2.5.1_平面幾何中的向量方法(1)ppt課件

1、12.5 2.5 平面向量應(yīng)用舉例平面向量應(yīng)用舉例 2.5.1 2.5.1 平面幾何中的向量方法平面幾何中的向量方法2向量的相關(guān)概念及其形式向量的相關(guān)概念及其形式定義形式定義形式坐標(biāo)形式坐標(biāo)形式數(shù)量積運(yùn)算數(shù)量積運(yùn)算向量的模向量的模向量的夾角向量的夾角垂直的判定垂直的判定共線的判定共線的判定相等的判定相等的判定cosa ba b 2121yyxxba aaa 22yxa babacos 222221212121yxyxyyxxcos 0 ba02121 yyxx01221yxyx），（），（非非零零向向量量2211yxbyxa ab 1212xxyy 且且a=b3122 1abx y -x y0

2、(b0) 向量在幾何中的應(yīng)用 (1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行（共線）的條件證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行（共線）的條件 ab . (2)證明垂直問題證明垂直問題,常用向量垂直的條件常用向量垂直的條件ab .1212a b0 x xy y0. 4利用夾角公式利用夾角公式 2 21 12 22 21 12 2) )y y- -( (y y+ +) )x x- -( (x x (3)求夾角問題求夾角問題 ， (4)求線段的長(zhǎng)度，可以用向量的線性運(yùn)算，向量的模求線段的長(zhǎng)度，可以用向量的線性運(yùn)算，向量的模|a|= 或或|AB|=|AB|= .121222221122x

3、xy ya bcosa bxyxy 2a aa 22axy5ABCD,ACABAD ,DBABAD 問題：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。問題：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，如圖， 你能發(fā)現(xiàn)對(duì)角你能發(fā)現(xiàn)對(duì)角線線AC的長(zhǎng)度與鄰邊的長(zhǎng)度與鄰邊AB、AD的長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？的長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？對(duì)角線對(duì)角線DB？對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間有何關(guān)系？長(zhǎng)度之間有何關(guān)系？涉及到長(zhǎng)度問題常?？紤]向量的數(shù)量積涉及到長(zhǎng)度問題常常考慮向量的數(shù)量積AB AC AD DB 6ABCDAB = a AD = b 設(shè)AB=a，AD=b，則AC=a+b，DB=a-b，分析

4、：分析：AC =AC+AC=(a+b) (a-b)=a a+a b+b a+b b= a +2a b+ b DB = a - 2a b+ b 同理同理DB =AC +2( a + b )AB +AD = 2 ( )平行四邊形兩條對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等于兩條鄰邊長(zhǎng)的平方和的兩倍平行四邊形兩條對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等于兩條鄰邊長(zhǎng)的平方和的兩倍.7利用向量法解決平面幾何問題的基本思路利用向量法解決平面幾何問題的基本思路（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向

5、量運(yùn)算，研究集合之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；通過向量運(yùn)算，研究集合之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）把運(yùn)算結(jié)果把運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何元素。成幾何元素。8ABCDEFRT例例2 如圖，如圖， ABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)E、F分別是分別是AD 、 DC邊的中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，BE 、 BF分別與分別與AC交于交于R 、 T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR 、 RT 、TC之間的關(guān)系嗎？之間的關(guān)系嗎？,ABa ADb ARr解解設(shè)設(shè)：ACab 則則EREB又又與與共共 線線(),rn ab nR 設(shè)設(shè)1()2ERmEBm ab設(shè)設(shè) ARAC與與共共線線ARAEER 91122()rbm ab 1

6、122()()n abbm ab 102()()mnm anb 即即,a b由由于于向向量量不不共共線線0102nmmn 13nm 解解得得：111333,ARACTCACRTAC 同同理理于于是是故故AT=RT=TCARAEER ABCDEFRT10 在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)： 兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力，在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？11在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：在日常

7、生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)： 兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？嗎？GFF1F211.F 當(dāng)當(dāng) 逐逐漸漸增增大大時(shí)時(shí)，的的大大小小怎怎樣樣變變化化，為為什什么么？ 12.F 為為何何值值時(shí)時(shí)，最最小小，最最小小值值是是多多少少？ 13.FG 為為何何值值時(shí)時(shí)，？ 12GFF1F21|2cos2GF即即F1、F2之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力當(dāng)當(dāng)由由0180逐漸增

8、大時(shí)，逐漸增大時(shí)， 由由090逐漸增大，而逐漸增大，而 的值逐漸縮小，因此的值逐漸縮小，因此 逐漸增大逐漸增大cos211.F 當(dāng)當(dāng) 逐逐漸漸增增大大時(shí)時(shí)，的的大大小小怎怎樣樣變變化化，為為什什么么？ 解：設(shè)解：設(shè) 則由向量的平行四邊則由向量的平行四邊形法則、力的平衡及直角三角形的知形法則、力的平衡及直角三角形的知識(shí)可知識(shí)可知12| |FF 13GFF1F2 當(dāng)當(dāng)=0， 最小，最小值是最小，最小值是|2G1|F當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 231| |FG例例3. 在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)： 兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在

9、單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？現(xiàn)象嗎？12.F 為為何何值值時(shí)時(shí)，最最小小，最最小小值值是是多多少少？ 13.FG 為為何何值值時(shí)時(shí)，？ 14v1v2v例例4.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m,一艘船從一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸，已知船的速處出發(fā)到河對(duì)岸，已知船的速度度 ，水流速度，水流速度 ，問行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是多少？，問行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是多少？(精確到精確到0.1min) 1| 10/vkm h2| 2/vkm h

10、v1v2v1212210/ ,2/.vvvvkm h vkm hvvt 如如圖圖，分分已已知知，求求析析： 15v1v2v例例4.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m,一艘船從一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸，已知船的速處出發(fā)到河對(duì)岸，已知船的速度度 ，水流速度，水流速度 ，問行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是多少？，問行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是多少？(精確到精確到0.1min) 1| 10/vkm h2| 2/vkm h20v v 解解：由由已已知知條條件件得得 2212|96(/),vvvkmh 0.5603.1(min).|96dtv 所所以以 思考：要使船行駛的

11、時(shí)間最短，所用時(shí)間是多少？思考：要使船行駛的時(shí)間最短，所用時(shí)間是多少？v1v2 vABCD16例例3 3 證明直徑所對(duì)的圓周角是直角證明直徑所對(duì)的圓周角是直角ABCO已知：如圖所示，已知已知：如圖所示，已知 O，AB為為直徑，直徑，C為為 O上任意一點(diǎn)。上任意一點(diǎn)。求證：求證：ACB=90證明：證明：,AO a OCb 設(shè)設(shè),ACa b CB a b 則則 AC CBabab 2222abab220rr即即 ，ACB=900AC CB 思考：能否用向量坐標(biāo)形式證明？思考：能否用向量坐標(biāo)形式證明？xy17已知直線已知直線l：mx2y60，向量，向量(1m，1)與與l平行平行則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m的值為的

12、值為 （ ）A.-1 B.1 C.2 D.-1或或2D利用向量證明：菱形的兩條對(duì)角線互相垂直利用向量證明：菱形的兩條對(duì)角線互相垂直ABCD18練習(xí)練習(xí)1、一船從某河的一岸駛向?qū)Π?，船速為、一船從某河的一岸駛向?qū)Π?，船速?，水速為，水速為已知船可垂直到達(dá)對(duì)岸，則（已知船可垂直到達(dá)對(duì)岸，則（ ）1v2v12121212.| | .| | .| | .| |AvvBvvCvvDvv 2、已知作用在、已知作用在A點(diǎn)的三個(gè)力點(diǎn)的三個(gè)力 ，A(1，1)則合力則合力 的終點(diǎn)坐的終點(diǎn)坐標(biāo)是（標(biāo)是（ ）A.(8,0) B.(9,1) C.(-1,9) D.(3,1)1(3,4)F 2,(2, 5)F 3(3,1)F 123FFFFBB193、一個(gè)物體受到兩個(gè)相互垂直的力、一個(gè)物體受到兩個(gè)相