二次函數(shù)動點問題拔高題教師版學生版(含答案)

1、學習必備歡迎下載二次函數(shù)專題動點問題一、因動點而產(chǎn)生的面積問題例 1：如圖 10，已知拋物線P：y=ax2+bx+c(a 0)與 x 軸交于 A、B 兩點 (點 A 在 x 軸的正半軸上 )，與 y 軸交于點 C，矩形 DEFG 的一條邊 DE 在線段 AB 上，頂點 F 、 G 分別在線段 BC、 AC 上，拋物線 P 上部分點的橫坐標對應的縱坐標如下：x- 3- 212y- 5- 4- 5022(1) 求 A、B、 C 三點的坐標；(2)若點 D 的坐標為 (m，0)，矩形 DEFG 的面積為 S，求 S 與 m 的函數(shù)關系，并指出 m 的取值范圍；(3)當矩形 DEFG 的面積 S 取最

2、大值時，連接 DF 并延長至點 M，使 FM =k·DF ，若點 M 不在拋物線P 上，求 k 的取值范圍 .若因為時間不夠等方面的原因，經(jīng)過探索、思考仍 無法圓滿解答本題，請不要輕易放棄，試試將上述(2) 、 (3) 小題換為下列問題解答(已知條件及第 (1) 小題與上相同，完全正確解答只能得到5 分 )：(2) 若點 D 的坐標為 (1， 0)，求矩形 DEFG 的面積 .解析考點： 二次函數(shù)綜合題專題：壓軸題；探究型分析：（ 1）可任選三組坐標，用待定系數(shù)法即可求出拋物線P 的解析式 然后根據(jù)拋物線P 的解析式即可得出 A 、B、 C 三點的坐標；（ 2）求矩形的面積需知道矩形

3、的長和寬，可先在直角三角形AOC中，根據(jù)AD ，OA ， DG ， CD 的比例關系式，用 m 表示出 DG 的長，同理可在直角三角形BCO 中表示出 OE 的長，進而可根據(jù)ED=EO+OD 得出 ED 的長，然后由矩形的面積公式即可得出 S 與 m 的函數(shù)關系式；（ 3）根據(jù)（ 2）的函數(shù)關系式即可得出S 的最大值及對應的m 的值進而可得出 D ，圖 10E，F(xiàn)，G 的坐標如果設DF 的延長線交拋物線于 N 點，那么可先求出 FN 與 DF 的比例關系如果過 N 作 x 軸的垂線設垂足為 H ，那么我們可得出EF： DF=DF ： DN，而 EF， DF 均為 F，N 點的縱坐標的絕對值，因

4、此要先求出N 點的縱坐標，可先根據(jù)D、 F 的坐標求出直線DF 的解析式，然后聯(lián)立直線 DF 的解析式與拋物線 P 的解析式求出 N 點的坐標，然后根據(jù)上述比例關系求出FN、DF 的比例關系，如果求出此時FN=k1DF ，那么由于 M 不在拋物線上，因此k 的取值范圍就是k 0，且 k k1若選（ 2）可參照上面（2）的求解過程進行計算解答： 解：（ 1）解法一：設y=ax2+bx+c （a 0），任取 x， y 的三組值代入，4a- 2b+c - 4 a+b+c - 5 2 4a+2b+c 0，解得 a 1 2 b 1 c- 4，解析式為y 1 2 x2+x - 4，令 y=0 ，求出 x1

5、=-4 ， x2=2；令 x=0 ，得 y=-4 ， A 、 B、 C 三點的坐標分別是A （2， 0）， B （-4， 0）， C（ 0， -4）（ 2）由題意， AD AO DG OC ，而 AO=2 ， OC=4， AD=2-m ，故 DG=4-2m ，又 BE BO EF OC ， EF=DG ，得 BE=4-2m ， DE=3m ， SDEFG=DG ?DE= （4-2m） 3m=12m-6m2 （ 0 m 2）注：也可通過解RtBOC 及 Rt AOC ，或依據(jù) BOC 是等腰直角三角形建立關系求解學習必備歡迎下載（ 3） SDEFG=-6m2+12m=-6 （ m-1） 2+6

6、，（ 0 m 2）， m=1 時，矩形的面積最大，且最大面積是6當矩形面積最大時，其頂點為D （ 1， 0）， G（ 1，-2）， F（-2， -2）， E（-2， 0），設直線 DF 的解析式為y=kx+b ，易知， k=2 3 ， b=-2 3 ， y 2 3 x- 2 3 ，又可求得拋物線P 的解析式為：y 1 2 x2+x - 4，令 2 3 x- 2 3 =1 2 x2+x - 4，可求出x= - 1± 613 設射線 DF 與拋物線P 相交于點N ，則 N 的橫坐標為 - 1- 613 ，過 N 作 x 軸的垂線交HEDE=-2-1-6133=-5+619 ，點 M 不在

7、拋物線P 上，即點M 不與 N 重合時，此時k 的取值范圍是x 軸于H ，有FN DFk - 5+ 619 且k 0若選擇另一問題：（ 2） AD AO DG OC ，而 AD=1 ， AO=2 ，OC=4 ，則 DG=2 ，又 FG AB CP OC ，而 AB=6 ，CP=2， OC=4 ，則 FG=3， SDEFG=DG ?FG=6 二、 因動點而產(chǎn)生的等腰三角形問題例 2：如圖，拋物線yax25ax4 經(jīng)過 ABC 的三個頂點， 已知BC x 軸，點A 在x軸上， 點 C 在y 軸上，且ACBC （ 1）求拋物線的對稱軸；（ 2）寫出 A，B，C 三點的坐標并求拋物線的解析式；（ 3）

8、探究：若點 P 是拋物線對稱軸上且在 x 軸下方的動點，是否存在PAB 是等腰三角形若存在，求出所有符合條件的點 P 坐標；不存在，請說明理由y分 析：（ 1）根據(jù)拋物線的解析式，利用對稱軸公式，可直接求出其對稱軸BC（2）令 x=0，可求出 C 點坐標，由 BCx軸可知 B，C 關于拋物線的對稱軸對稱，可求出B點坐標，根據(jù) AC=BC可求出 A 點坐標1A（3）分三種情況討論：01xN以 AB為腰且頂角為 A，先求出 AB的值，再利用等腰三角形的性質(zhì)結合勾股定理求出P1的長，即可求出 P1 的坐標；的縱坐標，已知其橫坐標，可得以 AB為腰且頂角為角 B，根據(jù) MN的長和 MP2的長，求出 2

9、P其坐標；即可求出和的長，可得坐以 AB為底，頂角為角 P 時，依據(jù) RtP RtP KP3CKBAQOK33學習必備歡迎下載標解答： 解：（ 1）拋物線的對稱軸x=- 5a 2a =5 2 ；（ 2 分）（ 2）由拋物線 y=ax2-5ax+4 可知 C（ 0，4），對稱軸 x=- 5a 2a =5 2 ， BC=5 ， B（ 5， 4），又 AC=BC=5 ， OC=4 ，在 Rt AOC 中，由勾股定理，得 AO=3 ， A （ -3， 0） B（5， 4） C（ 0， 4）（ 5 分）把點 A 坐標代入 y=ax2-5ax+4 中，解得 a=-1 6 ，（ 6） y= - 1 6 x2

10、+5 6 x+4 （ 7 分）（ 3）存在符合條件的點 P 共有 3 個以下分三類情形探索設拋物線對稱軸與 x 軸交于 N，與 CB 交于 M 過點 B 作 BQ x 軸于 Q，易得 BQ=4 ，AQ=8 ， AN=5.5 ， BM=5 2以 AB 為腰且頂角為角A 的 PAB 有 1 個： P1AB AB2=AQ2+BQ2=82+42=80 （ 8 分）在 Rt ANP1 中， P1N= AP12 - AN2 = AB2 - AN2 = 80 - (5.5)2 = 1992 ，P1（5 2 ，- 1992 ）（ 9 分）以 AB 為腰且頂角為角B 的 PAB 有 1 個： P2AB 在 Rt

11、 BMP2 中 MP2= BP 22 - BM2 = AB2 - BM2= 80- 25 4= 295 2 ，（ 10 分） P2=（ 5 2 ， 8- 295 2 ）（ 11 分）以 AB 為底，頂角為角P 的 PAB 有 1 個，即 P3AB 畫 AB 的垂直平分線交拋物線對稱軸于 P3，此時平分線必過等腰 ABC 的頂點 C過點 P3 作 P3K 垂直 y 軸，垂足為 K ， CP3K= ABQ ， CKP3= AQB ， Rt P3CK Rt BAQ P3K CK =BQ AQ =1 2 P3K=2.5 CK=5 于是 OK=1 ，（ 13 分） P3（ 2.5， -1）（ 14 分點

12、 評：此題考查了用對稱軸公式求函數(shù)對稱軸方程，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等基礎知識，還結合等腰三角形的性質(zhì)考查了點的存在性問題，有一定的開放性三、因動點而產(chǎn)生的直角三角形問題例 3：如圖 12， 四邊形 OABC 為直角梯形， A（ 4，0）， B（3，4）， C（0， 4）點 M 從 O出發(fā)以每秒 2 個單位長度的速度向 A 運動；點 N 從 B 同時出發(fā)，以每秒 1個單位長度的速度向C 運動其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動過點N 作 NP垂直x軸于點 P ，連結 yAC 交 NP 于 Q，連CN B結 MQQ學習必備歡迎下載（ 1）點（填M 或N）能到達終點；（ 2）求 AQ

13、M的面積S 與運動時間t 的函數(shù)關系式，并寫出自變量t 的取值范圍，當t 為何值時，S 的值最大；（ 3）是否存在點M，使得AQM為直角三角形？若存在，求出點M 的坐標，若不存在，說明理由分析：（1）（ BC÷點 N 的運動速度）與（ OA÷點 M的運動速度）可知點M能到達終點（2）經(jīng)過 t 秒時可得 NB=y，OM-2t根據(jù) BCA=MAQ=45°推出 QN=CN，PQ的值求出 S 與 t 的函數(shù)關系式后根據(jù) t 的值求出 S 的最大值（3）本題分兩種情況討論（若 AQM=90°， PQ 是等腰 RtMQA底邊 MA 上的高；若QMA=90°

14、， QM與 QP重合）求出 t 值解答：解： （ 1）點 M （ 1 分）（ 2）經(jīng)過 t 秒時， NB=t ， OM=2t ，則 CN=3-t ， AM=4-2t ，A（4，0）， C（ 0，4）， AO=CO=4 ， AOC=90 °， BCA= MAQ=45 °， QN=CN=3-t PQ=1+t ，（ 2 分） S AMQ=1 2 AM ?PQ=1 2 （ 4-2t）（ 1+t）=-t2+t+2 （ 3 分） S=-t2+t+2=-t2+t-1 4 +1 4 +2=- （ t-1 2 ） 2+9 4 ，（ 5 分） 0 t 2當 t 1 2 時， S 的值最大（ 6

15、 分）（ 3）存在（ 7 分）設經(jīng)過 t 秒時， NB=t ， OM=2t則 CN=3-t ， AM=4-2t BCA= MAQ=45 °（ 8 分）若 AQM=90 °，則 PQ 是等腰 RtMQA 底邊 MA 上的高學習必備歡迎下載 PQ 是底邊 MA 的中線 PQ=AP=1 2 MA 1+t=1 2 （ 4-2t） t=1 2點 M 的坐標為（ 1， 0）（ 10 分）若 QMA=90 °，此時QM 與 QP 重合 QM=QP=MA 1+t=4-2t t=1點 M 的坐標為（ 2， 0）（ 12 分）點評：本題考查的是二次函數(shù)的有關知識，考生還需注意的是要學

16、會全面分析問題的可行性繼而解答四、 因動點而產(chǎn)生的相似形問題例 4：設拋物線yax2bx2 與 x 軸交于兩個不同的點A( 一 1， 0)、 B(m ， 0)，與 y 軸交于點C. 且 ACB=90° (1)求 m 的值和拋物線的解析式；(2)已知點 D(1 ，n )在拋物線上，過點A 的直線 yx1交拋物線于另一點E若點 P 在 x 軸上，以點 P、 B、 D 為頂點的三角形與AEB 相似，求點P 的坐標分析 ： （1）根據(jù)拋物線的解析式可知 C 點坐標為（ 0， -2 ），即 OC=2，由于 ACB=90 度，根據(jù)射影定理 OC2=OA?OB，可求出 OB的長，進而可求出 B 點

17、的坐標，也就求出了 m的值，然后將 A、B 的坐標代入拋物線中即可求出其解析式（2）可先根據(jù)拋物線的解析式和直線AE的解析式求出E 點和 D 點的坐標，經(jīng)過求解不難得出 FAB=DBO=45°，因此本題要分兩種情況進行討論： DPB=ABE； PDB=ABE可根據(jù)對應的相似三角形得出的成比例線段求出OP的長，進而可求出P 點的坐標解答：解： （ 1）令 x=0，得 y=-2 ，學習必備歡迎下載 C（ 0，-2）， ACB=90 °， COAB ， AOC COB， OA ?OB=OC2 ， OB=OC2 OA 22 1 4， m=4，將 A （-1， 0）， B（ 4， 0

18、）代入 y=ax2+bx-2 ，得a 1 2b - 3 2，拋物線的解析式為y=1 2 x2-3 2 x-2 （ 2） D（ 1， n）代入 y=1 2 x2-3 2 x-2 ，得 n=-3 ， D（ 1， -3）解方程組y 1 2 x2- 3 2 x- 2 y x+1，得x1 - 1 y1 0x2 6 y2 7 E（ 6，7）過 E 作 EH x 軸于 H，則 H （6， 0） AH=EH=7 ， EAH=45 °過 D 作 DF x 軸于 F，則 F（ 1， 0） BF=DF=3 ， DBF=45 °， EAH= DBF=45 °， DBH=135 °

19、;， 90° EBA 135°，則點 P 只能在點B 的左側，有以下兩種情況：若 DBP1 EAB ，則BP1 ABBD AE， BP1=AB ?BD AE =5 ×3 27 2=15 7 ， OP1=4-15 7 =13 7，P1（ 13 7 ，0）若 DBP2 BAE ，則BP2 AE BD AB，BP2=AE ?BD AB =7 2×3 25 =42 5 ， OP2=42 5 -4=22 5， P2（ -22 5 ， 0）綜合、，得點P 的坐標為： P1（ 13 7 ，0）或 P2（ -22 5 ， 0）點 評 ：本題考查二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)

20、圖象交點、三角形相似以及綜合應用知識、解決問題的能力本題是一道應用能力較強的題，比較好五、 因動點而產(chǎn)生的平行四邊問題例 5：如圖，已知拋物線 C1 與坐標軸的交點依次是 A(4，0) ， B(2，0) ， E(0，8) （ 1）求拋物線 C1 關于原點對稱的拋物線C2 的解析式；學習必備歡迎下載（ 2）設拋物線 C1 的頂點為 M ，拋物線 C2 與 x 軸分別交于 C， D 兩點（點 C 在點 D 的左側） ，頂點為 N ，四邊形 MDNA 的面積為 S 若點 A ，點 D 同時以每秒 1 個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動；與此同時，點M ，點合為止求出四邊形N 同時以每秒MDNA

21、 的面積2 個單位的速度沿堅直方向分別向下、向上運動，直到點S 與運動時間t 之間的關系式，并寫出自變A 與點D 重量 t 的取值范圍；（ 3）當 t 為何值時，四邊形 MDNA 的面積 S 有最大值，并求出此最大值；（ 4）在運動過程中，四邊形 MDNA 能否形成矩形？若能，求出此時 t 的值；若不能，請說明理由分 析： （ 1）可先求出 A、B、E 關于原點對稱的對稱點的坐標，然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式（ 2）根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)不難得出OA=OD，OM=ON，因此四邊形AMDN是平行四邊形，那么其面積就是三角形ADN面積的 2 倍，可據(jù)此來求 S， t 的函數(shù)關系式（3）根據(jù)（

22、 2）得出的函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍即可得出S 的最大值及對應的 t 的值（4）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：當 AD=MN時，平行四邊形 AMDN是矩形，那么 OD=ON，據(jù)此可求出 t 的值解答：解：（ 1）點 A（ -4， 0），點 B（ -2， 0），點 E（ 0， 8）關于原點的對稱點分別為 D （ 4，0）， C（ 2， 0）， F（0， -8）設拋物線 C2 的解析式是 y=ax2+bx+c （a 0），則 16a+4b+c 0 4a+2b+c 0 c - 8 ，解得 a - 1 b6 c - 8，所以所求拋物線的解析式是y=-x2+6x-8 （ 2）由（ 1）可計算得點 M （ -3

23、， -1）， N（ 3， 1）過點 N 作 NHAD ，垂足為 H當運動到時刻 t 時， AD=2OD=8-2t ， NH=1+2t 根據(jù)中心對稱的性質(zhì) OA=OD ，OM=ON ，所以四邊形 MDNA 是平行四邊形所以 S=2S ADN 所以，四邊形MDNA的面積 S=（ 8-2t）（ 1+2t）=-4t2+14t+8 因為運動至點A 與點 D 重合為止，據(jù)題意可知0 t 4所以所求關系式是S=-4t2+14t+8 ， t 的取值范圍是0t 4（ 3） S=-4（ t-7 4 ）2+81 4 ，（ 0 t 4）所以 t 7 4 時， S 有最大值 81 4 提示：也可用頂點坐標公式來求（ 4

24、）在運動過程中四邊形 MDNA 能形成矩形由（ 2）知四邊形MDNA 是平行四邊形，對角線是所以當 AD=MN時四邊形MDNA是矩形，所以 OD=ON 所以 OD2=ON2=OH2+NH2 ，所以 t2+4t-2=0 解之得 t1= 6 -2 ，t2=- 6 -2 （舍）AD ，MN ，28題圖學習必備歡迎下載所以在運動過程中四邊形MDNA可以形成矩形，此時t= 6 -2 點 評 ：本題以二次函數(shù)為背景，結合動態(tài)問題、存在性問題、最值問題，是一道較傳統(tǒng)的壓軸題，能力要求較高六、 因動點而產(chǎn)生的梯形問題例 6：已知，在 Rt OAB 中， OAB 900， BOA 300，AB 2。若以 O 為

25、坐標原點， OA 所在直線為x 軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B 在第一象限內(nèi)。將 Rt OAB 沿 OB 折疊后，點 A 落在第一象限內(nèi)的點 C 處。（ 1）求點 C 的坐標；（ 2）若拋物線 y ax2bx （ a 0）經(jīng)過 C、 A 兩點，求此拋物線的解析式；（ 3）若拋物線的對稱軸與OB 交于點 D，點 P 為線段 DB 上一點，過 P 作 y 軸的平行線，交拋物線于點 M 。問：是否存在這樣的點P，使得四邊形 CDPM 為等腰梯形？若存在，請求出此時點P 的坐標；若不存在，請說明理由。y分 析： （ 1）在 RtAOB中，根據(jù) AB 的長和 BOA的度數(shù)，可求C得 OA的長，根

26、據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到 OA=OC，且BOC=BOA=30°，過 C 作 CDx軸于 D，即可根據(jù) COD的度B數(shù)和 OC的長求得 CD、OD的值，從而求出點 C 的坐標（2）將 A、C的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求出待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式（3）根據(jù)（ 2）所得拋物線的解析式可得到其頂點的坐標（即COAx點），設直線 MP與 x 軸的交點為N，且 PN=t，在 RtOPN中，根據(jù) PON的度數(shù)，易得 PN、ON的長，即可得到點P 的坐標，然后根據(jù)點 P 的橫坐標和拋物線的解析式可求得M點的縱坐標，過M作 MECD（即拋物線對稱軸）于 E，過 P 作 P

27、QCD于 Q，若四邊形 CDPM是等腰梯形，那么CE=QD，根據(jù) C、M、P、D四點縱坐標，易求得 CE、 QD的長，聯(lián)立兩式即可求出此時 t 的值，從而求得點 P的坐標解答：解：（1）過點 C 作 CH x 軸，垂足為H ；在 Rt OAB 中， OAB=90 °， BOA=30 °， AB=2 ， OB=4 ， OA=2 3 ；由折疊的性質(zhì)知： COB=30 °， OC=AO=2 3 COH=60 °， OH= 3 ， CH=3 ； C 點坐標為（ 3 ， 3），（ 2）拋物線y=ax2+bx （ a 0）經(jīng)過 C（ 3 3a+ 3 b 0 12a+

28、2 3 b，解得：a - 1 b 2 3；此拋物線的函數(shù)關系式為：y=-x2+2 3 x 3 ，3）、A（23， 0）兩點，（ 3）存在 y=-x2+2 3 x 的頂點坐標為（即為點 C， MP x 軸，垂足為3 ，3），N，設 PN=t ；學習必備歡迎下載 BOA=30 °， ON= 3 t ， P（ 3 t， t）；作 PQ CD，垂足為 Q， ME CD ，垂足為 E；把 x= 3 t 代入 y=-x2+2 3 x ，得 y=-3t2+6t ， M （ 3 t， -3t2+6t ）， E（ 3 ， -3t2+6t ），同理： Q（ 3 ，t）， D（ 3 ， 1）；要使四邊形

29、CDPM 為等腰梯形，只需 CE=QD ，即 3-（ -3t2+6t ）=t-1 ，解得 t=4 3 ， t=1 （舍），P 點坐標為（ 4 33 ，43 ），存在滿足條件的P 點，使得四邊形CDPM 為等腰梯形，此時P 點坐標為（ 4 33 ，43）點 評 ：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、解直角三角形、二次函數(shù)解析式的確定、等腰梯形的判定和性質(zhì)等重要知識點，難度較大，注意各知識點的融會貫通七、因動點而產(chǎn)生的線段和（差）問題例 7、已知拋物線y=ax2+bx+c 與 y 軸交于點A(0 ， 3)，與 x 軸分別交于B(1， 0)、 C(5， 0) 兩點。（ 1）求此拋物線的解析式；（ 2）若點 D 為線段 OA 的一個三等分點，求直線DC 的解析式；（ 3）若一個動點P 自 OA 的中點 M 出發(fā)，先到達 x 軸上的某點 (設為點 E) ，再到達拋物線的對稱軸上某點 ( 設為點 F)，最后運動到點A。求使點 P 運動的總路徑最短的點E、點 F 的坐標，并求出這個最短總路徑的長。分析：（ 1）由于 A 、B、C 三點的坐標已知，代入函數(shù)解析式中利用待定系數(shù)法就可以確定函數(shù)的解析式；（ 2