數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)報(bào)告(95分)

1、22 數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)報(bào)告 設(shè)計(jì)題1、2、3、5學(xué)院、系： 專 業(yè)： 姓 名： 學(xué) 號(hào)： 任課教師： 提交日期： 電子郵箱： 目錄設(shè)計(jì)題一31.1問(wèn)題分析與設(shè)計(jì)思路31.2程序清單41.4 結(jié)果分析71.5設(shè)計(jì)總結(jié)7設(shè)計(jì)題二82.1問(wèn)題分析與設(shè)計(jì)思路82.2程序清單82.3 運(yùn)行結(jié)果102.4結(jié)果分析與設(shè)計(jì)總結(jié)10設(shè)計(jì)題三113.1問(wèn)題分析與設(shè)計(jì)思路113.2程序清單113.3 運(yùn)行結(jié)果133.4結(jié)果分析與設(shè)計(jì)總結(jié)13設(shè)計(jì)題五144.1問(wèn)題分析與設(shè)計(jì)思路144.2程序清單154.3 運(yùn)行結(jié)果204.4結(jié)果分析21【數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)總結(jié)】22設(shè)計(jì)題一 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證Hilbert矩陣的病態(tài)性。 1

2、.1問(wèn)題分析與設(shè)計(jì)思路在求解任何反問(wèn)題的過(guò)程中通常會(huì)遇到病態(tài)矩陣問(wèn)題，而且病態(tài)矩陣問(wèn)題還未有很好的解決方法，尤其是長(zhǎng)方形、大型矩陣。目前主要有Tikhonov、奇異值截?cái)唷⑵娈愔敌拚确椒?。求解方程組時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)的小擾動(dòng)很敏感的矩陣就是病態(tài)矩陣。解線性方程組Ax=b時(shí)，若對(duì)于系數(shù)矩陣A及右端項(xiàng)b的小擾動(dòng)A、b,方程組(A+A)=b+b的解與原方程組Ax=b的解差別很大，則稱矩陣A為病態(tài)矩陣。方程組的近似解一般都不可能恰好使剩余r=b-A為零，這時(shí)亦可看作小擾動(dòng)問(wèn)題A=b-r(即A=0，b=-r)的解,所以當(dāng)A為病態(tài)時(shí),即使剩余很小,仍可能得到一個(gè)與真解相差很大的近似解。 因此，設(shè)計(jì)思路如下： 令x

3、0=（1,1.1），計(jì)算出b=Hx0，求出b，然后再用高斯消去法球解Hx=b，得到近似解x，然后利用標(biāo)準(zhǔn)差：比較x與x0之間的誤差。截圖是取了幾個(gè)n（程序中設(shè)置為1至30）去計(jì)算，看一下隨著n的增大誤差的變化情況。1.2程序清單共兩個(gè)文件qm1.mgauss_liezhu1.m （在qm1.m中調(diào)用此程序） qm1.m gauss_liezhu1.m1.3 運(yùn)行結(jié)果N不同取值時(shí)的誤差截圖N=2N=1N =12N=30N=14N =81.4 結(jié)果分析按照N的遞增順序取了9個(gè)誤差數(shù)據(jù)，制成散點(diǎn)折線圖如上所示。由此可以看出，此矩陣求解方程組時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)的小擾動(dòng)很敏感 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證Hilbert矩陣的病態(tài)性成

4、立。1.5設(shè)計(jì)總結(jié) （1）認(rèn)識(shí)什么事矩陣的病態(tài)性 （2）令x0=（1,1.1），計(jì)算出b=Hx0，求出b，然后再用高斯消去法球解Hx=b，得到近似解x，然后利用標(biāo)準(zhǔn)差公式 比較x與x0之間的誤差。 （3）取幾個(gè)點(diǎn)進(jìn)行誤差記錄（4）繪制誤差的散點(diǎn)圖，形象分析 設(shè)計(jì)題二 1225年，達(dá)芬奇研究了方程并得到它的一個(gè)近似根。沒有人知道他用什么方法得到它。設(shè)計(jì)兩種方法去計(jì)算，并比較這兩種方法。2.1問(wèn)題分析與設(shè)計(jì)思路 f(x)=0的根(或f(x)的零點(diǎn))，當(dāng)f(x)復(fù)雜時(shí)，很難求，需要找到有效簡(jiǎn)單的近似方法去求：（1）二分法理論: f(x)Ca,b,單調(diào),f(a)f(b)<0，f(x)=0在(a,

5、b)中有惟一根。（2）迭代法（3）牛頓（Newton）法針對(duì)本題，采用了兩種方法。第一種方法是二分法，得到的近似根與精確解的誤差小于。第二種方法是用牛頓迭代法。二分法優(yōu)點(diǎn)：條件和方法簡(jiǎn)單(只要求f(x)連續(xù)即可)，方法收斂；缺點(diǎn)：收斂速度慢，不易求偶數(shù)重根（如圖）. Newton 迭代法迭代公式2.2程序清單 二分法程序：erfen.m Newton迭代法程序： qm2_2.m nanewtom.m(在qm2_2.m中調(diào)用)二分法Newton迭代法2.3 運(yùn)行結(jié)果 二分法：Newton迭代法2.4結(jié)果分析與設(shè)計(jì)總結(jié) 通過(guò)二分法與Newton迭代法得出的答案相同。（1） 確定求方程近似根的三種方

6、法（2） 翻書了解編程步驟（3） 總結(jié)本章重點(diǎn)知識(shí)： 1.熟悉區(qū)間二分法； 2.熟悉迭代法的建立，會(huì)使用收斂定理； 3.熟悉Newton迭代法及其幾何意義; 4.熟悉收斂階的定義； 5.熟悉Newton迭代法的收斂階; 設(shè)計(jì)題三 某飛機(jī)頭部的光滑外形曲線的型值點(diǎn)坐標(biāo)由下表給出:012345678910070130210337578776101211421462184105778103135182214244256272275試建立其合適的模擬曲線（未必是用擬合方法），并求在點(diǎn)x100，250，400，500，800處的函數(shù)值y及一階、二階導(dǎo)數(shù)值y，y”。繪出模擬曲線的圖形。3.1問(wèn)題分析與設(shè)計(jì)

7、思路曲線擬合的一般步驟（一）繪制散點(diǎn)圖，選擇合適的曲線類型一般根據(jù)資料性質(zhì)結(jié)合專業(yè)知識(shí)便可確定資料的曲線類型，不能確定時(shí)，可在方格坐標(biāo)紙上繪制散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)的分布，選擇接近的、合適的曲線類型。（二）進(jìn)行變量變換，使變換后的兩個(gè)變量呈直線關(guān)系。（三）按最小二乘法原理求線性方程和方差分析（四）將直線化方程轉(zhuǎn)換為關(guān)于原變量X、Y的函數(shù)表達(dá)式 此題用三次樣條插值三次樣條函數(shù)定義:函數(shù)S(x)C2a,b ，且在每個(gè)小區(qū)間 xj,xj+1 上是三次多項(xiàng)式，其中a =x0 <x1<.< xn= b 是給定節(jié)點(diǎn)，則稱S(x)是節(jié)點(diǎn)x0,x1,.xn上的三次樣條函數(shù)。若在節(jié)點(diǎn)x j 上給定函

8、數(shù)值Yj= f (Xj).( j =0, 1, , n) ，并成立S(xj ) =yj .( j= 0, 1, , n) ，則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù)。3.2程序清單text5.mcsfitf.m (function文件)daos1.m(function文件)daos2.m(function文件)daos2.m文件daos1.m文件Csfitf.m文件text5.m文件3.3 運(yùn)行結(jié)果3.4結(jié)果分析與設(shè)計(jì)總結(jié)用三次樣條插值擬合出的曲線 及 計(jì)算結(jié)果 如上圖所示。實(shí)際計(jì)算是還需要引入邊界條件才能完成計(jì)算。邊界通常有自然邊界（邊界點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0），夾持邊界（邊界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)給定），非扭結(jié)邊界（使兩端點(diǎn)

9、的三階導(dǎo)與這兩端點(diǎn)的鄰近點(diǎn)的三階導(dǎo)相等）。Matlab把非扭結(jié)邊界條件作為默認(rèn)的邊界條件。 設(shè)計(jì)題五給定單擺方程初值問(wèn)題                                        

10、         其中g(shù)=9.8,l=25.(1) 取初始偏離角度(2) 取初始偏離角度其精確解為。分別對(duì)上述兩種情況按照下列方法求出其數(shù)值解，比較各方法的優(yōu)缺點(diǎn)，并將計(jì)算結(jié)果與精確解做比較（列表、畫圖）。（方案I）歐拉法，步長(zhǎng)h = 0.025, h = 0.1；（方案II）改進(jìn)的歐拉法，步長(zhǎng)h = 0.05, h = 0.1；（方案III）四階經(jīng)典龍格庫(kù)塔法，步長(zhǎng)h = 0.1。4.1問(wèn)題分析與設(shè)計(jì)思路令，則可以將 改寫為：然后改寫歐拉法、改進(jìn)的歐拉法即龍格庫(kù)塔公式。 歐拉法：改進(jìn)的歐拉法：龍格庫(kù)塔法：4.2程

11、序清單euler.meuler_gai.mf5_2.morig6.mR-K.mtext_1.m text_1_2.mtext_2.m text_2_2.mtext_3.m text_3_2.m4.3 運(yùn)行結(jié)果歐 拉改 進(jìn) 歐 拉R|K4.4結(jié)果分析歐拉公式y(tǒng)(xi+1)=yi+h*f(xi,yi)且xi=x0+i*h (i=0,1,2,n-1)，局部截?cái)嗾`差為O(h2)，歐拉格式僅為一階方法。改進(jìn)歐拉它的局部截?cái)嗾`差為O(h3)，可見，改進(jìn)歐拉格式較歐拉格式提高了精度，其截?cái)嗾`差比歐拉格式提高了一階。歐拉法用差商 y(xi+1)-y(xi)/h 近似代替y(xi)的導(dǎo)數(shù)，局部截?cái)嗾`差較大；改進(jìn)

12、歐拉法先用歐拉法求出預(yù)報(bào)值，再利用梯形公式求出校正值，局部截?cái)嗾`差比歐拉法低了一階，較大程度地提高了計(jì)算精度。龍格-庫(kù)塔法具有精度高，收斂，穩(wěn)定（在一定條件下），計(jì)算過(guò)程中可以改變步長(zhǎng)，不需要計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)等優(yōu)點(diǎn)，但仍需計(jì)算 在一些點(diǎn)上的值，如四階龍格-庫(kù)塔法每計(jì)算一步需要計(jì)算四次 的值，這給實(shí)際計(jì)算帶來(lái)一定的復(fù)雜性?！緮?shù)值分析課程設(shè)計(jì)總結(jié)】假期在家整整做了一個(gè)星期，終于完成了以上四道題的所有內(nèi)容。這次MATLAB課程設(shè)計(jì)為我們提供了與眾不同的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，讓我們從傳統(tǒng)的被動(dòng)授學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)求學(xué)；從死記硬背的模式中脫離出來(lái)，轉(zhuǎn)變?yōu)樵趯?shí)踐中學(xué)習(xí)，增強(qiáng)了領(lǐng)悟、創(chuàng)新和推斷的能力。掌握自學(xué)的方法，形成工程理論整體模式，使工作、學(xué)習(xí)、生活都步入系統(tǒng)化流程；思考方式成熟，邏輯性規(guī)范、明確。這些方法的提高是終身受益的，我認(rèn)為這難得的一周，讓我真正懂得了生活和學(xué)習(xí)的基本規(guī)律。在對(duì)插值多項(xiàng)式的程序進(jìn)行編輯過(guò)程中，遇到了很多方法不知道用什么函數(shù)表達(dá)的問(wèn)題，通過(guò)查找有關(guān)Matab軟件和現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算的書籍得出本程序，在對(duì)程序調(diào)用時(shí)，不知道如何調(diào)用，通過(guò)上網(wǎng)查找方法知道了需要在Matlab中的文件中新建一個(gè)M文件，然后保存，然后到命令區(qū)直接調(diào)用就可以了