的行向量。 規(guī)定：n維向量相等、相加、數(shù)乘與列矩陣對應相等。 二、n維向量組的線性相關(guān)性如果把方

11、程組 （3.6）用向量相等、向量運算關(guān)系來表示：+=那么方程組求解問題就變成了求一組使上式列向量存在某種的數(shù)了。下面給出向量之間這種關(guān)系的定義。 定義3.3 對于向量, ，如果有一組數(shù)，使得=則稱是的線性組合，或稱由線性表出，且稱這組數(shù)為組合系數(shù)。 例1 二維向量組，稱為二維單位向量組。任意一個二維向量都可以由線性表出： 。 例2 向量不是向量和的線性組合，因為對于任意一組數(shù)，+= 例3 向量組中的任一向量都能由這個向量組線性表出：= 如果用列向量分別把方程組（3.6）的系數(shù)矩陣第j列和常數(shù)列表示為，那么方程組（3.6）可以用向量形式表示為若方程組（3.6）有解，則有即向量可以由向量組線性表出

12、。反之，若存在數(shù)使得上式成立，則就是方程組（3.6）的一組解。 命題1 向量可以由向量組線性表出的充分必要條件是：以為系數(shù)列向量，以為常數(shù)列向量的線性方程組有解，并且此線性方程組的一組解就是線性組合的一組系數(shù)。 例4 設 ，判斷向量能否由向量組線性表出，若能夠，寫出它的一種表達式。 解 設，由此可得 因為=方程組的解為 。 所以 。 定義3.3 對于向量組，若存在m個不全為零的數(shù)，使得 （3.7）則稱向量組線性相關(guān)；否則稱向量組線性無關(guān)。 例5 式證單位向量組，是線性無關(guān)的。 證 設 。即+=由上式得唯一解。所以，線性無關(guān)。 可以證明，n維單位向量組是線性無關(guān)的。 n維單位向量組 ， ， 如果

13、把定義3.3中的（3.7）式看作以為系數(shù)列向量，以為未知量的齊次線性方程組，那么 定理3.2 對于向量組，若齊次線性方程組 （3.8）有非零解，則向量組線性相關(guān)；若齊次線性方程組（3.8）只有零解，則向量組線性無關(guān)。 定理3.3 關(guān)于向量組，設矩陣若，則向量組線性無關(guān)；若，則向量組線性相關(guān)。 推論 任意n+1個n維向量一定線性相關(guān)。 例6 判斷下列向量組的相關(guān)性： (1) ，； (2) ，； (3) ，。 解 (1) 因為a =，所以向量組線性無關(guān)。 (2) 因為b = ，所以向量組線性相關(guān)。 (3) 由推論知道，四個三維向量一定是線性相關(guān)的。 上面介紹了利用定理3.3來判斷向量組的相關(guān)性，下

14、面再介紹一個揭示同組向量之間具有某種相關(guān)性的特點。 定理3.4 向量組，線性相關(guān)的充分必要條件是：其中至少有一個向量可以由其余向量線性表出。 （證明請參閱教材） 推論 向量組，線性無關(guān)的充分必要條件是：其中每一個向量都不能由其余向量線性表出。 例7 試證：若向量組的一個部分向量組線性相關(guān)，則整個向量組也線性相關(guān)。 證 不妨設向量組中的部分向量組線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)，使得從而有其中不全為零，所以向量組線性相關(guān)。 可以證明：若一個向量組線性無關(guān)，它的任意一個部分向量組也線性無關(guān) 例8 設向量組線性無關(guān)，而向量組，線性相關(guān)，證明一定可以由線性表出。 證 因為向量組，線性相關(guān)，即存在不全為零的

15、數(shù)和，使得若，則上式為 ，且不全為零，得線性相關(guān)，與條件矛盾。因此，且即可以由線性表出。 三、向量組的秩 （下面簡單地介紹向量組的秩的概念及計算方法，首先向量組的極大無關(guān)組的定義） 定義3.4 若向量組s中的部分向量組滿足： (1) 線性無關(guān)； (2) s中的每一個向量都是中向量的線性組合，則稱部分向量組為向量組s的極大無關(guān)組。 可以證明：對于一個向量組，其所有極大無關(guān)組所含向量個數(shù)都相同。因此向量組的秩定義如下： 定義3.5 對于向量組s，其極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組s的秩。 利用定義求向量組的秩是比較困難的。但是，我們可以利用矩陣與列向量組之間的關(guān)系，把求向量組的秩的問題轉(zhuǎn)化為求矩陣

16、的秩序。這是因為 定理3.7 矩陣a的秩=矩陣a列向量組的秩=矩陣a行向量組的秩。 例9 設向量組，求向量組的秩及其一個極大無關(guān)組。 解 作矩陣a=，用初等行變換求a的秩，即a= 所以=3，且為其中的一個 極大無關(guān)組。線性方程組解的結(jié)構(gòu) 前兩講介紹了方程組的有關(guān)概念，方程組的解的幾種情況及判定，向量組的相關(guān)性。這一講主要介紹方程組解的結(jié)構(gòu)。 一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 齊次線性方程組的矩陣形式為：ax = o （3.2）解的情況可以歸納為： 1齊次線性方程組只有零解的充分必要條件是= 。 2齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 。 注意：當a為n階方陣時也可利用矩陣行列式判斷。 3當= r時

17、，方程組ax = o有n-r個自由未知量。 齊次線性方程組ax = o解的性質(zhì)： 性質(zhì)1 若和為齊次線性方程組ax = o的解，則+亦為ax = o的解。 證 因為和為方程組ax = o的兩個解，故有a= o， a= oa（+）= a+ a= o所以，+亦為ax = o的解。 性質(zhì)2 若為齊次線性方程組ax = o的解，則k亦為ax = o的解，其中k為任意常數(shù)。 證 因為為方程組ax = o的解，故有a（k）= k（a）= o 所以，k亦為ax = o的解。 由性質(zhì)1，2可知，若，為方程組ax = o的解，則+ +亦為ax = o的解，其中為任意常數(shù)。 若，線性無關(guān)，且方程組ax = o的任

18、何一個解x都可以被，線性表出，則ax = o的全部解就是+ +其中為任意常數(shù)。 定義3.6 齊次線性方程組ax = o滿足下列兩個條件的一組解向量，稱為ax = o的基礎解系。 (1) 線性無關(guān)； (2) 方程組ax = o的任何一個解都可以用它們線性表出。 （由定義3.6可知）方程組ax = o的基礎解系就是其全部解向量的一個極大無關(guān)組。 當= n時，方程組ax = o只有零解，故不存在基礎解系；而當= r(<n)時，方程組ax = o有非零解，故存在基礎解系，且基礎解系中所含解向量的個數(shù)是n-r。由此可得如下結(jié)論： 4當= r<n時，方程組ax = o一定有基礎解系，且每個基礎

19、解系中含有n-r個解向量。若，為基礎解系，則ax = o的全部解為+ + （3.9）其中為任意常數(shù)。 （3.9）式稱為ax = o的通解。 如何求方程組ax = o的基礎解系呢？ (1) 把齊次線性方程組的系數(shù)寫成矩陣a； (2) 用初等行變換把a化為階梯陣； (3) 把階梯陣中非主元列所對應的變量作為自由未知量 (4) 分別令自由未知量中一個為1其余全部為0的辦法，求出n-r個解向量，這n-r個解向量構(gòu)成了基礎解系。 例1 設齊次線性方程組求其基礎解系和通解。 解 先寫出系數(shù)矩陣a，再用初等行變換將其逐步化成階梯形矩陣，即a = 再進一步化簡，得由此可知為自由未知量。 令，得解向量； 令，得

20、解向量；于是，為方程組的基礎解系。通解為+其中為任意常數(shù)。 二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 非齊次線性方程組的矩陣表示形式為：ax = b 非齊次線性方程組ax = b的解的情況可以歸納為： 1方程組ax = b有解的充分必要條件是=。 2若= 時，方程組ax = b有唯一解。 3若= r時，方程組ax = b有無窮多解，且有n-r個自由未知量。 在非齊次線性方程組ax = b中，令b = o，得到相應的齊次方程組ax = o。 方程組ax = b與相應的ax = o之間有密切的關(guān)系，滿足如下性質(zhì)： 性質(zhì)3 若和為非齊次線性方程組ax = b的解，則-必為ax = o的解。 證 因為和為方程組a

21、x = b的兩個解，故有a= b， a= ba（-）= a- a= b-b = o所以，-為ax = o的解。 性質(zhì)4 若為非齊次線性方程組ax = b的解，為相應的方程組ax = o的解，則+必為ax = b的解。 證 因為為方程組ax = b的解，為方程組ax = o的解，故有a= b， a= o a（+）= a +a=b+ o= b所以，+為ax = b的解。 例1 解線性方程組 （3.3） 解 先寫出增廣矩陣，再用初等行變換將其逐步化成階梯形矩陣，即= 上述四個增廣矩陣所表示的四個線性方程組是同解方程組，最后一個增廣矩陣表示的線性方程組為將最后一個方程乘，再將項移至等號的右端，得將其代

22、入第二個方程，解得再將代入第一個方程組，解得因此，方程組（3.3）的解為 （3.4）其中可以任意取值。 由于未知量的取值是任意實數(shù)，故方程組（3.3）的解有無窮多個。由此可知，表示式（3.4）表示了方程組（3.3）的所有解。表示式（3.4）中等號右端的未知量稱為自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）稱為方程組（3.3）的一般解，當表示式（3.4）中的未知量取定一個值（如=1），得到方程組（3.3）的一個解（如，），稱之為方程組（3.3）的特解。 注意，自由未知量的選取不是唯一的，如例1也可以將取作自由未知量。 如果將表示式（3.4）中的自由未知量取一任意常數(shù)k，即令= k，那么方程組（3.3）的一般解為 ，其中k為任意常數(shù)。用矩陣形式表示為 = （3.5）其中k為任意常數(shù)。稱表示式（3.5）為方程組（3.3）的全部解。 （用消元法解線性方程組的過程中，當增廣矩陣經(jīng)過初等行變換化成階梯形矩陣后，要寫出相應的方程組，然后再用回代的方法求出解。如果用矩陣將回代的過程表示出來，我們可以發(fā)現(xiàn)，這個過程實際上就是對階梯形矩陣進一步簡化，使其最終化成一個特殊的矩陣，從這個特殊矩陣中，就可以直接解出或“讀出”方程組的解