D128常系數(shù)齊次

1、常系數(shù) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第八節(jié)齊次線性微分方程 基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化 第十二章 二階常系數(shù)齊次線性微分方程:),(0為常數(shù)qpyqypy xrey 和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得0)(2xre qprr02qrpr稱為微分方程的特征方程特征方程,1. 當(dāng)042qp時(shí), 有兩個(gè)相異實(shí)根,21r ,r方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解為xrxrececy2121( r 為待定常數(shù) ),xrer函數(shù)為常數(shù)時(shí)因?yàn)?所以令的解為 則微分其根稱為特征根特征根.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.

2、 當(dāng)042qp時(shí), 特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根21rr 則微分方程有一個(gè)特解)(12xuyy 設(shè)另一特解( u (x) 待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 則得,12xrexy 因此原方程的通解為xrexccy1)(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 當(dāng)042qp時(shí), 特征方程有一對共軛復(fù)根irir21,這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的疊加原理 ,

3、 得原方程的線性無關(guān)特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解為)sincos(21xcxceyx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 小結(jié)小結(jié):),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrececy212121,:rr特征根21rr 實(shí)根 221prrxrexccy1)(21ir,21)sincos(21xcxceyx特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若特征方程含 k 重復(fù)根,ir若特征方程含 k 重實(shí)根 r , 則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng)xrkkexcxcc)(121xxcx

4、ccekkxcos)( 121sin)(121xxdxddkk則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng))(01) 1(1)(均為常數(shù)knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均為任意常數(shù)以上iidc推廣推廣:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解為xxececy321例例2. 求解初值問題0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解為tetccs)(21利用初始條件得, 41c于是所求初值問題的解為tets)2

5、4(22c機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.xxo解解: 由第七節(jié)例1 (p293) 知, 位移滿足質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運(yùn)動,初始求物體的運(yùn)動規(guī)律 ,0v速度為. )(txx 立坐標(biāo)系如圖, ,0 xx 設(shè) t = 0 時(shí)物體的位置為取其平衡位置為原點(diǎn)建 00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2因此定解問題為自由振動方程 , 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方程:22ddtx02xk特征方程:, 022 krkir2,1特征根:tkctkcxsincos21利用初始條件得:,01xc 故所求特解:tkkvtkxxsi

6、ncos00a)sin(tka0 xkv0方程通解:1) 無阻尼自由振動情況無阻尼自由振動情況 ( n = 0 )kvc020022020tan,vxkkvxa機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解的特征解的特征:)sin(tkax0 xaaxto簡諧振動 a: 振幅, : 初相,周期: kt2:mck 固有頻率 t0dd00vtxt, 000 xxt下圖中假設(shè)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (僅由系統(tǒng)特性確定)方程:特征方程:0222krnr222,1knnr特征根:小阻尼: n k臨界阻尼: n = k 22ddtx02xktxndd2)sincos(21tctcextn)(22nk

7、trtrececx2121tnetccx)(21解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( n k ) 大阻尼解的特征大阻尼解的特征: 1) 無振蕩現(xiàn)象; trtrececx2121222,1knnr其中22knn0.0)(limtxttxo0 x此圖參數(shù): 1, 5 . 1kn5 . 10 x073. 50v2) 對任何初始條件即隨時(shí)間 t 的增大物體總趨于平衡位置.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( n = k ) 臨界阻尼解的特征臨界阻尼解的特征 : 任意常數(shù)由初始條件定, tnetccx)(21)() 1tx最多只與 t 軸交于一點(diǎn); 取

8、何值都有無論21,cc)(lim)3txt即隨時(shí)間 t 的增大物體總趨于平衡位置.0)(lim21tntetcc2) 無振蕩現(xiàn)象 ;機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:irrr21, 04,321因此原方程通解為xccy21)2sin2cos(43xcxcex例例5.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1cyxc223xc34xcxec5(不難看出, 原方程有特解), 132xexxx推廣 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 02)(222

9、22rr例例6. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根為),1(22,1ir)1(24,3ir方程通解 :xew2)2sin2cos(21xcxcxe2)2sin2cos(43xcxc機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根為,2,1irir4,3則方程通解 :xxccycos)(31xxccsin)(42機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)),(0為常數(shù)qpyqypy 特征根:21, rr(1) 當(dāng)時(shí), 通解為xrxrececy212121rr (2) 當(dāng)時(shí), 通解為xrexccy1)(2121rr (3) 當(dāng)時(shí), 通解為)sincos(21xcxceyxir2, 1可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 求方程0 yay的通解 .答案答案:0a通解為xccy21:0a通解為xacxacysincos21:0a通解為xaxaececy21作業(yè)作業(yè) p310 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3第九節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題,2cos,2,321xyexyeyxx求一個(gè)以xy2sin34為特解