2021-2021版高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計(jì)2.3.1平均數(shù)及其估計(jì)學(xué)案蘇教版必修3

1、2. 3.1平均數(shù)及其估計(jì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解平均數(shù)為什么是“最理想的近似值；2.會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；3.會(huì)根據(jù)頻率分布表或頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù).ET問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一平均數(shù)思考 處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原那么是使近似值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)越接近越好但是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)往往很多，怎 么刻畫“最近呢？2 2 2 2 2 2梳理 一般地，使(x ai) + (x a2)+ (x an) = nx 2(ai+ a2+ an)x+ ai + a2 + + an,最小的x =稱為這個(gè)n個(gè)數(shù)據(jù)ai, a2,，a的平均數(shù)或均值.知識(shí)點(diǎn)二平均數(shù)的估計(jì)思考 在頻率分布表里，還能看到原始數(shù)據(jù)嗎？怎樣根據(jù)頻率分布表計(jì)算平均數(shù)？梳理一般地

2、，假設(shè)取值為Xi,X2,，Xn的頻率分別為Pi ,P2,，Pn,那么其平均數(shù)為何題型探究類型一平均數(shù)的計(jì)算例1樣本(xi, X2,，Xn)的平均數(shù)為x ,樣本(yi, y2,，yn)的平均數(shù)為y ( x豐y ).假設(shè)樣本(xi, X2,，Xn, yi, y2,i，yn)的平均數(shù) Z = a X + (i a ) y，其中0< a三，貝U mn的大小關(guān)系為 反思與感悟 計(jì)算平均數(shù)時(shí)要緊扣定義，搞清楚總共有幾組數(shù)據(jù).跟蹤訓(xùn)練i在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的i7名運(yùn)發(fā)動(dòng)的成績?nèi)缦卤硭?成績(單位：m)i.50i.60i.65i.70i.75i.80i.85i.90人數(shù)23234ii

3、i求這些運(yùn)發(fā)動(dòng)成績的平均數(shù).類型二 利用頻率分布表或直方圖估計(jì)平均數(shù)例2下面是某校學(xué)生日睡眠時(shí)間 (單位：h)的抽樣頻率分布表， 試估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡 眠時(shí)間.睡眠時(shí)間人數(shù)頻率6 , 6.5)50.056.5 , 7)170.177 , 7.5)330.337.5 , 8)370.378 , 8.5)60.068.5 , 920.02合計(jì)1001反思與感悟一般地，假設(shè)取值為Xi, X2,，Xn的頻率分別為Pl , P2,，Pn,那么其平均數(shù)為Xipi + X2P2+ XnPn.跟蹤訓(xùn)練2 一批乒乓球，隨機(jī)抽取 100個(gè)進(jìn)行檢查，球的直徑頻率分布直方圖如圖試估 計(jì)這個(gè)樣本的平均數(shù).類型三 眾

4、數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單應(yīng)用例3某公司的33名職工的月工資(單位：元)如下表:職位董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1) 求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(2) 假設(shè)董事長、副董事長的工資分別從5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么公司職工的月工資的新的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)又是什么?(3) 你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司職工的工資水平？反思與感悟如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值；反之，說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值.在實(shí)際應(yīng)用

5、中，如果同時(shí)知道樣本中位數(shù)和樣本平均數(shù)，可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中極端數(shù)據(jù)的信息，幫助我們作出決策.跟蹤訓(xùn)練3某課外活動(dòng)小組對(duì)該市空氣含塵進(jìn)行了調(diào)查，下面是一天每隔兩小時(shí)測(cè)得的數(shù)3據(jù)：0.03、0.03、0.04、0.05、0.01、0.03(單位：g/m )(1) 求出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；(2) 假設(shè)國標(biāo)(國家環(huán)保局的標(biāo)準(zhǔn))是平均值不得超過 0.025g/m 3,問這一天城市空氣是否符合國 標(biāo)？當(dāng)堂訓(xùn)練1 以下說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是 .(填序號(hào)) 在統(tǒng)計(jì)里，把所需考察對(duì)象的全體叫作總體; 一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)； 平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì);

6、眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).2 .一個(gè)樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為13 , 14, 19, x, 23, 27, 28, 31,其中位數(shù)為22,貝y x為.3 樣本容量為100的頻率分布直方圖如下圖，根據(jù)樣本頻率分布直方圖，那么平均數(shù)為4 某高校有甲，乙兩個(gè)數(shù)學(xué)建模興趣班，其中甲班40人，乙班50人現(xiàn)分析兩個(gè)班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是 81分，那么該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績是分.廠 規(guī)律與方法1. 能反映總體某種特征的量稱為總體特征數(shù)，如平均數(shù)，中位數(shù)，使總體特征數(shù)通常難以獲得，故常以樣本特征數(shù)估計(jì)總體特征數(shù).2 平均數(shù)是離差平方和最小的近似值，計(jì)

7、算器、計(jì)算機(jī)均有專門的程序，手工計(jì)算要細(xì)致， 不要漏加或重復(fù).n3 .假設(shè)數(shù)據(jù)Xi的頻率為pi(i = 1, 2,，n)，貝U x = Xi pi，該值公式可以用在頻率分布表中i = 1估計(jì)平均數(shù).合案精析問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一思考 設(shè)近似值為x,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為ai(i = 1, 2,，n)，因?yàn)閤 ai有正有負(fù)，故用(x ai)22 2+ (x a2)+ (x an)來刻畫近似值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最接近.梳理ai+ a2+ ann知識(shí)點(diǎn)二思考 在頻率分布表里，已看不到原始數(shù)據(jù)，但可用各區(qū)間的組中值近似地表示. 梳理 Xipi+ X2P2+ + Xnpn題型探究例 1 n<m解析Xi+ X2+ + xn

8、yi + y2+ ymXi + X2+ Xn+ yi + y?+ ymm+ n由題意知0<mrn<2，n<m跟蹤訓(xùn)練ii解平均數(shù)是X =存5° X汁化。X 3+65 X汁匸70 X 3+75 X 4+i.8O X i + i.85 X i + i.9O X i)28.75 =i7 i.69( m).例 2 解 方法一總睡眠時(shí)間約為 6.25 X 5+ 6.75 X i7+ 7.25 X 33+ 7.75 X 37+ 8.25 X 6 +8.75 X 2= 739(h).故平均睡眠時(shí)間約為7.39 h.方法二求組中值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和.6.25X 0.05 + 6.7

9、5 X 0.i7 + 7.25 X 0.33 + 7.75 X 0.37 + 8.25 X 0.06 + 8.75 X 0.02 =7.39(h)答估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間約為7.39 h.跟蹤訓(xùn)練 2 解 平均數(shù)為 39.96 X 0.1 + 39.98 X 0.2 + 40X 0.5 + 40.02 X 0.2 =39.996.例3解1公司職工月工資的平均數(shù)為x =5 500 + 5 000 + 3 500 X 2+ 3 000 + 2 500 X 5+ 2 000 X 3+ 1 500 X 203369 000 = 33 2 091兀.假設(shè)把所有數(shù)據(jù)從大到小排序，那么得到中位數(shù)是1

10、500元，眾數(shù)是1 500元.2假設(shè)董事長、副董事長的工資提升后，職工月工資的平均數(shù)為x =30 000 + 20 000 + 3 500 X 2+ 3 000 + 2 500 X 5+ 2 000 X 3+ 1 500 X 2033108 500一=一33 3 288兀.中位數(shù)是1 500元，眾數(shù)是1 500元.3在這個(gè)問題中，中位數(shù)和眾數(shù)都能反映出這個(gè)公司職工的工資水平，因?yàn)楣旧贁?shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差異較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公 司職工的工資水平.跟蹤訓(xùn)練3解1由題意知，眾數(shù)是 0.03，中位數(shù)為0.03.2這一天數(shù)據(jù)平均數(shù)是 0.03 ,/ 0.03 > 0.025 ,這一天該城市空氣不符合國標(biāo).當(dāng)堂訓(xùn)練1.解析 平均數(shù)不大于最大值，不小于最小值.