初三數(shù)學專家講座

1、閱讀理解與動手操作型問閱讀理解與動手操作型問題題一、北京近五年中考操作題統(tǒng)計一、北京近五年中考操作題統(tǒng)計專題專題北京近五年中考統(tǒng)計北京近五年中考統(tǒng)計題型題型中考預中考預測測20092010201120122013實驗與操作旋轉、旋轉、等積變等積變換換軸對軸對稱稱平移、平移、等積等積變換變換坐標變坐標變化，方化，方程組程組三角形、三角形、正方形、正方形、等積變換等積變換解答題 操作類問題操作類問題在北京中考在北京中考20072007年出現(xiàn)在年出現(xiàn)在2121題，題，20082008年及此后固定出現(xiàn)在年及此后固定出現(xiàn)在2222題。此外某些試卷選題。此外某些試卷選擇第擇第8 8題和填空第題和填空第12

2、12題以及幾何綜合題也可能包題以及幾何綜合題也可能包含操作元素；含操作元素； 考試說明考試說明上沒有專門針對操作類問題的闡上沒有專門針對操作類問題的闡述，它是對幾何知識的述，它是對幾何知識的綜合實踐綜合實踐考查，滲透在各考查，滲透在各個知識點，多為個知識點，多為B B，C C級要求；級要求； 操作類問題通常有操作類問題通常有閱讀信息閱讀信息，結果可能具有，結果可能具有開開放性放性，常常設有，常常設有直接填空直接填空答題形式；答題形式；二、題型特點二、題型特點 操作類問題豐富多變，操作類問題豐富多變，不容易找到模式化訓練方法，不容易找到模式化訓練方法，不容易在短期內取得突破不容易在短期內取得突破

3、； 解決操作類問題，首先要求有對圖形的解決操作類問題，首先要求有對圖形的空間感知能空間感知能力力，其次要具備，其次要具備創(chuàng)造性思維和想象能力創(chuàng)造性思維和想象能力，同時要有對，同時要有對所學幾何知識的所學幾何知識的整合能力整合能力，還要有，還要有閱讀理解能力閱讀理解能力，因，因此具有一定難度；此具有一定難度； 北京中考或模擬題中北京中考或模擬題中2222題通常能激發(fā)同學們的解題題通常能激發(fā)同學們的解題興趣，有些學生面對興趣，有些學生面對4-54-5分往往需要投入大量時間，而分往往需要投入大量時間，而且甘愿投入大量時間，且甘愿投入大量時間，欲罷而不能欲罷而不能，最后還不一定能，最后還不一定能得到分

4、。得到分。三、重視圖形變換三、重視圖形變換1我們學習的幾何變換有幾種：我們學習的幾何變換有幾種：2要理解這幾種變換的作用是什么？各自能解決什要理解這幾種變換的作用是什么？各自能解決什么問題？怎樣解決的等幾個問題么問題？怎樣解決的等幾個問題.全等變換、相似變換、等積變換全等變換、相似變換、等積變換.全等變換：是指不改變圖形形狀與大小的變換全等變換：是指不改變圖形形狀與大小的變換.相似變換：是指不改變圖形形狀只改變圖形大小的相似變換：是指不改變圖形形狀只改變圖形大小的變換變換.等積變換：是指不改變圖形大小只改變圖形形狀的等積變換：是指不改變圖形大小只改變圖形形狀的變換變換.全等變換問題（平移、軸對

5、稱、旋轉）全等變換問題（平移、軸對稱、旋轉） 首先要理解運用這種變換的一些基本情況：首先要理解運用這種變換的一些基本情況：按指令語言，按規(guī)定的變換移動圖形；按指令語言，按規(guī)定的變換移動圖形；按指令語言拼接圖形；按指令語言拼接圖形；根據(jù)題目的需要設計變換（需要理解變根據(jù)題目的需要設計變換（需要理解變換的條件與相應的方式與方法；需要解讀好換的條件與相應的方式與方法；需要解讀好題目的直接或隱含的條件）題目的直接或隱含的條件）.例例1.（2009.22）閱讀下列材料：閱讀下列材料： 小明遇到一個問題：小明遇到一個問題：5個同樣大小的正方形紙個同樣大小的正方形紙片排列形式如圖片排列形式如圖1所示，將它們

6、分割后拼接成一個所示，將它們分割后拼接成一個新的正方形新的正方形. 他的做法是：按圖他的做法是：按圖2所示的方法分割后，所示的方法分割后，將三將三角形紙片繞角形紙片繞AB的中點的中點O旋轉至三角形紙片處，旋轉至三角形紙片處，依此方法繼續(xù)操作，即可拼接成一個新的正方形依此方法繼續(xù)操作，即可拼接成一個新的正方形DEFG.圖圖1 1圖圖2 2（一）以旋轉為背景的操作型題目（一）以旋轉為背景的操作型題目請你參考小明的做法解決下列問題：請你參考小明的做法解決下列問題：（1）現(xiàn)有）現(xiàn)有5個形狀、大小相同的矩形紙片，排列形式如圖個形狀、大小相同的矩形紙片，排列形式如圖3所所示示.請將其分割后拼接成一個平行四

7、邊形要求：在圖請將其分割后拼接成一個平行四邊形要求：在圖3中畫出中畫出并指明拼接成的平行四邊形（畫出一個符合條件并指明拼接成的平行四邊形（畫出一個符合條件的平行四邊形即可）；的平行四邊形即可）；（2）如圖）如圖4，在面積為，在面積為2的平行四邊形的平行四邊形ABCD中，點中，點E、F、G、H分別是邊分別是邊AB、 BC、CD、DA的中點，分別連結的中點，分別連結AF、BG、CH、DE得到一個新的平行四邊形得到一個新的平行四邊形MNPQ. 請在圖請在圖4中探究平行四邊形中探究平行四邊形MNPQ面積的大?。ó媹D并直接寫出結果）面積的大小（畫圖并直接寫出結果）. 圖圖3 3圖圖4 4【評析評析】本題

8、是一道融閱讀、理解、動手操本題是一道融閱讀、理解、動手操作、猜想、探究于一體的圖形變換問題作、猜想、探究于一體的圖形變換問題. .考考查的知識主要有圖形的認識、平行四邊形、查的知識主要有圖形的認識、平行四邊形、矩形、正方形及矩形、正方形及中心對稱、旋轉、面積等，中心對稱、旋轉、面積等，并進一步對學生的識圖能力、動手操作能力、并進一步對學生的識圖能力、動手操作能力、逆向思維能力、信息遷移能力以及相關幾何逆向思維能力、信息遷移能力以及相關幾何知識的綜合運用能力提出了更高的要求知識的綜合運用能力提出了更高的要求. .可行復習建議：可行復習建議：1.有關中點的聯(lián)想：有關中點的聯(lián)想：（1）等腰三角形中遇

9、到底邊上的中點，常聯(lián)想）等腰三角形中遇到底邊上的中點，常聯(lián)想“三三線合一線合一”的性質的性質（2）直角三角形中遇到斜邊上的中點，常聯(lián)想）直角三角形中遇到斜邊上的中點，常聯(lián)想“斜斜邊上的中線，等于斜邊的一半邊上的中線，等于斜邊的一半”（3）三角形中遇到兩邊的中點，常聯(lián)想）三角形中遇到兩邊的中點，常聯(lián)想“三角形的三角形的中位線定理中位線定理”（4）遇到兩平行線所截得的線段的中點時，常聯(lián)想）遇到兩平行線所截得的線段的中點時，常聯(lián)想“八字型八字型”全等三角形全等三角形（5）圓中遇到弦的中點，常聯(lián)想）圓中遇到弦的中點，常聯(lián)想“垂徑定理垂徑定理”（6）遇到中點，聯(lián)想共邊等高的兩個三角形面積相）遇到中點，聯(lián)

10、想共邊等高的兩個三角形面積相等等剪拼成剪拼成平行四邊形平行四邊形2.與中點有關的圖形剪拼：與中點有關的圖形剪拼：剪拼成剪拼成矩形矩形剪拼成剪拼成平行四邊形平行四邊形剪拼成剪拼成梯形梯形用用已有結果已有結果剪拼成剪拼成梯形梯形 用用已有結果已有結果 討論討論: :怎樣特殊的三角形能剪拼成怎樣特殊的三角形能剪拼成菱形菱形? ?將將圖形圖形( (菱形菱形) )分割分割邏輯思考邏輯思考12B CA B 討論討論: :怎樣特殊的三角形能剪拼成怎樣特殊的三角形能剪拼成正方形正方形? ?邏輯思考邏輯思考2ADBCDADBC于， 討論討論: :怎樣特殊的三角形能剪拼成怎樣特殊的三角形能剪拼成正方形正方形? ?

11、邏輯思考邏輯思考12ADBCD ADBC于，或等腰直角三角形（將圖形或等腰直角三角形（將圖形(正方形正方形)分割）分割）. 引申引申: :用用四邊形四邊形能剪拼成能剪拼成特殊四邊形嗎特殊四邊形嗎? ? ?b?aab矩形剪拼成正方形矩形剪拼成正方形在菱形紙片在菱形紙片ABCD中，中，AB=4cm，ABC=120，按下列步驟進行裁剪和拼圖：，按下列步驟進行裁剪和拼圖：第一步：如圖第一步：如圖1，在線段，在線段AD上任意取一點上任意取一點E，沿，沿EB，EC剪下一個三角形紙片剪下一個三角形紙片EBC(余下部分不再使用余下部分不再使用)； 第二步：如圖第二步：如圖2，沿三角形，沿三角形EBC的中位線的

12、中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點上任意取一點M，線段，線段BC上任意取一點上任意取一點N，沿，沿MN將梯形紙片將梯形紙片GBCH剪成兩部分；剪成兩部分； 第三步：如圖第三步：如圖3，將，將MN左側紙片繞左側紙片繞G點按順時針方向旋轉點按順時針方向旋轉180，使線段，使線段GB與與GE重合，將重合，將MN右側紙片繞右側紙片繞H點按逆時針方向旋轉點按逆時針方向旋轉180，使線段，使線段HC與與HE重重合，再與三角形紙片合，再與三角形紙片EGH拼成一個與三角形紙片拼成一個與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙面積相等的四邊形紙片片 (注：裁剪和拼圖過程均無

13、縫且不重疊注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊) （1）請你在圖）請你在圖3中畫出拼接成的四邊形；中畫出拼接成的四邊形； （2）直接寫出拼成的四邊形紙片周長的最小值為）直接寫出拼成的四邊形紙片周長的最小值為_cm，最大值為，最大值為_cm （2013東城東城22）通過操作，我們可以看到最后所得的四邊形紙片是一通過操作，我們可以看到最后所得的四邊形紙片是一個平行四邊形，其上下兩條邊的長度等于原來菱形的個平行四邊形，其上下兩條邊的長度等于原來菱形的邊邊AB=4，左右兩邊的長等于線段，左右兩邊的長等于線段MN的長，當?shù)拈L，當MN垂垂直于直于BC時，其長度最短，等于原來菱形的高的一半，時，其長度最短，等于

14、原來菱形的高的一半，于是這個平行四邊形的周長的最小值為于是這個平行四邊形的周長的最小值為 ；當點；當點E與點與點A重合，點重合，點M與點與點G重合，點重合，點N與點與點C重合時，線重合時，線段段MN最長，等于最長，等于 ，此時，這個四邊形的周長最大，此時，這個四邊形的周長最大，其值為其值為 . 82 384 72 72010.北京中考北京中考 22. 閱讀下列材料：閱讀下列材料： 小貝遇到一個有趣的問題：在矩形小貝遇到一個有趣的問題：在矩形 中中ABCD， AD=8cm， AB=6cm現(xiàn)有一動點現(xiàn)有一動點 按下列方式在矩形內運動：它從按下列方式在矩形內運動：它從 A點出發(fā)，沿著與點出發(fā)，沿著與

15、 AB邊夾角為邊夾角為 45的方向作直線運動，每次碰到矩形的一邊，就會改變運的方向作直線運動，每次碰到矩形的一邊，就會改變運動方向，沿著與這條邊夾角為動方向，沿著與這條邊夾角為 45的方向作直線運動，并且它一直按照的方向作直線運動，并且它一直按照這種方式不停地運動，即當這種方式不停地運動，即當 P點碰到點碰到 BC邊，沿著與邊，沿著與 BC邊夾角為邊夾角為45 的的方向作直線運動，當方向作直線運動，當 點點P碰到碰到 CD邊，再沿著與邊，再沿著與 CD邊夾角為邊夾角為 45 的方向的方向作直線運動，作直線運動，如圖，如圖1所示問所示問 P點第一次與點第一次與D 點重合前與邊相碰幾次，點重合前與

16、邊相碰幾次， P點第一次與點第一次與 D點重合時所經過的路徑的總長是多少點重合時所經過的路徑的總長是多少 小貝的思考是這樣開始的：如圖小貝的思考是這樣開始的：如圖2，將矩形將矩形 ABCD沿直線沿直線 CD折疊，得折疊，得到矩形到矩形 A1B1CD由軸對稱的知識，由軸對稱的知識，發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn) P2P3=P2E，P1A=P1E （二）以軸對稱為背景的操作型題目（二）以軸對稱為背景的操作型題目 請你參考小貝的思路解決下列問題：請你參考小貝的思路解決下列問題： （1） P點第一次與點第一次與 D點重合前與邊相碰點重合前與邊相碰_次；次； P點從點從 A點點出發(fā)到第一次與出發(fā)到第一次與 D點重合時所經過的

17、路徑地總長點重合時所經過的路徑地總長_cm； （2）進一步探究：改變矩形）進一步探究：改變矩形 ABBCD中中 AD、AB的長，且滿足的長，且滿足ADAB 動點動點 從從 A點出發(fā)，按照閱讀材料中動點的運動方式，并點出發(fā)，按照閱讀材料中動點的運動方式，并滿足前后連續(xù)兩次與邊相碰的位置在矩形滿足前后連續(xù)兩次與邊相碰的位置在矩形 ABCCD相鄰的兩邊相鄰的兩邊上若上若 P點第一次與點第一次與 B點重合前與邊相碰點重合前與邊相碰7次，則次，則 AB:AD的值為的值為_例例. . 邊長為邊長為1 1的正方形的正方形ABCDABCD中，中，M M、N N分別是分別是ADAD、BCBC的的中點，將點中點，

18、將點C C折至折至MNMN上落在點上落在點P P的位置，折痕為的位置，折痕為BQBQ，連結連結PQ .PQ .（1 1）求線段）求線段MPMP的長；（的長；（2 2）求線段）求線段PQPQ的長的長. . ?Q Q?N N?MM?B B?C C?A A?D D?P P?Q Q?N N?MM?B B?C C?A A?D D?P P30發(fā)現(xiàn)圖中隱含的軸對稱關系是關鍵！發(fā)現(xiàn)圖中隱含的軸對稱關系是關鍵！可行復習計劃：可行復習計劃： 1、翻折問題 2、“將軍飲馬”問題“將軍飲馬將軍飲馬”問題問題（2011.北京中考北京中考）閱讀下面材料：）閱讀下面材料： 小偉遇到這樣一個問題：如圖小偉遇到這樣一個問題：如

19、圖1，在梯，在梯形形ABCD中，中，ADBC，對角線，對角線AC、BD相相交于點交于點O 若梯形若梯形ABCD的面積為的面積為1，試求，試求以以AC、BD、AD+BC的的長度為三邊長的三長度為三邊長的三角形的面積角形的面積圖圖1 1（三）以平移變換為背景的操作型題目（三）以平移變換為背景的操作型題目 小偉是這樣思考的：小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先要想解決這個問題，首先應想辦法移動這些分散的線段，構造一個三角形，應想辦法移動這些分散的線段，構造一個三角形，再計算其面積即可他先后嘗試了翻折、旋轉、平再計算其面積即可他先后嘗試了翻折、旋轉、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過平移可以解決這個問題移的方法

20、，發(fā)現(xiàn)通過平移可以解決這個問題他的他的方法是過點方法是過點D作作AC的平行線交的平行線交BC的延長線于點的延長線于點E，得到的得到的BDE即是以即是以AC、BD、AD+BC的長度為三的長度為三邊長的三角形（如圖邊長的三角形（如圖2）請你回答：圖請你回答：圖2中中BDE的面積等于的面積等于 圖圖2 2參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：如圖如圖3，ABC的三條中線分別為的三條中線分別為AD、BE、CF（1）在圖）在圖3中利用圖形變換畫出并指明以中利用圖形變換畫出并指明以AD、BE、CF的長的長 度為三邊長的一個三角形（保留度為三邊長的一個三角形（保

21、留畫圖痕跡）；畫圖痕跡）；（2）若）若ABC的面積為的面積為1，則以，則以AD、BE、CF的長度為三邊的長度為三邊 長的三角形的面積等于長的三角形的面積等于 圖圖3 3【評析評析】本題是一道閱讀理解、操作題本題是一道閱讀理解、操作題. .此題為不同學習水平此題為不同學習水平的學生提供了平臺，突出考查了學生的學習過程，體現(xiàn)了新的學生提供了平臺，突出考查了學生的學習過程，體現(xiàn)了新課程標準的理念課程標準的理念. .考查了平行四邊形、梯形、三角形中線、面考查了平行四邊形、梯形、三角形中線、面積和平移等知識；要求學生通過閱讀理解對所給信息和方法積和平移等知識；要求學生通過閱讀理解對所給信息和方法進行現(xiàn)場

22、學習、動手畫圖和知識遷移，考查了幾何探究的能進行現(xiàn)場學習、動手畫圖和知識遷移，考查了幾何探究的能力、創(chuàng)新能力、綜合運用幾何知識解決新問題的能力力、創(chuàng)新能力、綜合運用幾何知識解決新問題的能力. .(2012 (2012 海淀一模海淀一模) 22) 22閱讀下面材料：閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖小明遇到這樣一個問題：如圖1 1，ABOABO和和CDOCDO均為等腰直角三角形均為等腰直角三角形, , AOB=COD =90AOB=COD =90若若BOCBOC的面積為的面積為1 1， 試求以試求以ADAD、BCBC、OC+ODOC+OD的長度為三邊長的三的長度為三邊長的三角形的面積角形的

23、面積 小明是這樣思考的：要解決這個問題，首先應想辦法移動這些分散的線段，小明是這樣思考的：要解決這個問題，首先應想辦法移動這些分散的線段，構造一個三角形，再計算其面積即可他利用圖形變換解決了這個問題，其解題構造一個三角形，再計算其面積即可他利用圖形變換解決了這個問題，其解題思路是延長思路是延長COCO到到E, E, 使得使得OE=CO, OE=CO, 連接連接BE, BE, 可證可證OBEOBEOAD, OAD, 從而得到的從而得到的BCEBCE即是以即是以ADAD、BCBC、OC+ODOC+OD的長度為三邊長的三角形（如圖的長度為三邊長的三角形（如圖2 2）請你回答：圖請你回答：圖2 2中中

24、BCEBCE的面積等于的面積等于_ 請你嘗試用平移、旋轉、翻折的方法，解決下列問題：請你嘗試用平移、旋轉、翻折的方法，解決下列問題：如圖如圖3 3，已知，已知ABC, ABC, 分別以分別以ABAB、ACAC、BCBC為邊向外作正方形為邊向外作正方形ABDEABDE、AGFCAGFC、BCHI, BCHI, 連接連接EGEG、FHFH、IDID（1 1）在圖）在圖3 3中利用圖形變換畫出并指明以中利用圖形變換畫出并指明以EGEG、FHFH、IDID的長的長 度為三邊長的一個三角形（保留畫圖痕跡）；度為三邊長的一個三角形（保留畫圖痕跡）；（2 2）若）若ABCABC的面積為的面積為1 1，則以，

25、則以EGEG、FHFH、IDID的長度為的長度為三邊長的三角形的面積等于三邊長的三角形的面積等于_ _ ADCOBEBOCDAIHGFABCDE（四）等積變換問題（四）等積變換問題 這是新課標在重視幾何變換的前提下與實際問題這是新課標在重視幾何變換的前提下與實際問題相結合而形成的問題，它主要體現(xiàn)在以下問題中：相結合而形成的問題，它主要體現(xiàn)在以下問題中： 圖形在不改變大小的情況下的移動；圖形在不改變大小的情況下的移動； 圖形的分割與組合；圖形的分割與組合； 圖形的拼接圖形的拼接.等積變換的基本原理：等積變換的基本原理：等底等高的兩個三角形面積相等不等底但等高的兩個三角形面積的比等于底邊的比等底但

26、不等高的兩個三角形面積的比等于高的比等積變換的基本圖形等積變換的基本圖形等積變換的基本圖形等積變換的基本圖形用等積變換作圖用等積變換作圖根據(jù)等積關系，可以使某些作圖題較快地得到解答。根據(jù)等積關系，可以使某些作圖題較快地得到解答。例例1.1.用三種方法把任意一個三角形分成四個面積用三種方法把任意一個三角形分成四個面積相等的三角形。相等的三角形。 例例2.如圖如圖 ABC，過，過A點的中線能把三角形分成面積點的中線能把三角形分成面積相同的兩部分相同的兩部分.你能過你能過AB邊上一點邊上一點E作一條直線作一條直線EF，使它也將這個三角形分成兩個面積相等的部分嗎？使它也將這個三角形分成兩個面積相等的部

27、分嗎？A AB BC CE E過梯形中位線中點且與過梯形中位線中點且與上下底相交的任意直線上下底相交的任意直線例例3.如圖，梯形紙片如圖，梯形紙片ABCD中，中，ADBC且且ABDC.設設AD=a,BC=b.過過AD中點和中點和BC的中點的直線可將的中點的直線可將梯形紙片梯形紙片ABCD面積分成面積相等的兩部分面積分成面積相等的兩部分.請你請你再設計一種方法再設計一種方法:只須用剪子剪一次將梯形紙片只須用剪子剪一次將梯形紙片ABCD分割成面積相分割成面積相等的二部分，畫出設計的圖形并簡要說明你的分等的二部分，畫出設計的圖形并簡要說明你的分割方法割方法. 例例4.有一塊形狀如圖的耕地，兄弟二人要把它分成兩有一塊形狀如圖的耕地，兄弟二人要把它分成兩等份，請你設計一種方案把它分成所需要的份數(shù)如等份，請你設計一種方案把它分成所需要的份數(shù)如果只允許引一條直