數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法之奇葩

1、論文評比數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)思想方法之奇葩浙江省衢州師范第二附屬小學(xué) 王紅宇數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的隱性的、抽象的觀念，是一種心智活動方式。它是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)的本質(zhì)所在。小學(xué)階段可以向?qū)W生滲透的一些最基本的數(shù)學(xué)思想方法有很多，如: 數(shù)形結(jié)合思想、符號表述思想、字母代數(shù)思想、方程函數(shù)思想、數(shù)學(xué)模型思想、化歸思想、分類思想、合情推理思想、對應(yīng)思想、極限思想、統(tǒng)計思想等等。但各種數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)里應(yīng)有主次、緩急、強弱區(qū)分。筆者認為，數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)里是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)(數(shù)量關(guān)系)與形（空間形式）的相互轉(zhuǎn)化、互相利用來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法。它既是一個重要的數(shù)學(xué)

2、思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。數(shù)形結(jié)合，可將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，是抽象思維與形象思維結(jié)合。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀、形少數(shù)時難入微”。有些數(shù)量關(guān)系，借助于圖形的性質(zhì)，可以使抽象的概念和關(guān)系直觀化、形象化、簡單化；而圖形的一些性質(zhì)，借助于數(shù)量的計量和分析，得以嚴(yán)謹化。小學(xué)階段的學(xué)生，思維發(fā)展水平還不夠成熟，理解抽象的內(nèi)容難度較大，但使用了數(shù)形結(jié)合的方法觀察、分析問題，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)實質(zhì)，有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平。本文將試圖探討這個問題。數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)包含兩點內(nèi)容?！皵?shù)”上構(gòu)“形”。以形思數(shù)，本身是“數(shù)”方面的問題，但通過觀察可發(fā)現(xiàn)它具有某種幾何特征，由這種幾何特征

3、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的新關(guān)系，使問題獲解?！靶巍敝幸挕皵?shù)”。以數(shù)想形，解決圖形問題，通過尋找形與數(shù)之間的關(guān)系，使問題獲解。 一、以形思數(shù)，在直觀中理解“數(shù)”教師通過以形思數(shù)突出圖的形象思維，借助圖形的直觀性質(zhì)將抽象的數(shù)學(xué)概念、運算性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給學(xué)生以直觀感，讓學(xué)生從已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，親歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生用多種感覺器官充分感知，在形成表象的基礎(chǔ)上進行想象、聯(lián)想，達到最終理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，解決數(shù)學(xué)問題，形成數(shù)學(xué)思想的目的。（一）以形思數(shù)，幫助建立數(shù)學(xué)概念許多的數(shù)學(xué)概念比較抽象，教學(xué)中常采用歸納、分類、比較的數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念，但也可采用數(shù)形結(jié)合的思想展

4、開數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，運用圖形提供一定的數(shù)學(xué)問題情境，通過對圖形中的情景分析，抽象出數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念。如：在教學(xué)分數(shù)的再認識時，教師運用圖形創(chuàng)設(shè)了如下的問題情境： 提問1：藍圓個數(shù)占整體的幾分之幾？要使藍圓個數(shù)占整體的1/2，怎么改？提問2：綠圓個數(shù)占整體的幾分之幾？學(xué)生說出4/12和1/3 后，課件隨機整理整齊如下：提問3：為什么都是4個，卻可以用不同的分數(shù)來表示？提問4：紅圓個數(shù)占整體的幾分之幾？學(xué)生說出3/12和1/4后，課件隨機整理整齊如下：提問5：為什么都是3個，卻可以用不同的分數(shù)來表示？借助這個情境問題的分析、解決，使學(xué)生很直觀、形象地理解了“部分相同、整體相

5、同，如果分法不一樣，表示的分數(shù)就不一樣”這一有關(guān)分數(shù)的概念特質(zhì)。（二）以形思數(shù)，幫助理解數(shù)運算的性質(zhì)把要解決的有關(guān)數(shù)運算的性質(zhì)問題借助圖象特征表現(xiàn)出來，通過對圖象的解讀、分析，幫助學(xué)生形象地理解相關(guān)性質(zhì)。如：教學(xué)積的變化規(guī)律時，許多教師常是通過呈現(xiàn)一組組乘法算式，讓學(xué)生觀察、比較因數(shù)和積的變化關(guān)系，發(fā)現(xiàn)積的變化規(guī)律。教學(xué)的藝術(shù)在于創(chuàng)造，筆者曾聆聽一位教師創(chuàng)造性地利用長方形的模型形象、直觀地引導(dǎo)學(xué)生探究出了積的變化規(guī)律。教學(xué)片段如下：首先，呈現(xiàn)了 12米 20米讓學(xué)生觀察思索，當(dāng)長不變，寬擴大或縮小3倍，面積是怎么變化的？ （12×3）米 12米 （12÷3）米 20米 20

6、米 20米通過計算長方形的面積，比較長方形的面積變化，學(xué)生很直觀地看到長不變，當(dāng)寬擴大3倍或縮小3倍，它的面積也擴大3倍或縮小3倍。通過計算長方形的面積與觀察積的變化規(guī)律，即數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生很直觀地理解了積的變化規(guī)律。這樣的設(shè)計定比抽象的一組組乘法算式之間的比較更易于學(xué)生發(fā)現(xiàn)、理解規(guī)律。（三）以形思數(shù)，使解題過程具體化眾所周知，新教材中的“解決問題”這一板塊的內(nèi)容，有似于老教材中的應(yīng)用題，題目通常比較抽象復(fù)雜，有不少的學(xué)生較難理解其中的數(shù)量關(guān)系，更別說解決問題。傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)中，教師們常要求學(xué)生采用畫線段圖的方法來理解其中的數(shù)量關(guān)系，實踐也證明，通過畫線段圖，即數(shù)形結(jié)合的方法能有效地幫助分析

7、應(yīng)用題中存在的數(shù)量關(guān)系。實施新教材，教學(xué)“解決問題”這一板塊內(nèi)容時，許多教師曲解了“淡化數(shù)量關(guān)系、聯(lián)系生活實際”等新課標(biāo)中諸類的要求，教師們不再講、也不敢講題目中的數(shù)量關(guān)系，片面追求解決問題過程中的生活化，深怕被扣上教育理念陳舊的帽子。但縱觀我們新教材實施的幾年來，“解決問題”這一板塊的教學(xué)因淡化對數(shù)量關(guān)系的理解，許多學(xué)生一個問題解決完了，再呈現(xiàn)相同結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)問題，還是無從下手，學(xué)生們不能舉一反三了，原因何在？筆者認為，就是因為教學(xué)中教師沒有很好地引領(lǐng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)題目中存在的具有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的關(guān)系。但要讓學(xué)生清晰地發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，傳統(tǒng)的畫線段圖的方法、數(shù)形結(jié)合的思想方法必須得以借鑒和傳承。所以

8、我們還得提倡，通過結(jié)合圖象形狀、位置、及相互關(guān)系等判斷弄清所研究的問題中隱含的數(shù)量關(guān)系來解決問題。一位教師在執(zhí)教“連除應(yīng)用題”時，課一始，教師呈現(xiàn)了這樣一道例題：“有30個桃子，有3只猴子吃了2天，平均每天每只猴子吃了幾個？”請學(xué)生嘗試解決時，教師要求學(xué)生在正方形中表示出各種算式的意思。學(xué)生們經(jīng)過思考交流，呈現(xiàn)了精彩的答案。30÷2÷3，學(xué)生畫了右圖： 先平均分成2份，再將獲得一份平均分成3份。30÷3÷2，學(xué)生畫了右圖： 先平均分成3份，再將獲得一份平均分成2份。30÷（3×2），學(xué)生畫了右圖： 先平均分成6份，再表示 出其中的1份

9、。教師要求學(xué)生在正方形中表示思路的方法，是一種在畫線段圖基礎(chǔ)上的演變和創(chuàng)造。因為正方形是二維的，通過在二維圖中的表達，讓學(xué)生很容易地表達出了小猴的只數(shù)、吃的天數(shù)與桃子個數(shù)之間的關(guān)系。通過數(shù)形結(jié)合，讓抽象的數(shù)量關(guān)系、思考思路形象地外顯了，非常直觀，易于中下學(xué)生理解。 二、以數(shù)想形，在轉(zhuǎn)換中建立“形”圖形推理是抽象的計算，計算是具體的推理，圖形是推理和計算的直觀模型。數(shù)學(xué)活動里的有關(guān)圖形的知識可以通過數(shù)和計算幫助理解。（一）以數(shù)想形，幫助理解各種公式在教學(xué)有關(guān)計算公式時，如果只是讓學(xué)生死記計算公式，這樣只會將知識學(xué)死，如果學(xué)生碰到稍有變化的圖形問題，就不能靈活解決。教師可以通過讓學(xué)生表達各種算式的

10、含義，以達到深刻理解公式的含義。如一位教師教學(xué)三角形的面積計算公式時，課始，絕大部分學(xué)生已經(jīng)模糊知道三角形的面積計算公式，教師出示4米 這個圖形后, 請學(xué)生計算這個三角形的面積。 6米學(xué)生們經(jīng)過思索出示了多種式子，6×4÷2、6×（4÷2）、6÷2×4，看來這些不同的式子體現(xiàn)了不同的圖形轉(zhuǎn)化思路，教師也大膽地請學(xué)生根據(jù)式子分別想辦法找到不同的轉(zhuǎn)換方法。學(xué)生們分別用圖表示出了各種算式的意思、各種推導(dǎo)公式的思路。如，6×4÷2 6×（4÷2） 6÷2×4將兩個底為6米、高為4米

11、將上面的三角形湊到右小角， 將右邊一半割下拼到的三角形拼成底為6米，高 成為底為6米，高為（4÷2） 左上角，成為一個長為4米的平行四邊形。 米的平行四邊形。 為4米，寬為（6÷2） 米的長方形。經(jīng)過討論、分析就可以發(fā)現(xiàn)三角形的面積計算公式是底×高÷2，這就由計算轉(zhuǎn)向幾何推理。教學(xué)中將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，它突出圖像的形象思維，又幫助學(xué)生獲得準(zhǔn)確的結(jié)論，是訓(xùn)練學(xué)生掌握幾何圖形計算公式的很好手段，使學(xué)生的思維能力、情感態(tài)度等方面都得到發(fā)展，有效地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)中有形、形中有數(shù)的意識。（二）以數(shù)想形，幫助理解圖形的性質(zhì) 通過以數(shù)想形，還可以有效幫助學(xué)生理解圖形

12、的性質(zhì)，如在教學(xué)“不同形狀的平行四邊形只要等底等高，它的面積就相等”這一性質(zhì)時，教師可以呈現(xiàn)一個算式，讓學(xué)生畫出可能會是怎樣的平行四邊形。如：3×4，學(xué)生可以畫出如下圖形：2米4米 通過觀察這一組圖形,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“不同形狀的平行四邊形只要等底等高，它的面積就相等”這一圖形性質(zhì)。當(dāng)然，我們可以讓學(xué)生畫出底為8米、高為1米的平行四邊形，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：面積相等，圖形的形狀可以不一樣。(三) 以數(shù)想形，借助表象發(fā)展空間觀念兒童的認識規(guī)律，一般來說是從直接感知到表象，再到形成科學(xué)概念的過程。表象介于感知和形成科學(xué)概念之間，抓住這中間環(huán)節(jié)，學(xué)生多角度地靈活思考，大膽想象，對知識的理解逐步深化，發(fā)展

13、學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)初步的邏輯思維能力，具有十分重要意義。教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用表象、用聯(lián)系的觀點把握數(shù)形結(jié)合思想，如：看到“3”想到了什么？學(xué)生可能會想到三角形；看到了“3×4”想到了什么？學(xué)生可能會想到是一個長為3厘米、寬為4厘米的長方形的面積，學(xué)生還可能會想到是一個邊長為3厘米正方形的周長；看到了“3、3、1”，“3、3、2”，“3、3、3”，“3、3、4”，“3、3、5”，想到的是怎樣的三角形，通過想象學(xué)生可以想到是這樣的一列三角形。 數(shù)據(jù)的規(guī)律變化導(dǎo)致了圖形的規(guī)律變化，這樣的訓(xùn)練有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力?？傊?，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系、空間形式及其關(guān)系的學(xué)科，通過數(shù)形結(jié)合的方法研究問題，可以讓數(shù)量關(guān)系與圖形的性質(zhì)的問題很好地轉(zhuǎn)化，通過幾何直觀可以幫助學(xué)生建立數(shù)的概念，可