自動(dòng)控制原理第六講

1、頻域分析法的基本思想：把控制系統(tǒng)中的各個(gè)變量看成為一些信號，而這些信號又是許多不同頻率的正弦信號合成的；各個(gè)變量的運(yùn)動(dòng)就是系統(tǒng)對不同頻率的信號的響應(yīng)的總和。頻域分析法的優(yōu)點(diǎn)：物理意義明確；可以用實(shí)驗(yàn)方法求出對象的數(shù)學(xué)模型；頻域分析法的計(jì)算量??；由于采用作圖，有很強(qiáng)的直觀性。6.1 頻率特性6.1.1 頻率特性的概念對于線性定常系統(tǒng)，在零初始條件下，輸入信號為r(t)=A1sin(t+1)=A1ej(t+1)，穩(wěn)態(tài)后，輸出信號為c(t)=A2sin(t+2)=A2ej(t+2)。設(shè)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為h(t)，則輸出信號可由卷積公式得 c(t)=A2ej(t+2)=h(t) *r(t)=h(t)*A

2、1ej(t+1) =A1ej(t+1) (j); 由 A2ej(t+2)=A1ej(t+1) (j)得 (j)= A2ej(t+2)/A1ej(t+1) =A2/A1 ej(2-1) =A()ej()deheAdeAhjtjtj)()()1(1)1)(1 系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)(j) 含義：穩(wěn)態(tài)下正弦輸出信號的復(fù)數(shù)符號與正弦輸入信號的復(fù)數(shù)符號之比。 系統(tǒng)的幅頻特性：A()=A2/A1 含義：正弦輸出信號的振幅與正弦輸入信號的振幅之比； 系統(tǒng)的相頻特性：()=2-1 含義：正弦輸出信號對于正弦輸入信號的相位領(lǐng)先量。設(shè)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為h(t)，則輸出信號可由卷積公式得 c(t)=h(t) *r(t)進(jìn)

3、行傅里葉變換得 )()()(jRjjC)()()(jRjCj C(j)：輸出信號的傅里葉變換； R(j)：輸入信號的傅里葉變換； (j)：系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)。 新定義：當(dāng)輸入信號與輸出信號為非周期函數(shù)時(shí)，頻率特性函數(shù)為輸出信號的傅里葉變換象函數(shù)與輸入信號的傅里葉變換象函數(shù)之比。6.1.2 頻率特性的幾何表示 頻率特性的表示： (j)= |(j)|ej()=A()ej() =U()+jV() =A()cos()+jA()sin()； 實(shí)頻特性 U()=A()cos()； 虛頻特性 V()=A()sin()； 幅頻特性 ； 相頻特性 。 )()()(| )(|22VUAj)()(arctan)(U

4、V 頻率特性G(j)與傳遞函數(shù)G(s)的關(guān)系對于如圖所示RC網(wǎng)絡(luò) ，TRC。設(shè)輸入一正弦信號 ，則輸入的拉氏變換為而輸出的拉氏變換為11)()()(TssUsUiosGtUtuinisin)(22)(sUiinsU2211)()()(sUTsioinsUsGsU對上式進(jìn)行拉氏反變換得輸出的時(shí)域表達(dá)式顯然穩(wěn)態(tài)輸出為： 頻率特性：TtetuTUTTUoinTtinarctan)sin()(222211)sin()(221tuTUoin2211)(TA則幅頻特性為：輸入的幅值輸出的幅值Tarctan)(:12為相頻特性輸出與輸入的相角之差)()()(jeAjG另一方面, 系統(tǒng)傳遞函數(shù)當(dāng)取s=j把上式

5、化成指數(shù)函數(shù)形式得： 因此，1111|)(TjjsTsjssGTjTjsesGarctan1122|)(TTarctan2211幅角為，該復(fù)數(shù)的模為顯然，)()(),(|)(|GArgAsGjsjssGjG)()( 頻率特性一個(gè)重要的優(yōu)點(diǎn)：是可以用圖象表示。從頻率特性圖象上很方便地得到關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性的一些信息。應(yīng)用廣泛的有幅相頻率特性圖、對數(shù)頻率特性圖和對數(shù)幅相特性圖。1 幅相頻率特性圖幅相頻率特性圖（極坐標(biāo)圖，又稱奈奎斯特(Nyquist)圖） 特點(diǎn)：當(dāng):0時(shí)，將其幅頻特性A()和相頻特性()同時(shí)表示在復(fù)平面上。 (j)=A()ej()可看作向量，幅值為A()，相位為()。 當(dāng):0

6、時(shí)，該向量的端點(diǎn)將在復(fù)平面上畫出一條曲線，即幅相頻率特性圖。例例 6.1 繪制慣性環(huán)節(jié)的幅相圖解解 頻率特性函數(shù)為 實(shí)頻特性 虛頻特性 TssG11)(222211111)()(TTjTTjsGjGjs2211)(TU221)(TTV幅頻特性 相頻特性 ()= arctan(V()/U()=-arctanTNyqiust圖： 222211 )()()(|)(|TVUAj2 對數(shù)頻率特性圖對數(shù)頻率特性圖（又稱伯德(Bode)圖） 將角頻率和幅頻特性函數(shù)|G(j)|都取對數(shù)，記 L()：對數(shù)幅頻特性函數(shù)。 ()：對數(shù)相頻特性函數(shù)。（注意：不取對數(shù)） 對數(shù)頻率特性函數(shù)：總稱。)( )arg)(dB)

7、 )(lg20)(lgoG(jjGL Bode圖：對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖同畫在一張圖上，共用一個(gè)橫坐標(biāo)軸。但坐標(biāo)軸上所標(biāo)的仍是值，以便讀取實(shí)際角頻率值。 的單位為十倍頻程(dec)。 注意：十倍頻程只用于度量的某兩個(gè)值之差，而不是用于度量一個(gè)值本身。如： 如果=10，因而=1,并不說等于1個(gè)十倍頻程。 若2=101（因而2=1+1），則常說2比1高1個(gè)十倍頻程，或2比1高1個(gè)十倍頻程。 若a=500，b=5（因而a=b+2），就說a與b相差2個(gè)十倍頻程。 例例6.2 繪制慣性環(huán)節(jié)近似的對數(shù)頻率特性圖解解 慣性環(huán)節(jié)的頻率特性函數(shù)為 得 當(dāng)從零到無窮取值時(shí)，計(jì)算出相應(yīng)的對數(shù)值，即可繪制出B

8、ode圖。 TssG11)()arctan(2)(1111)()(TjjseTTjsGjG)( arctan)()(dB) )(1lg20)(lg20)(o2TjArgGTjGL工程上采用近似畫法： 當(dāng)1/T，對數(shù)幅頻特性可近似為 L()-20lg1=0 (dB) 即：當(dāng)頻率很低時(shí)，對數(shù)幅頻特性可以用零分貝線近似表示。 當(dāng)1/T，對數(shù)幅頻可近似表示為 L()-20lgT (dB) 即：當(dāng)頻率很高時(shí)，對數(shù)幅頻特性可用一條直線來近似，直線斜率為-20dB/dec，即每增加10倍，L()減少20dB。22)/1(1lg20)(1lg20)(lg20)(TTjGLBode圖為 L()-20lgT L(

9、1)-20lg1T, 設(shè)2=101， L(2)-20lg101T=-20 -20lg1T即每增加10倍，L()減少20dB，直線斜率為-20dB/dec。采用Bode圖的優(yōu)點(diǎn) 可以展寬視界。在例6.1中，高頻區(qū)|G(j)|的值很小，而且擠在一小段，看不清變化規(guī)律；在例6.2中，高頻區(qū)、低頻區(qū)都被展寬，變化規(guī)律看得清楚。 曲線形狀比較簡單，容易畫。 當(dāng)兩個(gè)頻率特性函數(shù)相乘時(shí)，只需要把對數(shù)頻率特性曲線相加。3 對數(shù)幅相特性圖(Nichols圖) 以對數(shù)幅頻特性L作縱坐標(biāo)，以對數(shù)相頻特性作橫坐標(biāo)，以角頻率為參變量繪制的頻率特性圖。 Nichols圖與Bode圖的區(qū)別 Nichols圖以對數(shù)相頻特性作

10、橫坐標(biāo)； Bode圖以lg為橫坐標(biāo)。例6.3 繪制慣性環(huán)節(jié)近似的對數(shù)幅相圖。 解 對數(shù)幅頻特性 對數(shù)相頻特性 當(dāng):0，計(jì)算出相應(yīng)的L()和()，即可繪制Nichols圖。TssG11)()( arctan)()(dB) )(1lg20)(lg20)(o2TjArgGTjGLNichols圖： 6.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性1 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) G(s)=K, 頻率特性函數(shù) G(j)=K, 幅頻特性 |G(j)|=K, 相頻特性 ()=0, 對數(shù)幅頻特性 L()=20lgK 對數(shù)相頻特性 ()=0 比例環(huán)節(jié)的Bode圖 L()20lgK0 dB110()0o1102 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) 傳遞

11、函數(shù) G(s)=1/s，G(s)=K/s 頻率特性函數(shù) G(j)=1/j=-j1/,G(j )=-jK/ 幅頻特性 |G(j)|=1/, |G(j)|=K/ 相頻特性 ()=-90 對數(shù)幅頻 L()=20lg1/=-20lg (dB) L()=20lgK/ (dB) 對數(shù)相頻 ()=arctan(V()/U()=-90積分環(huán)節(jié)的Bode圖 L()0dB=1()0o-90o3 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) 自然振蕩頻率1/T0,01。 頻率特性 對數(shù)幅頻 (dB) 對數(shù)相頻特性 () 121)(22TssTsG22222222)2()1 (21 1)(2)(1)(TTTjTjTjTjG2222)2

12、()1 (lg20)(TTL2212arctan)(TT 當(dāng)1/T，忽略T， 對數(shù)幅頻特性為 L()20lg1=0 (dB)； 當(dāng)1/T，忽略1和2T， 對數(shù)幅頻特性為 L()-20lgT22=-40lgT (dB). 當(dāng)1/T，=0； 當(dāng)=1/T，=-90o； 當(dāng)1/T，=-180o。 2222)2()1 (lg20)(TTL2212arctan)(TT振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖： 4 理想微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) G(s)=s； 頻率特性函數(shù) G(j)=j； 對數(shù)幅頻特性 L()=20lg； 對數(shù)相頻特性 ()=90o。 L()0dB=1()90o0o5 一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)

13、 G(s)= ； 頻率特性函數(shù) G(j)= ； 對數(shù)幅頻特性 (dB) 對數(shù)相頻特性 () 當(dāng) ， L()20lg1=0(dB); ()=0; 當(dāng) ， L()=10lg2 (dB); ()=45; 當(dāng) ， 。1s1j1lg20)(22Larctan)(/1/1/1o90)(dB); lg20)(L一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖6 最小相位系統(tǒng) 最小相位系統(tǒng)：傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)均在左半s平面的系統(tǒng)。 非最小相位系統(tǒng)：傳遞函數(shù)有極點(diǎn)和（或）零點(diǎn)在右半s平面的系統(tǒng)。 最小相位系統(tǒng) Ga(s)=(1+T2s)/(1+T1s) Ga(j)=(1+jT2)/(1+jT1) 非最小相位系統(tǒng) Gb(s)=(1-T

14、2s)/(1+T1s) Gb(j)=(1-jT2)/(1+jT1) 0T21)，又在負(fù)軸兩側(cè)以夾角各畫一條輻射線，這兩條圓弧與這兩條直線構(gòu)成一個(gè)扇臺(tái)形；盡量增大Kg和，而保持系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線不進(jìn)入這個(gè)扇臺(tái)形，這樣得到的最大的Kg(以dB表示）和（以度表示）就稱為該系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度。 含義：如果一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的模增大到Kg倍，或角減小，或者模和角同時(shí)變化，則變化后的開環(huán)頻率特性曲線仍可不包圍-1點(diǎn)，即系統(tǒng)仍然保持穩(wěn)定。注意： 開環(huán)頻率特性曲線包圍-1點(diǎn)，不能使用幅值裕度和相角裕度概念； 不穩(wěn)定的系統(tǒng)談不上穩(wěn)定裕度，也就沒有幅值裕度和相角裕度。 上述關(guān)于幅值和相角裕度的定義

15、，有時(shí)使用不方便。主要的不便之處是同一系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度不唯一。6.5.2 幅值裕度h（增益裕量）1 名詞 相位交界點(diǎn)：開環(huán)幅相特性曲線G(j)H(j)與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)。 相位交界頻率：相位交界點(diǎn)處的角頻率g，即 ArgG(jg)H(jg)=-180。2 定義 增益裕量：g上開環(huán)幅頻特性幅值的倒數(shù)稱為增益裕量Kg，即Kg=1/|G(jg)H(jg)|。 含義：如果一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的模增大到Kg倍，但角不變，則變化后的開環(huán)頻率特性曲線仍可不包圍-1點(diǎn)，即系統(tǒng)仍然保持穩(wěn)定。 或者說，系統(tǒng)在變到臨界穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)的增益還能增大多少。上式若用對數(shù)形式表示， 則有h=-20lg|G(jg)H(jg)|

16、即教材上的幅值裕度h。6.5.3 相角裕度（相角裕量）1 名詞 增益交界點(diǎn)：開環(huán)幅相曲線G(j)H(j)與以原點(diǎn)為圓心的單位圓的交點(diǎn)。 增益交界頻率c：增益交界點(diǎn)上的角頻率c，即 |G(jc)H(jc)|=1。2 定義與計(jì)算 相角裕度：在增益交界頻率c上，使G(j)H(j)曲線穿過(-1,j0)點(diǎn)（即達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)）尚可增加的遲后相角量。 相角計(jì)算公式： Arg G(jc)H(jc)+(-)=-180, Arg G(jc)H(jc)=(c), =180+(c)。含義：一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的模不變，角滯后，則變化后的開環(huán)頻率特性曲線仍可不包圍-1點(diǎn)，即系統(tǒng)仍然保持穩(wěn)定。6.5.4 穩(wěn)定裕

17、度與系統(tǒng)階躍響應(yīng)的關(guān)系 穩(wěn)定裕度過小，階躍響應(yīng)往往劇烈，振蕩傾向較嚴(yán)重； 穩(wěn)定裕度過大，階躍響應(yīng)往往遲緩。 正確設(shè)計(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度可以使控制系統(tǒng)具有適當(dāng)?shù)膭?dòng)態(tài)性能。 工程上一般，相角裕度在30至60之間，增益裕度大于6dB。6.5.5 Bode圖上穩(wěn)定裕度的求法 相角裕度 在對數(shù)幅頻特性曲線L()通過0dB的角頻率c上，對數(shù)相頻特性曲線()高于-180線的距離就是相角裕度。 幅值裕度 在對數(shù)相頻特性曲線()通過-180的角頻率g上，對數(shù)幅頻特性曲線L()低于0dB線的距離就是幅值裕度。6.6 基于基于Matlab的頻率特性圖繪制的頻率特性圖繪制6.6.1 Nyquist曲線曲線例例6.6 已知

18、單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)函數(shù)1）G(s)=1/s(1+2s)；2) G(s)=1/s2(1+2s)； 試畫出開環(huán)幅頻特性圖，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解 這兩個(gè)系統(tǒng)都沒有開環(huán)右極點(diǎn)，P=0;1）num=1;den=2,1,0; nyquist(num,den)得到的Nyquist圖為 當(dāng):0+時(shí)，開環(huán)幅相曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，N=0,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-40-30-20-10010203040System: sysReal: -1.87Imag: -7.05Frequency (rad/sec): 0.133System:

19、sysReal: -1.97Imag: 16Frequency (rad/sec): -0.0619System: sysReal: -0.732Imag: -0.56Frequency (rad/sec): 0.66System: sysReal: -1.99Imag: -37.4Frequency (rad/sec): 0.0268Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis2) num=1;den=2,1,0,0; nyquist(num,den)得到的圖為 當(dāng):0時(shí)，開環(huán)幅相曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)，N=-1，閉環(huán)右極點(diǎn)Z=P-2N=2，閉環(huán)不穩(wěn)定

20、。Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50-4-3-2-101234System: HReal: -4.45Imag: 3.35Frequency (rad/sec): 0.38System: HReal: -0.0165Imag: 0.064Frequency (rad/sec): 1.95System: HReal: -4.07Imag: -3.17Frequency (rad/sec): -0.393System: HReal: -1.18Imag: -1.39Frequency (rad/

21、sec): -0.5966.6.2 Bode圖圖例例6.8 畫出所示系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性圖，計(jì)算幅值裕度和相位裕度。解解 num1=25 100;den1=2 1 0; num2=1;den2=0.02 1; num3,den3=series(num1,den1,num2,den2); num,den=series(num3,den3,num2,den2); bode(num,den)2)02.01)(21()25.01(100)(sssssG所得Bode圖為 由圖知 幅值裕度h16.4dB 相位裕度180-133=47Bode DiagramFrequency (rad/sec)-100-50050100System: sysFrequency (rad/sec): 12.9Magnitude (dB): -0.443System: sysFrequency (rad/sec): 45.2Magnitude (dB): -16.4Magnitude (dB)10-210-1100101102103-270-225-180-135-90System: sysFrequency (rad/sec): 47.3Phase (deg): -181System: sysFrequency (rad/sec