河北師大點集拓撲習題與參考答案

1、點集拓撲學練習題一、單項選擇題（每題1分）1、已知X =a,b,c,d,e,下列集族中，（ ）是X上的拓撲. T =X, ,a, a,b, a,c,e T =X, ,a,b,c, a,b,d, a,b,c,e T =X, ,a, a,b T =X, ,a, b, c, d,e答案：2、設X =a,b,c，下列集族中,（ ）是X上的拓撲. T =X, ,a, a,b,c T <X, ,a, a,b, a,c T =X, ,a, b, a,c T <X, ,a, b, c答案：3、 已知X二a,b,c,d,下列集族中，（ ）是X上的拓撲. T =X, ,a, a,b,a,c,d T 二

2、X, ,a,b,c, a,b,d T =X, ,a, b, a,c,d T =X, , a, b答案：4、設X =a,b, c，下列集族中，（ ）是X上的拓撲. T=X,b, c, a,b T =X,a, b, a,b,a,c T=X,a, b, a,c T =X,a, b, c答案：5、 已知X二a,b,c,d,下列集族中，（ ）是X上的拓撲. T 二X, ,a,b,a,c,d T =X, ,a,b, a,c,d T 二X, ,a, b, a,c,d T 二X, , a, c, a,c答案：6、設X =a,b, c，下列集族中，( )是X上的拓撲. T 二X, ,a,b,b,c T =X,

3、,a,b,b,c T =X, ,a, a,c T =X, ,a, b, c答案：7、已知 X =a,b,c,d，拓撲 T =X, ,a,則b=()©Xbb,c,d答案：8 已知 X 二a,b,c,d，拓撲 T 二X, ,a,則b,c,d=()©Xbb,c,d答案：9、已知 X 二a,b，拓撲 T 二X, ,a,則0=()©Xab答案：10、 已知 X 二a,b，拓撲 T 二X, ,a,則b=()©Xab答案：11、已知 X 二a,b,c,d，拓撲 T =X, ,a,則=()© Xa,bb,c,d答案：12、已知 X 二a,b,c,d，拓撲 T

4、=X, ,a,則心=()3答案：13、 設X 二a,b,c,d,拓撲 T =X, ,a, b,c,d,則 X 的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（）1234答案：14、設X =a,b,c，拓撲T =X, ,a, b,c,則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（）1234答案：15、設X =a,b,c，拓撲T =X, ,b, b,c,則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（）0123答案：16、設X二a,b，拓撲T =X, ,b,則X的既開又閉的子集的個數(shù)為（ ）0123答案：17、設X =a,b，拓撲T =X, ,a, b,則X的既開又閉的子集的個數(shù)為（）1234答案：18、設 X 二a,b,c，拓撲 T

5、 二X, ,a,b,a,b,b,c,則 X 的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（）1234答案：19、在實數(shù)空間中，有理數(shù)集Q的內(nèi)部0：'是（ ）R -Q答案：20、在實數(shù)空間中，有理數(shù)集Q的邊界：(Q)是( )'Q R -Q R答案：21、在實數(shù)空間中，整數(shù)集Z的內(nèi)部Z、是( )'ZR-Z R答案：22、在實數(shù)空間中，整數(shù)集Z的邊界-(Z)是( )'Z23、在實數(shù)空間中，區(qū)間 0,124、在實數(shù)空間中，區(qū)間2,325、在實數(shù)空間中，區(qū)間0,1R-Z 0,1)的邊界是(0,12,3)的邊界是(2,30,1)的內(nèi)部是(0,1R答案：)(0,1)答案：)(2,3)答案：

6、)(0,1)15答案：26、設X是一個拓撲空間，A, B是X的子集，則下列關系中錯誤的是 ( ) d(A 一 B) =d(A) 一 d(B) d(A - B) =d(A) - d(B)AA答案：27、設X是一個拓撲空間，A, B是X的子集,則下列關系中正確的是 ( ) d(A B) =d(A) d(B) A-B 二A-B d(A - B)二d(A) - d(B) A=A答案：28、設X是一個拓撲空間，A, B是X的子集,則下列關系中正確的是 ( ) d(A_. B)二 A_.B A-B = A-B d(A - B)二d(A) - d(B) d(d(A) A d(A)29、已知X是一個離散拓撲空

7、間,答案：A是X的子集,則下列結(jié)論中正確的是() d(A)= d(A)二 A d(A)=X答案：30、已知X是一個平庸拓撲空間，A是X的子集,則下列結(jié)論中不正確 的是()若A =,則d(A)二若 A 二x0,則 d(A)二 X _ A若 A=xi,X2,則 d(A)二 X若 A = X ,則 d(A) = X答案：31、已知X是一個平庸拓撲空間,A是X的子集,則下列結(jié)論中正確的是()若 A= X 則 d(A) 若 A 二X。,則 d(A) =X 若 A=X1,X2,則 d(A) = X -A 若 A 二X1,X2,則 d(A) = A答案：32、設X珂a,b,c,d，令B二 a b C C d

8、 ,則由B產(chǎn)生的X上的拓撲是() X, , c, d, c, d, a, b, c X, c, d, c, d X, , c, a, b, c X, d, b, c, b, d, b, c, d答案：33、 設X是至少含有兩個元素的集合，pX,T二G X| p Gr 是X的拓撲，則（ ）是T的基. B叫p,X| xX -p B =x| xX B=p,X| xX B 二 x| xX - p答案：34、設X=a,b,c,則下列X的拓撲中（）以S=X,g）a為子基. X, a, a, c X,aX, a, b, a,b X,答案：35、離散空間的任一子集為（） 開集 閉集 即開又閉 非開非閉答案：3

9、6、平庸空間的任一非空真子集為（）開集閉集即開又閉非開非閉答案：37、實數(shù)空間R中的任一單點集是（）開集閉集既開又閉非開非閉答案：38、實數(shù)空間R的子集A=1,-,-，-,則A =()234R AU 0A答案：39、 在實數(shù)空間R中，下列集合是閉集的是（） 整數(shù)集 a,b 有理數(shù)集無理數(shù)集答案：40、 在實數(shù)空間R中，下列集合是開集的是（） 整數(shù)集Z有理數(shù)集 無理數(shù)集 整數(shù)集Z的補集乙答案：41、已知X二1,2,3上的拓撲T二X, ,1,則點1的鄰域個數(shù)是（）1234答案：42、 已知X =a,b,則X上的所有可能的拓撲有（） 1個 2個 3個 4個答案：43、 已知X =a, b, c,則X

10、上的含有4個元素的拓撲有（）個3579答案：44、設（X,T ）為拓撲空間，則下列敘述正確的為（） X T ,' T X ' T / T當T T時， U T 當T T時, U TU T 答案：45、在實數(shù)下限拓撲空間R中，區(qū)間a,b）是（ ）開集閉集 既是開集又是閉集非開非閉答案：46、 設X是一個拓撲空間，A,B X ,且滿足d（A） B A,則B是（）開集閉集既是開集又是閉集非開非閉答案：47、設 X =1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓撲，A 二1,2,則X的子空間A的拓撲為（） T = ,2, 1,2 T 二 ,X,1,2, 1,2 T = ,

11、A,1,2 T = ,X,1,2答案：48、設 X =1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓撲，A 二1,3,則X的子空間A的拓撲為（） T 珂,1,3, 1,3 T 珂，A,1 T 珂，X,1,3, 1,3 T 珂，X,1答案：49、設 X =1,2,3, T= ,X,1,2, 1,3, 1,2是 X 的拓撲，A 二2,3,則X的子空間A的拓撲為（） T 訊，3,2,3 T 珂，A,2,3 T = ,X,2,3,2,3 T = ,X,3答案：50、設 X =2,T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓撲，A 二1,則 X的子空間A的拓撲為（）T珂，代1,2 T 二

12、 ,X,1 T 二 ,1 T 二 ,X,1,3, 1,3答案：51、設 X 3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓撲，A 二2,則 X的子空間A的拓撲為（） T = ,2, 1,2 T = ,A T 訛，X,2 T 訛，X,1,2答案：52、設 X 3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓撲，A 珂3,則 X的子空間A的拓撲為（） T珂,2, 1,2 T<,X,1,3 T珂，X,3 T=,3答案：53、設R是實數(shù)空間，Z是整數(shù)集，貝U R的子空間Z的拓撲為（） T - ,Z T -P （Z） T -Z T -Z答案：54、設X =X 1泳2“|林6是拓撲空間X1

13、,X2II,X6的積空間.P是X到X1的投射，則R是（ ）連續(xù)的單射滿的連續(xù)開映射單射滿的連續(xù)閉映射答案：55、設 X =X 1 X 2|；|X 6是拓撲空間Xi,X2,|（,X6的積空間.P是X到X2的投射，則R是（單射滿的連續(xù)閉映射 連續(xù)的單射滿的連續(xù)開映射答案：56、設X =X i X 2|i(X 6是拓撲空間Xi,X2,|（,X6的積空間.F3是X到X3的投射，則F3是（單射滿的連續(xù)閉映射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)開映射答案:57、設 X =X i X 2 l；|X 6是拓撲空間Xi,X2l（,X6的積空間.F4是X到X4的投射，則F4是（單射滿的連續(xù)閉映射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)開映射答案

14、:58、設X =X i X 2 liiX 6是拓撲空間Xi,X2，川，X6的積空間.F5是X到X5的投射，則F5是（單射滿的連續(xù)閉映射 連續(xù)的單射滿的連續(xù)開映射答案:59、設X =X 1 X 2 liiX 6是拓撲空間Xi,X2H,X6的積空間.F6是X到X6的投射，則F6是（單射滿的連續(xù)閉映射 連續(xù)的單射滿的連續(xù)開映射答案：60、設Xi和X2是兩個拓撲空間,Xi X2是它們的積空間，A Xi，離散空間不一定是連通空間 A B =A B19(A B - A B；'：(A B) = %A) ：(B)答案：61、有理數(shù)集Q是實數(shù)空間R的一個（）不連通子集連通子集答案：）連通子集以上都不對答

15、案：）連通子集以上都不對答案： 開集以上都不對62、整數(shù)集Z是實數(shù)空間R的一個（不連通子集 開集63、無理數(shù)集是實數(shù)空間R的一個（不連通子集 開集64、設丫為拓撲空間X的連通子集,Z為X的子集,若Y Z Y, 則Z為（）不連通子集連通子集閉集 開集答案：65、設Xi,X2是平庸空間，則積空間Xi X2是（）離散空間平庸空間不一定是平庸空間不連通空間答案：66、設Xi,X2是離散空間，則積空間Xi X2是（）離散空間平庸空間不一定是離散空間連通空間答案：67、設Xi,X2是連通空間，則積空間Xi X2是（） 平庸空間連通空間68、實數(shù)空間R中的連通子集E為（）答案：以上都不對答案：69、實數(shù)空間

16、R中的不少于兩點的連通子集E為（區(qū)間開區(qū)間閉區(qū)間70、實數(shù)空間R中的連通子集E為（)開區(qū)間閉區(qū)間區(qū)間71、下列敘述中正確的個數(shù)為（)以上都不對區(qū)間或一點 答案：（I）單位圓周S1是連通的;答案：（n） r-0是連通的(rn) R2 -(0,0)是連通的（W） R2和R同胚開區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間僅滿足第二可數(shù)性公理以上都不對答案：）僅滿足第二可數(shù)性公理以上都不對答案：僅滿足第二可數(shù)性公理以上都不對答案： ）僅滿足第二可數(shù)性公理以上都不對答案：1234答案：72、實數(shù)空間R（ ）僅滿足第一可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理73、整數(shù)集Z作為實數(shù)空間R的子空間（僅滿足第一可數(shù)性公理 既滿足第一

17、又滿足第二可數(shù)性公理74、有理數(shù)集Q作為實數(shù)空間R的子空間（）僅滿足第一可數(shù)性公理既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理75、無理數(shù)集作為實數(shù)空間R的子空間（僅滿足第一可數(shù)性公理既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理76、正整數(shù)集Z.作為實數(shù)空間R的子空間（）僅滿足第二可數(shù)性公理以上都不對答案：）僅滿足第一可數(shù)性公理既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理77、負整數(shù)集Z_作為實數(shù)空間R的子空間僅滿足第二可數(shù)性公理以上都不對答案：僅滿足第一可數(shù)性公理既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理78、2維歐氏間空間R2（）僅滿足第二可數(shù)性公理以上都不對答案：僅滿足第一可數(shù)性公理既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理79、3維歐氏間空間R3（）

18、僅滿足第二可數(shù)性公理以上都不對答案：僅滿足第一可數(shù)性公理既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理80、下列拓撲學的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（平庸性連通性離散性 第一可數(shù)性公理答案：）答案：）答案：）81、下列拓撲學的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（第一可數(shù)性公理連通性第二可數(shù)性公理平庸性82、下列拓撲學的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（第一可數(shù)性公理可分性第二可數(shù)性公理離散性83、下列拓撲學的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（平庸性可分性離散性 第二可數(shù)性公理 答案：84、設X是一個拓撲空間，若對于-x,r X,x=y,均有x=y,21答案：24答案：85、設 X =1,2,T 二X, ,1,則(X,T )是(To

19、空間Ti空間T2空間以上都不對答案：86、設 X =1,2,T =X, ,2,則(X,T )是()To空間Ti空間T2空間道路連通空間答案：87、 設 X =1,2,3，T =X, ,1，則(X,T)是()To空間T1空間 T2空間以上都不對答案：88、 設 X 二1,2,3，T <X, ,2，則(X,T )是()To空間T1空間 T2空間以上都不對答案：89、 設 X =1,2,3，T 二X, ,1,3，則(X,T)是()To空間T1空間 T2空間以上都不對答案：90、設 X =1,2,3，T =X 沖,1,2,則(X,T )是()To空間T1空間 T2空間以上都不對答案：91、 設

20、X 二1,2,3 , T 二X, ,1,2, 1,2，貝U (X,T)是()To空間T1空間 T2空間以上都不對92、設X是一個拓撲空間，若X的每一個單點集都是閉集，則X是（ ）正則空間正規(guī)空間Ti空間 T4空間答案：93、設X是一個拓撲空間，若X的每一個有限子集都是閉集，則X是（）正則空間正規(guī)空間Ti空間 T4空間答案：94、 設X是一個拓撲空間，若對X及x的每一個開鄰域U，都存在 x的一個開鄰域V,使得V U ,則X是（ ）正則空間正規(guī)空間Ti空間 T4空間答案：95、設X是一個拓撲空間，若對X的任何一個閉集A及A的每一個開鄰 域U，都存在A的一個開鄰域V,使得V U ,則X是（）正則空間

21、正規(guī)空間Ti空間T4空間答案：96、設 X =i,2,3，T =X, ,1,2，則(X,T )是()To空間Ti空間 T2空間正規(guī)空間答案：97、設 X 二i,2,3，T 二X, ,2, 1,3,則(X,T )是()To空間Ti空間 T2空間 正規(guī)空間答案：98、設 X 二1,2,3，T 二X, ,3,1,2，則（X,T）是（）To空間Ti空間 T2空間 正則空間答案：99、設 X 二1,2,3 , T 二X, ,1,2, 1,2，則(X,T)是()T2空間正則空間 T4空間 正規(guī)空間答案：100、設 X 二1,2,3 , T 二X, ,1,3, 1,3，則（X,T ）是（）T2空間正則空間

22、T4空間 正規(guī)空間答案：101、設 X 二1,2,3 , T 二X, ,2, 3,2,3，則（X,T） 是 （）T2空間正則空間 T4空間 正規(guī)空間答案：102、若拓撲空間X的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋,則稱拓撲空 間X是一個（）連通空間道路連通空間103、緊致空間中的每一個閉子集都是（連通子集 道路連通子集緊致空間）緊致子集可分空間答案：以上都不對 答案：26104、 Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是（）連通子集 開集 閉集 以上都不對答案：105、緊致的Hausdorff空間中的緊致子集是（）連通子集 開集 閉集 以上都不對答案：106、拓撲空間X的任何一個有限子集都是（）

23、開集答案：連通子集 緊致子集 非緊致子集107、實數(shù)空間R的子集A =1,2,3是（ ）連通子集 緊致子集 開集非緊致子集答案：108、實數(shù)空間R的子集A二1,2,3,4是（ ）連通子集 緊致子集 開集 非緊致子集答案：109、如果拓撲空間X的每個緊致子集都是閉集，則 X是()Ti空間 緊致空間 可數(shù)補空間 非緊致空間答案：二、填空題(每題1分)1、 設 X =a,b,貝U X 的平庸拓撲為;答案：T =X, 2、 設 X工a,b,貝U X 的離散拓撲為;答案：T =X, ,a, b3、同胚的拓撲空間所共有的性質(zhì)叫 ；答案：拓撲不變性質(zhì)4、 在實數(shù)空間R中，有理數(shù)集Q的導集是.答案：R5、X

24、d(A)當且僅當對于x的每一鄰域U有;答案：U - (A-x)-6、設A是有限補空間X中的一個無限子集，則d(A)=;答案：X7、設A是有限補空間X中的一個無限子集，貝U A=;答案：X&設A是可數(shù)補空間X中的一個不可數(shù)子集，則d (A)=;答案：X9、設A是可數(shù)補空間X中的一個不可數(shù)子集，則 A=;答案：X10、設 X =1,2,3, X 的拓撲 T =X, ,2,2,3,則 X 的子集 A =1,2的內(nèi)部為;答案：211、設 X =1,2, 3, X 的拓撲 T =X, ,1,2, 3,則 X 的子集 A 二1,3的內(nèi)部為；答案：112、設 X =1,2,3, X 的拓撲 T 二X

25、, ,1,2, 3,則 X 的子集 A =1,2的內(nèi)部為；答案：113、設 X =1,2,3, X 的拓撲 T =X, ,2,2,3,則 X 的子集 A =1,3的內(nèi)部為；答案：'14、 設X =a,b,c,則X的平庸拓撲為 ;答案：T 二X, 15、 設X =a,b,c,貝U X 的離散拓撲為 ；答案：T 二X, ,a,b,c,a,b,a,c,b,c16、 設 X =1, 2, 3 X 的拓撲 T =X,®,2,3,2,3,則 X 的子集A =1, 3的內(nèi)部為；答案：17、設 X =1, 2,3X 的拓撲 T 二X / ,1 ,3 ,1,則 X 的子集A=1, 2的內(nèi)部為；

26、答案：118、 f : X > Y是拓撲空間X到丫的一個映射，若它是一個單射，并且是從X到它的象集f(X)的一個同胚，則稱映射f是一個.答案：嵌入19、 f : X )Y是拓撲空間X到Y(jié)的一個映射，如果它是一個滿射，并且Y的拓撲是對于映射f而言的商拓撲，則稱f是一個；答案：商映射20、設X,Y是兩個拓撲空間，f : X > Y是一個映射，若X中任何一個開集U的象集f (U )是丫中的一個開集，則稱映射f是個 ；答案：開映射21、設X,Y是兩個拓撲空間，f : X > Y是一個映射，若X中任何一個閉集U的象集f (U )是丫中的一個閉集，則稱映射f是個 ；答案：閉映射22、若拓

27、撲空間X存在兩個非空的閉子集 代B ,使得AB 打A 一 B二X ,則X是一個 ；答案：不連通空間23、若拓撲空間X存在兩個非空的開子集 代B ,使得AB, A 一 B = X ,則X是一個 ；答案：不連通空間24、若拓撲空間 X存在著一個既開又閉的非空真子集，則X是答案：不連通空間25、設Y是拓撲空間X的一個連通子集，Z X滿足Y Z Y，則Z也是X的一個;答案：連通子集26、拓撲空間的某種性質(zhì)，如果為一個拓撲空間所具有也必然為它在任 何一個連續(xù)映射下的象所具有，則稱這個性質(zhì)是一答案：在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)27、拓撲空間的某種性質(zhì)，如果為一個拓撲空間所具有也必然為它的任何一個商空間所具有

28、，則稱這個性質(zhì)是一個 ；答案：可商性質(zhì)28、 若任意n_1個拓撲空間Xi,X2,|(,Xn ,都具有性質(zhì)P ,則積空間Xi X2 I" Xn也具有性質(zhì)P，則性質(zhì)P稱為；答案：有限可積性質(zhì)29、 設X是一個拓撲空間，如果X中有兩個非空的隔離子集 A, B ,使得A B =X ,則稱X是一個 ；答案：不連通空間30、 若Xi,X2滿足第一可數(shù)性公理，則積空間Xi X2滿足；答案：第一可數(shù)性公理31、 若Xi,X2滿足第二可數(shù)性公理，則積空間Xi X2也滿足 ；答案：第二可數(shù)性公理32、如果一個拓撲空間具有性質(zhì)P ,那么它的任何一個子空間也具有性質(zhì)P ,則稱性質(zhì)P為；答案：可遺傳性質(zhì)33、

29、設D是拓撲空間X的一個子集，且D二X,則稱D是X的一 個答案：稠密子集34、 若拓撲空間X有一個可數(shù)稠密子集，則稱X是一個 ； 答案：可分空間35、設X是一個拓撲空間，如果它的每一個開覆蓋都有一個可數(shù)子覆蓋，則稱X是一個 ；答案：Lindel ?f空間36、如果一個拓撲空間具有性質(zhì) P ,那么它的任何一個開子空間也具有性質(zhì)P ,則稱性質(zhì)P為；答案：對于開子空間可遺傳性質(zhì)37、如果一個拓撲空間具有性質(zhì) P ,那么它的任何一個閉子空間也具有性質(zhì)P,則稱性質(zhì)P為;答案：對于閉子空間可遺傳性質(zhì)38、設X是一個拓撲空間，如果 則稱X是一個T0空間；答案：X中任意兩個不相同的點中必有一個點有一個開鄰域不包

30、含 另一點39、設X是一個拓撲空間，如果 則稱X是一個Ti空間；答案：X中任意兩個不相同的點中每一點都有一個開鄰域不包含另一占八、40、設X是一個拓撲空間，如果 則稱X是一個T2空間；答案：X中任意兩個不相同的點各自有一個開鄰域使得這兩個開鄰 域互不相交41、 正則的Ti空間稱為 ;答案：T3空間42、 正規(guī)的Ti空間稱為 ;答案：T4空間43、 完全正則的Ti空間稱為 ;答案：T3.5空間或Tychonoff空間44、設X是一個拓撲空間.如果X的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋，則稱拓撲空間X是一個答案：緊致空間45、 設X是一個拓撲空間，Y是X的一個子集.如果Y作為X的子空間 是一個緊致空間

31、，則稱丫是拓撲空間X的一個答案：緊致子集46、設X是一個拓撲空間.如果X的每一個可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱拓撲空間 X是一個答案：可數(shù)緊致空間47、設X是一個拓撲空間.如果X的每一個無限子集都有凝聚點，則稱拓撲空間X是一個答案：列緊空間48、設X是一個拓撲空間.如果X中的每一個序列都有一個收斂的子序列，則稱拓撲空間X是一個.答案：序列緊致空間三判斷(每題4分，判斷1分，理由3分)1、從離散空間到拓撲空間的任何映射都是連續(xù)映射 ()答案：V理由：設X是離散空間，丫是拓撲空間，f：X > Y是連續(xù)映射，因 為對任意A 丫，都有f(A) X ,由于X中的任何一個子集都是開 集，從而f

32、9;(A)是工中的開集，所以f ： X > Y是連續(xù)的.2、設Ti,T2是集合X的兩個拓撲，貝U T< T2不一定是集合X的拓撲()答案：X理由：因為(1)“2是X的拓撲，故X,r Ti，x t2，從而X, Ti T2；(2) 對任意的A,BT< T 2,則有A,B Ti且A,BT 2，由于Ti, T2 是X的拓撲，故 B Ti且 B T2，從而B T< T 2 ;(3) 對任意的TTi ' T2，則TT1,TT2，由于Ti, T2是X的拓撲，從而 u- TU Ti,T2,故 u TU T< T2；綜上有T< T2也是X的拓撲.3、從拓撲空間X到平庸

33、空間丫的任何映射都是連續(xù)映射()答案：V理由：設f :X >Y是任一滿足條件的映射，由于 丫是平庸空間，它 中的開集只有丫，,易知它們在f下的原象分別是X,均為X中的 開集，從而f ：X > Y連續(xù).4、設A為離散拓撲空間X的任意子集，則d A二' ()答案：V理由：設p為X中的任何一點，因為離散空間中每個子集都是開集，所以p是X的開子集，且有b" A-；d二二即p - d A，從而 d(A)二'.5、設A為平庸空間X ( X多于一點)的一個單點集，則d A()答案：x理由：設A=y,則對于任意X,x = y,x有唯一的一個鄰域 X，且 有y X - (A

34、 -x),從而X - (A -x)=''，因此x是A的一個凝聚點，但 對于y的唯一的鄰域X，有X(A - y)所以有d A二X - A.6、設A為平庸空間X的任何一個多于兩點的子集，則d A = X ()答案：V理由：對于任意X,因為A包含多于一點，從而對于x的唯一的鄰域X，且有X - (A-x) = ，因此x是A的一個凝聚點，即d(A)，所 以有d A二X .7、設X是一個不連通空間，則 X中存在兩個非空的閉子集 代B ,使得AB = , A 一 B = X ()答案：2理由：設X是一個不連通空間，設 A,B是X的兩個非空的隔離子集使得A 一 B = X ,顯然A"

35、 B，并且這時有：B = B - X = （B - A） （B - B） =B從而B是X的一個閉子集，同理可證 A是X的一個閉子集，這就證 明了 代 B滿足 AB = 1 A B 二 X .&若拓撲空間X中存在一個既開又閉的非空真子集，則 X是一個不連 通空間（）答案：“理由：這是因為若設 A是X中的一個既開又閉的非空真子集，令B二A，則A,B都是X中的非空閉子集，它們滿足 A_. B二X，易見代B是隔離子集，所以拓撲空間X是一個不連通空.9、設拓撲空間X滿足第二可數(shù)性公理，則X滿足第一可數(shù)性公理（） 答案：“理由:設拓撲空間X滿足第二可數(shù)性公理，B是它的一個可數(shù)基，對 于每一個X ,

36、易知B x =B B| B是點x處的一個鄰域基，它是 B的一個子族所以是可數(shù)族，從而 X在點x處有可數(shù)鄰域基，故X滿足第一可數(shù)性公理10、若拓撲空間X滿足第二可數(shù)性公理，則 X的子空間丫也滿足第二可數(shù)性公理（）答案：2理由：由于X滿足第二可數(shù)性公理，所以它有一個可數(shù)基 B，因為 丫是X的子空間，則B| 丫二B -YIB，B是丫的一個可數(shù)基，從而 X的子空間丫也滿足第二可數(shù)性公理.11、若拓撲空間X滿足第一可數(shù)性公理，則 X的子空間丫也滿足第一可數(shù)性公理（）答案：2理由：由于X滿足第一可數(shù)性公理，所以對-XY, X在點x處有一 個可數(shù)鄰域基V x，因為丫是X的子空間，則V x| 丫 =V Y|W

37、 V x 是Y在點x的一個可數(shù)鄰域基，從而 X的子空間Y也滿足第一可數(shù) 性公理.12、 設 X，T =X 沖,2,3,2,3，則(X, T)是 Ta空間.()答案：X理由：因為1,3是X的一個閉集，對于點2和1,3沒有各自的開鄰域互不相交，所以X不是正則空間，從而不是T3空間.注：也可以說明X不是Ti空間.13、 設 X =1,23 ，T =X,g1,2, 1,2，則(X,T)是 T3 空間.()答案：X理由：因為2,3是X的一個閉集，對于點1和2,3沒有各自的開 鄰域互不相交，所以X不是正則空間，從而不是T3空間.注：也可以說明X不是T1空間.14、 設 X 二1,2,3，T =X, 

38、9; ,1,3, 1,3，則(X,T )是T 空間.()答案：X理由：因為對于點1和點2, 2沒有開鄰域不包含1,從而X不是T1 空間.注：也可以考慮點2和點3.15、設 X 二1,2,3，T 二X, ,1,3, 1,3，則(X,T )是T4空間.()答案：X理由：因為對于點1和點2, 2沒有開鄰域不包含1,從而X不是T1 空間故(X,T )是T4空間.注：也可以考慮點2和點316、T3空間一定是T2空間()答案：2理由：因為T3空間是正則的Ti空間，所以對于T3空間X中的任意不 同的兩點x,y X，y是X中的閉集，由于X是正則空間，從而對 于x,y它們有各自的開鄰域U,V使得U V = ，所

39、以X是T2空間.17、T4空間一定是T3空間()答案：“理由：因為T4空間是正規(guī)的Ti空間，所以對于T4空間X中的任意點 x和不包含x的閉集A，由于x也是一個閉集及X是正規(guī)空間，故 存在x, A的開鄰域U,V使得U二，這說明X是正則空間，因此X是T3空間.18、 設代B是拓撲空間 X的兩個緊致子集，則A_. B是一個緊致子集.()答案：“理由：設A是一個由X中的開集構(gòu)成的B的覆蓋，由于A和B 都是X的緊致子集，從而存在 A的有限子族A i A 2分別是A和B 的覆蓋，故Ai - A2是A的有限子族且覆蓋B，所以A_. B是緊致子集19、Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是閉集.()答案

40、：“理由：設A是Hausdorff空間X的一個緊致子集，則對于任何x X，若x' A，則易知x不是A的凝聚點，因此A = A，從而A是一個閉四名詞解釋(每題2分)1 同胚映射答案：設X和丫是兩個拓撲空間.如果f : X > Y是一個一一映射，并且f和f亠丫 > X都是連續(xù)映射，則稱f是一個同胚映射或同胚.2、集合A的內(nèi)點答案：設X是一個拓撲空間，A X.如果A是點x X的一個鄰域， 則稱點x是集合A的一個內(nèi)點.3、集合A的內(nèi)部答案：設X是一個拓撲空間，A X .則集合A的所有內(nèi)點構(gòu)成的集 合稱為集合A的內(nèi)部4 拓撲空間(X,T)的基答案：設(X,T )是一個拓撲空間，B是T

41、的一個子族.如果T中的每 一個元素是B中的某些元素的并，則稱B是拓撲T的一個基.5、閉包答案：設X是一個拓撲空間，A X .集合A與集合A的導集d(A)的 并A d(A)稱為集合A的閉包.6、序列答案：設X是一個拓撲空間，每一個映射SZ 、X叫做X中的一個 序列.7、導集答案：設X是一個拓撲空間，集合A的所有凝聚點構(gòu)成的集合稱為 A 的導集.&不連通空間答案：設X是一個拓撲空間，如果X中有兩個非空的隔離子集A,B, 使得A _ B二X ,則稱X是一個不連通空間.9、連通子集答案：設丫是拓撲空間X的一個子集.如果丫作為X的子空間是一個 連通空間，則稱丫是X的一個連通子集.10、不連通子集

42、答案：設Y是拓撲空間X的一個子集如果Y作為X的子空間是一個 不連通空間，則稱Y是X的一個不連通子集.11、A1 空間答案：一個拓撲空間如果在它的每一點處有一個可數(shù)鄰域基，則稱 這個拓撲空間是一個滿足第一可數(shù)性公理的空間，簡稱為 Ai空間.12、A2 空間答案：一個拓撲空間如果有一個可數(shù)基，則稱這個拓撲空間是一個 滿足第二可數(shù)性公理的空間，簡稱為 A2空間.13、可分空間答案：如果拓撲空間 X 有一個可數(shù)稠密子集，則稱 X 是一個可分空 間.14、T?？臻g：答案：設 X 是一個拓撲空間，如果 X 中的任意兩個不相同的點中必 有一個點有一個開鄰域不包含另一點，則稱拓撲空間 X是T?？臻g.15、Ti

43、空間：答案：設 X 是一個拓撲空間，如果 X 中的任意兩個不相同的點中每 一個點都有一個開鄰域不包含另一點，則稱拓撲空間 X是Ti空間.16、T2空間：答案：設 X 是一個拓撲空間，如果 X 中的任意兩個不相同的點各自 有一個開鄰域使得這兩個開鄰域互不相交，則稱拓撲空間X是T2空間.17、正則空間：答案：設 X 是一個拓撲空間，如果 X 中的任何一個點和任何一個不 包含這個點的閉集都各自有一個開鄰域，它們互不相交，則稱 X 是 正則空間 .18、正規(guī)空間：答案：設 X 是一個拓撲空間，如果 X 中的任何兩個無交的閉集都各自有一個開鄰域，它們互不相交，則稱 X是正規(guī)空間19、完全正則空間：答案：

44、設X是一個拓撲空間，如果對于-x X和X中任何一個不包 含點x的閉集B存在一個連續(xù)映射f : X > 0,1使得f(x)=O以及對于任何y B有f(y)=1，則稱拓撲空間X是一個完全正則空間.20、緊致空間答案：設X是一個拓撲空間.如果X的每一個開覆蓋都有一個有限 子覆蓋，則稱拓撲空間X是一個緊致空間.21、緊致子集答案：設X是一個拓撲空間，丫是X的一個子集.如果丫作為X的 子空間是一個緊致空間，則稱丫是拓撲空間X的一個緊致子集.22、可數(shù)緊致空間答案：設X是一個拓撲空間.如果X的每一個可數(shù)開覆蓋都有有限 子覆蓋，則稱拓撲空間X是一個可數(shù)緊致空間23、列緊空間答案：設X是一個拓撲空間.如

45、果X的每一個無限子集都有凝聚 點，則稱拓撲空間X是一個列緊空間.24、序列緊致空間答案：設X是一個拓撲空間.如果X中的每一個序列都有一個收斂 的子序列，則稱拓撲空間X是一個序列緊致空間.五簡答題(每題4分)1、設X是一個拓撲空間，代B是X的子集，且A B.試說明d( A) d( B)答案：對于任意d(A),設U是x的任何一個鄰域，則有U - (A -x) =, 由 于 A B ， 從 而U c( b x二)U忙因此A?Ed(B)x 故d(A)ud(B).2、設X,Y,Z都是拓撲空間.f :X > Y, g:Y > Z都是連續(xù)映射，試說明gQ f :X > Z也是連續(xù)映射.答案

46、：設W是Z的任意一個開集，由于g：Y > Z是一個連續(xù)映射，從而g J(W)是Y的一個開集，由f: X )Y是連續(xù)映射，故f，(g'(W)是 X 的一開集，因此(gQ f)，(W) = f，(g-1(W)是 X 的 開集，所以g Q f : X > Z是連續(xù)映射.3、 設X是一個拓撲空間，A X .試說明：若A是一個閉集，則A的補 集A 是一個開集.答案：對于-xA ,則x A，由于A是一個閉集，從而x有一個鄰域U使得U ' ( A - x ,因此U - A =，即U A ,所以對任何xA , A是x的一個鄰域，這說明A是一個開集.4、 設X是一個拓撲空間，A X

47、.試說明：若A的補集A是一個開集， 則A是一個閉集答案：設x-A,則A ,由于A是一個開集，所以A是x的一個鄰域,且滿足A、A二-,因此x “ A ,從而A二A,即有A = A，這說明A 是一個閉集5、在實數(shù)空間R中給定如下等價關系：xy= x,y (-二,1)或者 x,y 1,2)或者 x,y 2,：)設在這個等價關系下得到的商集 丫 = 0,1,2，試寫出Y的商拓撲T.答案：T 珥,丫,0,0,16、在實數(shù)空間R中給定如下等價關系：xy= x,y (- ,1或者 x, y (1,2或者 x, y (2,二)設在這個等價關系下得到的商集 丫珂1, 2, 3,試寫出丫的商拓 撲T .答案：T

48、= ,Y,3,2,37、在實數(shù)空間R中給定如下等價關系:xy = x, y （-匚叩）或者 x, y 1,2）或者 x,y 2,：）設在這個等價關系下得到的商集丫二 -1,1,2,試寫出Y的商拓撲T.答案：T 珂，丫, -1, -1,1&在實數(shù)空間R中給定如下等價關系：xy= x,y （-二,1）或者 x, y 1,2）或者 x,y 2,：）設在這個等價關系下得到的商集丫 = -2,1,2,試寫出丫的商拓撲T.答案：T 珂，Y, -2, -2,19、在實數(shù)空間R中給定如下等價關系：xy = x,y （-：,1或者 x, y （1,2或者 x, y （2,二）設在這個等價關系下得到的商集 丫 =0,2,3,試寫出丫的商拓撲T .答案：T =