[[初三數(shù)學(xué)試題]]初三數(shù)學(xué)《三角形中作輔助線的常用方法舉例》

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載三角形中作輔助線的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，若直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例 1：已知如圖 1-1 ： D、 E 為 ABC內(nèi)兩點(diǎn) , 求證 :AB AC BD DE CE.證明：（法一） 將 DE兩邊延長分別交AB、AC 于 M、 N，在 AMN中， AM AN MD DE NE;（ 1）在 BDM中， MB MD BD；（ 2）在 CEN中， CN NE CE；（ 3）由（ 1）（ 2）（ 3）得：AM ANMB MDCN NE MD DE NE BD

2、 CEAB ACBD DEECAAGFMDE NDEB圖1CB圖12C1（法二：）如圖 1-2 ， 延長 BD交 AC 于 F，延長 CE交 BF 于 G，在 ABF和 GFC和 GDE中有：AB AF BD DG GF（三角形兩邊之和大于第三邊）（ 1）GF FC GE CE（同上）（2）DG GE DE（同上）（3）由（ 1）（ 2）（ 3）得：AB AF GF FC DG GE BD DG GF GE CE DEAB ACBD DEEC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點(diǎn)或延長某邊， 構(gòu)造三角形， 使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于

3、這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1 ：已知 D為 ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證： BDC BAC。分析： 因?yàn)?BDC與 BAC不在同一個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使BDC處于在外角的位置，BACA處于在內(nèi)角的位置；證法一 ：延長 BD交 AC于點(diǎn) E，這時 BDC是 EDC的GE外角， BDC DEC，同理 DEC BAC， BDC BACD證法二：連接AD，并延長交 BC于 F BDF是 ABD的外角 BDF BAD，同理， CDF CAD BDF CDF BAD CAD即： BDC BAC。BFC圖21注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時

4、， 通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。學(xué)習(xí)必備歡迎下載三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖 3-1 ：已知 AD為 ABC的中線，且 1 2, 3 4, 求證： BE CF EF。分析：要證BE CF EF ，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE， CF， EF 移到同一個三角形中， 而由已知 1 2， 3 4，可在角的兩邊截取相等的線段， 利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把 EN，F(xiàn)N，EF 移到同一個三角形中。證明：在 DA上截取 DNDB，連接 NE，NF，則 DN DC，在 DBE和 DNE中

5、：DNDB ( 輔助線的作法)12(已知 )ANEFED ED (公共邊 )1 2 34 DBE DNE （ SAS）BDC BENE（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得： CFNF圖31在 EFN中 ENFN EF（三角形兩邊之和大于第三邊） BECF EF。注意：當(dāng)證題有角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)元素相等。四、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖4-1 ：AD為 ABC的中線，且 1 2， 3 4，求證： BE CF EF證明 ：延長 ED至 M，使 DM=DE，連接ACM， MF。在 BDE

6、和 CDM中，BDCD(中點(diǎn)的定義 ) 1CDM (對頂角相等 )ED MD( 輔助線的作法 )EF BDE CDM （ SAS）234又 1 2， 34 （已知）1C 1 2 34 180°（ 平角的定義 ）BD 3 2=90°即： EDF 90° FDM EDF 90°圖 41M在 EDF和 MDF中EDMD (輔助線的作法 ) EDFFDM (已證 )DFDF (公共邊 ) EDF MDF （ SAS） EF MF （全等三角形對應(yīng)邊相等） 在 CMF中， CF CM MF（三角形兩邊之和大于第三邊） BE CF EF注：上題也可加倍 FD，證法同

7、上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。學(xué)習(xí)必備歡迎下載五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖5-1 ： AD為 ABC的中線，求證：AB AC 2AD。分析：要證AB AC 2AD，由圖想到：AB BD AD,AC CD AD，所以有AB AC BD CD AD AD 2AD，左邊比要證結(jié)論多 BD CD，故不能直接證出此題， 而由 2AD 想到要構(gòu)造 2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去。證明： 延長 AD至 E，使 DE=AD，連接 BE，則 AE 2ADA AD為 ABC的中線

8、 （已知） BDCD （中線定義）在 ACD和 EBD中BD CD (已證 )BDADCEDB (對頂角相等 )CAD ED( 輔助線的作法 ) ACD EBD （ SAS） BE CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）E在 ABE中有： AB BE AE（三角形兩邊之和大于第三邊）圖51 AB AC 2AD。（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí)：已知ABC， AD是 BC 邊上的中線，分別以ABE邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖 5-2 ，求證 EF 2AD。六、截長補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖 6-1 ：在 ABC中， AB AC， 1 2， P 為 AD上任一點(diǎn)。求證： ABA

9、C PBPC。分析：要證： AB AC PB PC，想到利用三角形三邊B關(guān)系定理證之，因?yàn)橛C的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB AC，故可在AB上截取 AN等于 AC，得 AB AC BN， 再連接 PN，則 PC PN，又在即： AB AC PB PC。證明：（截長法）在 AB上截取 AN AC連接 PN ,在 APN和 APC中FAD C圖5 2PNB中， PB PNBN，ANAC (輔助線的作法) 1 2(已知 ) AP AP(公共邊 ) APN APC （SAS） PC PN （全等三角形對應(yīng)邊相等）在 BPN中，有 PB PN BN （三角形兩邊之差小于第

10、三邊） BP PC AB AC證明：（補(bǔ)短法）延長 AC至 M，使 AMAB，連接 PM，在 ABP和 AMP中AABAM (輔助線的作法) 1 2(已知 ) AP AP (公共邊 )1 2NPCDBM圖6 1學(xué)習(xí)必備歡迎下載 ABP AMP （SAS） PB PM（全等三角形對應(yīng)邊相等）又在 PCM中有： CM PM PC(三角形兩邊之差小于第三邊) AB AC PB PC。七、延長已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖7-1 ：已知 AC BD， AD AC于 A ， BC BD于 B，求證： AD BC分析：欲證 AD BC，先證分別含有 AD， BC的三角形全等，有幾種方案： ADC與 BCD，

11、 AOD與 BOC， ABD與 BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。證明 ：分別延長 DA， CB，它們的延長交于 E 點(diǎn)， AD AC BC BD （已知） CAE DBE 90° （垂直的定義）在 DBE與 CAE中EEE(公共角)DBE已證)CAE(BBD已知)AAC( DBE CAE（ AAS） ED EC EB EA （全等三角形對應(yīng)邊相等） ED EA EC EB即： AD BC。ODC圖 71（當(dāng)條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八 、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為

12、三角形來解決。例如：如圖8-1 ： AB CD， ADBC求證： AB=CD。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明 ：連接 AC（或 BD） AB CD ADBC （已知） 1 2， 3 4 （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）在 ABC與 CDA中AD1已證)132(AC公共邊)CA(23已證)4(4 ABC CDA （ ASA）BC AB CD（全等三角形對應(yīng)邊相等）圖 8 1九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖9-1 ：在 Rt ABC中， AB AC， BAC90°， 1 2，CE BD的延長于 E 。求證： BD 2C

13、E分析： 要證 BD 2CE，想到要構(gòu)造線段2CE，同時 CE 與 ABC 的平分線垂直，想到要將其延長。F證明：分別延長BA， CE交于點(diǎn) F。 BE CF （已知）AE° （垂直的定義）BEFBEC90在 BEF與 BEC中，D12BC圖91學(xué)習(xí)必備歡迎下載1 2(已知 ) BE BE(公共邊 )BEFBEC (已證 ) BEF BEC（ ASA） CE=FE=1 CF（全等三角形對應(yīng)邊相等）2 BAC=90° BE CF （已知） BAC CAF 90° 1 BDA 90° 1 BFC 90° BDA BFC在 ABD與 ACF中BACC

14、AF (已證 )BDABFC (已證 )ABAC (已知 ) ABD ACF （AAS） BD CF （全等三角形對應(yīng)邊相等） BD 2CE十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖 10-1 ； AC、BD相交于 O點(diǎn)，且 AB DC，AC BD，求證： A D。分析：要證 A D，可證它們所在的三角形 ABO和 DCO全等，而只有 AB DC和對頂角兩個條件，差一個條件， ，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由 AB DC，AC BD，若連接 BC，則 ABC和 DCB全等，所以，證得 A D。證明：連接BC，在 ABC和 DCB中ABDC (已知 ) AC DB (已知 )B

15、CCB (公共邊 ) ABC DCB (SSS)ADO A D ( 全等三角形對應(yīng)邊相等 )BC十一、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。圖10 1例如：如圖 11-1 ：ABDC， A D 求證： ABC DCB。分析：由AB DC， A D，想到如取AD的中點(diǎn) N，連接 NB， NC，再由 SAS公理有 ABN DCN，故 BN CN， ABN DCN。下面只需證 NBC NCB，再取 BC的中點(diǎn) M，連接 MN，則由 SSS公理有 NBM NCM，所以 NBC NCB。問題得證。證明：取 AD， BC的中點(diǎn) N、M，連接 NB，NM，NC。則 AN=DN， BM=CM，在 ABN和 DCNANDN

16、 (輔助線的作法 )中A已知) ABN DCN （ SAS）D (AB已知)DC ( ABN DCNNB NC （全等三角形對應(yīng)邊、角相等）在 NBM與 NCM中NBNC(已證 ) BM CM (輔助線的作法 )NMNM (公共邊 ) NMB NCM， (SSS) NBC NCB （全等三角形對應(yīng)角相等） NBC ABN NCB DCN即 ABC DCB。ANDBMC圖111學(xué)習(xí)必備歡迎下載巧求三角形中線段的比值例 1. 如圖 1，在 ABC中， BD： DC 1： 3， AE：ED2：3，求 AF：FC。解：過點(diǎn) D 作 DG/AC，交 BF于點(diǎn) G所以 DG：FCBD： BC因?yàn)?BD：

17、DC1：3所以 BD：BC1： 4即 DG：FC1：4，F(xiàn)C 4DG因?yàn)?DG： AFDE：AE又因?yàn)?AE： ED2：3所以 DG：AF 3： 2即所以 AF： FC：4DG1：6例 2. 如圖 2， BCCD，AF FC，求 EF：FD解：過點(diǎn) C作 CG/DE交 AB于點(diǎn) G，則有 EF：GC AF：AC因?yàn)?AF FC所以 AF：AC 1：2即 EF：GC 1： 2因?yàn)?CG：DE BC：BD又因?yàn)?BCCD所以 BC： BD1：2CG：DE1： 2即 DE2GC因?yàn)?FD EDEF所以 EF：FD小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點(diǎn)處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請?jiān)倏磧衫?，讓我們感受其中的奧妙！學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 3. 如圖 3， BD：DC1：3，AE： EB2：3，求 AF：FD。解：過點(diǎn) B 作 BG/AD，交 CE延長線于點(diǎn) G。因?yàn)?BD： DC1：3 所以 CD：CB3：4所以 DF：BG CD：CB即 DF： BG3：4因?yàn)?AF： BGAE：EB又因?yàn)?AE：EB 2： 3所以 AF： BG2：3即所以 AF： DF