離散數學課后習題答案左孝凌版

1、1-1，1-2（1） 解：a) 是命題，真值為t。b) 不是命題。c) 是命題，真值要根據具體情況確定。d) 不是命題。e) 是命題，真值為t。f) 是命題，真值為t。g) 是命題，真值為f。h) 不是命題。i) 不是命題。（2） 解：原子命題：我愛北京天安門。復合命題：如果不是練健美操，我就出外旅游拉。（3） 解：a) (p r)qb) qrc) p d) pq（4） 解：a)設q:我將去參加舞會。r:我有時間。p:天下雨。q« (rp):我將去參加舞會當且僅當我有時間和天不下雨。b)設r:我在看電視。q:我在吃蘋果。rq:我在看電視邊吃蘋果。c) 設q:一個數是奇數。r:一個數不

2、能被2除。（qr）(rq):一個數是奇數，則它不能被2整除并且一個數不能被2整除，則它是奇數。(5) 解：a) 設p：王強身體很好。q：王強成績很好。pq b) 設p：小李看書。q：小李聽音樂。pqc) 設p：氣候很好。q：氣候很熱。pqd) 設p： a和b是偶數。q：a+b是偶數。pqe) 設p：四邊形abcd是平行四邊形。q ：四邊形abcd的對邊平行。p«qf) 設p：語法錯誤。q：程序錯誤。r：停機。（p q） r(6) 解：a) p:天氣炎熱。q:正在下雨。 pqb) p:天氣炎熱。r:濕度較低。 prc) r:天正在下雨。s:濕度很高。 rsd) a:劉英上山。b:李進上

3、山。 abe) m:老王是革新者。n:小李是革新者。 mnf) l:你看電影。m:我看電影。 lmg) p:我不看電視。q:我不外出。 r:我在睡覺。 pqrh) p:控制臺打字機作輸入設備。q:控制臺打字機作輸出設備。pq1-3（1）解：a) 不是合式公式，沒有規(guī)定運算符次序（若規(guī)定運算符次序后亦可作為合式公式）b) 是合式公式c) 不是合式公式（括弧不配對）d) 不是合式公式（r和s之間缺少聯結詞）e) 是合式公式。 （2）解： a） a是合式公式，(ab)是合式公式，(a(ab) 是合式公式。這個過程可以簡記為：a；(ab)；(a(ab) 同理可記b） a；a ；(ab) ；(ab)a)

4、c） a；a ；b；(ab) ；(ba) ；(ab)(ba)d） a；b；(ab) ；(ba) ；(ab)(ba)（3）解：a） (ac)(bc)a)(bc)a)(ac)b） (ba)(ab)。（4）解： a) 是由c) 式進行代換得到，在c) 中用q代換p, (pp)代換q. d) 是由a) 式進行代換得到，在a) 中用 p(qp)代換q. e) 是由b) 式進行代換得到，用r代換p, s代換q, q代換r, p代換s.（5）解：a) p: 你沒有給我寫信。 r: 信在途中丟失了。 p qb) p: 張三不去。q: 李四不去。r: 他就去。 (pq)rc) p: 我們能劃船。 q: 我們能跑

5、步。 (pq)d) p: 你來了。q: 他唱歌。r: 你伴奏。 p(q«r)（6）解：p:它占據空間。 q:它有質量。 r:它不斷變化。 s:它是物質。這個人起初主張：(pqr) « s后來主張：(pq«s)(sr)這個人開頭主張與后來主張的不同點在于：后來認為有pq必同時有r，開頭時沒有這樣的主張。（7）解：a) p: 上午下雨。 q:我去看電影。 r:我在家里讀書。 s:我在家里看報。(pq)(p(rs)b) p: 我今天進城。q:天下雨。qpc) p: 你走了。 q:我留下。qp1-4  （4）解：a) p   q &

6、#160; rqrp(qr)pq(pq)rt   t   tt   t   ft   f   tt   f   ff   t   tf   t   ff   f   tf   f   ftffftffftfffffffttfffffftfffffff所以，p(qr) Û

7、 (pq)rb)  p   q   r     qr   p(qr)     pq  (pq)r  t   t   t  t   t   f  t   f   t  t   f   f  f   t 

8、  t  f   t   f  f   f   t  f   f f所以，p(qr) Û (pq)r）（）（）（）所以，p(qr) Û (pq)(pr)）p     qpqpq(pq)pq(pq)t     tt     ff     tf   &#

9、160; fffttftftftttftttffftffft所以，(pq) Ûpq,  (pq) Ûpq（5）解：如表，對問好所填的地方，可得公式f1f6，可表達為   p   q   r   f1   f2   f3   f4   f5   f6   t   t   t   t   f&

10、#160;  t   t   f   f   t   t   f   f   f   t   f   f   f   t   f   t   t   f   f   t   t &

11、#160; f   t   f   f   f   t   f   t   t   f   f   t   t   t   f   f   t   t   f   f   t  

12、f   t   f   f   f   t   f   f   f   t   t   f   t   t   t   f   f   f   f   f   t   f 

13、;  t   t   tf1:(qp)r f2:(pqr)(pqr)f3:(pq)(qr)f4:(pqr)(pqr)f5:(pqr)(pqr)f6:(pqr)(6) p q 1    2 3 4  5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f f  f t f 

14、0;t f t f t f t f t f t f t f t f f t t f f t t f f t t  f f t t t f f f f f t t t t f f&#

15、160;f f t t t t t t f f f f f f f f t t t t t t t t解：由上表可得有關公式為1.f     2.(pq)      3.(qp)       4.p  

16、;        5.(pq)   6.q    7.(p«q)     8.(pq)          9.pq     10.p«q     11.q       12.pq 

17、         13.p       14.qp      15.pq        16.t(7) 證明：a) a(ba)Û a(ba) Û a(ab)Û a(ab) Ûa(ab)b) (a«b) Û(ab)(ab) Û(ab)(ab)Û(ab)(ab)

18、或 (a«b) Û(ab)(ba)Û(ab)(ba)Û(ab)(aa)(bb)(ba)Û(ab)(ba)Û(ab)(ab) Û(ab)(ab)c) (ab) Û (ab)  Ûab d) (a«b)Û(ab)(ba)Û(ab)(ba)Û(ab)(ab)e) (abc)d)(c(abd) Û(abc)d)(c(abd) Û(abc)d)(abc)d)Û (abc)(abc)d Û(abc)(abc)d 

19、19; (ab)(ab)c)d Û (c(a«b)d)f) a(bc) Û a(bc)  Û (ab)c   Û(ab)c  Û (ab)c g) (ad)(bd)Û(ad)(bd) Û(ab)d Û (ab)dÛ (ab)dh) (ab)c)(b(dc) Û(ab)c)(b(dc)Û (ab)(bd)cÛ(ab) (db)cÛ(ab)(db)cÛ (ad)b)cÛ

20、(b(da)c（8）解：a) (ab) « (ba)cÛ (ab) « (ba)cÛ (ab) « (ab)cÛtc Ûcb) a(a(bb) Û (aa)(bb) Ûtf Ûtc) (abc)(abc) Û (aa) (bc)Ût(bc)Ûbc（9）解：1）設c為t，a為t，b為f，則滿足acÛbc，但aÛb不成立。       2）設c為f，a為t，b為f，則滿足acÛbc

21、，但aÛb不成立。       3）由題意知a和b的真值相同，所以a和b的真值也相同。     習題 1-5（1） 證明：a) (p(pq)qÛ (p(pq)q  Û(pp)(pq)q  Û(pq)qÛ(pq)q Ûpqq ÛptÛtb) p(pq) Ûp(pq)Û (pp)q ÛtqÛt

22、c) (pq)(qr)(pr)因為(pq)(qr)Þ(pr)所以 (pq)(qr)為重言式。d) (ab)(bc) (ca)«(ab)(bc)(ca)因為(ab)(bc)(ca)Û(ac)b)(ca)Û(ac)(ca)(b(ca)Û(ac)(bc)(ba)所以(ab)(bc) (ca)«(ab)(bc)(ca) 為重言式。（2） 證明：a)(pq)Þp(pq)  解法1：設pq為t （1）若p為t，則q為t，所以pq為t，故p(pq)為t（2）若p為f，則q為f，所以pq為f，p(pq

23、)為t命題得證解法2：設p(pq)為f ，則p為t，(pq)為f ，故必有p為t，q為f ，所以pq為f。解法3：(pq) (p(pq)Û(pq)(p(pq)Û(pq)(pp)(pq)Ût所以(pq)Þp(pq)b)(pq)qÞpq設pq為f，則p為f，且q為f，故pq為t，(pq)q為f，所以(pq)qÞpq。c)(q(pp)(r(r(pp)Þrq設rq為f，則r為t，且q為f，又pp為f所以q(pp)為t，r(pp)為f所以r(r(pp)為f，所以(q(pp)(r(r(pp)為f即(q(pp

24、)(r(r(pp)Þrq成立。（3） 解：a) pq表示命題“如果8是偶數，那么糖果是甜的”。b) a)的逆換式qp表示命題“如果糖果是甜的，那么8是偶數”。c) a)的反換式pq表示命題“如果8不是偶數，那么糖果不是甜的”。d) a)的逆反式qp表示命題“如果糖果不是甜的，那么8不是偶數”。（4） 解：a) 如果天下雨，我不去。設p：天下雨。q：我不去。pq 逆換式qp表示命題:如果我不去，則天下雨。逆反式qp表示命題:如果我去，則天不下雨b) 僅當你走我將留下。設s：你走了。r：我將留下。rs逆換式sr表示命題：如果你走了則我將留下。逆反式sr表示命題：如果你不走，則我不留下。c

25、) 如果我不能獲得更多幫助，我不能完成個任務。設e：我不能獲得更多幫助。h：我不能完成這個任務。eh逆換式he表示命題：我不能完成這個任務，則我不能獲得更多幫助。逆反式he表示命題：我完成這個任務，則我能獲得更多幫助（5） 試證明p«q，q邏輯蘊含p。證明：解法1：本題要求證明(p«q) qÞp, 設(p«q) q為t，則(p«q)為t，q為t，故由«的定義，必有p為t。所以(p«q) qÞp解法2：由體題可知，即證(p«q)q)p是永真式。  (p«q)q)p Û (pq)

26、 (pq) q)pÛ (pq) (pq) q) p Û (pq) (pq) q) pÛ (qpq) (qpq) p Û (qp) t) pÛqppÛqt Ût（6） 解：p：我學習        q：我數學不及格        r：我熱衷于玩撲克。如果我學習，那么我數學不會不及格：    pq如果我不熱衷于玩撲克，那么我將學習:   rp 但我數學不及格:  

27、;                    q因此我熱衷于玩撲克。                 r即本題符號化為：(pq)(rp)qÞr證：證法1：(pq)(rp)q)r Û (pq)(rp)q) rÛ (pq)(rp)qr &

28、#219; (qp)(qq)(rr)(rp)Û qprpÛ t所以，論證有效。證法2：設(pq)(rp)q為t，則因q為t，(pq) 為t，可得p為f，由(rp)為t，得到r為t。故本題論證有效。（7） 解：p：6是偶數      q：7被2除盡      r：5是素數如果6是偶數，則7被2除不盡        pq或5不是素數，或7被2除盡        

29、  rq5是素數                         r所以6是奇數                     p即本題符號化為：（pq）（rq）r

30、Þp證：證法1：(pq)(rq)r)pÛ (pq) (rq) r) pÛ (pq) (rq) r) p Û (pp) (pq) (rr) (rq)Û (pq) (rq)Ût所以，論證有效，但實際上他不符合實際意義。證法2：(pq)(rq)r為t，則有r為t，且rq 為t，故q為t，再由pq為t，得到p為t。（8） 證明：a) pÞ(pq) 設p為t，則p為f，故pq為tb) abcÞc假定abc為t，則c為t。c) cÞabb因為abb為永真，所以cÞabb成立。d) (ab) 

31、22;ab  設(ab)為t，則ab為f。若a為t，b為f，則a為f，b為t，故ab為t。若a為f，b為t，則a為t，b為f，故ab為t。若a為f，b為f，則a為t，b為t，故ab為t。命題得證。e) a(bc)，de，(de)aÞbc設a(bc)，de，(de)a為t，則de為t，(de)a為t，所以a為t又a(bc)為t，所以bc為t。命題得證。f) (ab)c，d，cdÞab設(ab)c，d，cd為t，則d為t，cd為t，所以c為f又(ab)c為t，所以ab為f，所以ab為t。命題得證。（9）解：a) 如果他有勇氣，他將得勝。p：他有勇氣 

32、0;        q：他將得勝 原命題：pq         逆反式：qp 表示：如果他失敗了，說明他沒勇氣。b) 僅當他不累他將得勝。p：他不累           q：他得勝 原命題：qp         逆反式：pq 表示：如果他累，他將失敗。習題 

33、1-6(1)解：a) (pq)pÛ(pp)qÛ(tq)b) (p(qr) pqÛ (p(qr)pqÛ(ppq)(qpq)(rpq) Û(pq)(pq)(prq)ÛpqÛ(pq) c) pq(rp)Ûpq(rp) Û(pqr)(pqp)Û(pqr)fÛpqrÛ(pqr)(2) 解：a)pÛ ppb)pqÛ(pq) Û (pq)(pq)c)pqÛpqÛ (pp)(qq)(3)解：p(pq) Û

34、;p(pq)ÛtÛpp Û (pp)(pp)Ûp(pp) p(pq) Ûp(pq)ÛtÛpp Û(pp)Û(pp)p)Û(pp)p)(pp)p)(4)解： pqÛ(pq)Û(pp)(qq)Û (pp)(qq)(pp)(qq)(5)證明：(bc)Û(bc) Û bc(bc)Û(bc)Ûbc(6)解：聯結詞“”和“”不滿足結合律。舉例如下：Ûa)給出一組指派：p為t，q為

35、f，r為f，則(pq)r為t，p(qr)為f故 (pq)r p(qr).Ûb)給出一組指派：p為t，q為f，r為f，則(pq) r為t，p(qr)為f故(pq)r p(qr).(7)證明：設變元p，q，用連結詞«,作用于p，q得到：p，q，p，q，p«q，p«p，q«q，q«p。但p«qÛq«p，p«pÛq«q，故實際有：p，q，p，q，p«q，p«p（t） （a）用作用于（a）類，得到擴大的公式類（包括原公式類）：p，q，p，q，（p«q），

36、t，f， p«q （b）用«作用于（a）類，得到：p«q，p«pÛf，p«qÛ（p«q），p«（p«q）Ûq，p«（p«p）Ûp，q«pÛ（p«q），q«qÛf，q«（p«q）Ûp，q«tÛq, p«qÛp«q，p«（p«q）Ûq，p«tÛp, q«（p«q）

37、Ûp，q«tÛq,（p«q）«（p«q）Ûp«q.因此，（a）類使用運算后，仍在（b）類中。對（b）類使用運算得：p，q，p，q， p«q， f，t，（p«q）， 仍在（b）類中。對（b）類使用«運算得：p«q，p«pÛf，p«qÛ（p«q），p«（p«q）Ûq，p«tÛp，p«fÛp，p«（p«q）Ûq， q«p&#

38、219;（p«q），q«qÛf，q«（p«q）Ûp，q«tÛq, q«fÛq， q«（p«q）Ûp， p«qÛp«q，p«（p«q）Ûq，p«tÛp, p«fÛp,p«（p«q）Ûq， q«（p«q）Ûp，q«tÛq, q«tÛq,q«（p«q）&#

39、219;p，（p«q）«tÛ（p«q），（p«q）«fÛp«q，（p«q）«（p«q）Ûft«fÛf，t«（p«q）Û p«qf«（p«q）Û （p«q）（p«q）«（p«q）Ûp«q.故由（b）類使用«運算后，結果仍在（b）中。由上證明：用«,兩個連結詞，反復作用在兩個變元的公式中，結果只能產生（b）類中的

40、公式，總共僅八個不同的公式，故«,不是功能完備的，更不能是最小聯結詞組。已證«,不是最小聯結詞組，又因為p qÛ （p«q），故任何命題公式中的聯結詞，如僅用 , 表達，則必可用«,表達，其逆亦真。故 , 也必不是最小聯結詞組。(8)證明，和不是最小聯結詞組。證明：若，和是最小聯結詞，則      pÛ（pp）      pÛ（pp）      pÛp(p(p)對所有

41、命題變元指派t，則等價式左邊為f，右邊為t，與等價表達式矛盾。c所以，和不是最小聯結詞。(9)證明,和, 是最小聯結詞組。證明：因為,為最小聯結詞組，且pqÛpq所以,是功能完備的聯結詞組，又,都不是功能完備的聯結詞組。ccc所以,是最小聯結詞組。c又因為pqÛ(p q)，所以, 是功能完備的聯結詞組，又, 不是功能完備的聯結詞組，所以, 是最小聯結詞組。習題  1-7(1) 解：p(pq) Ûp(pq) Û (pp)(pq) p(pq)Û (p(qq)(pq)Û (pq)(pq)(p

42、q)(2) 解：a) (pq)r  Û(pq)r  Û pqr Û(pq)(pq) (qr)(qr)(rp)(rp) b) p(qr)s)Ûp(qr)s) Ûpqrs Û(pq)(pq) (qr)(qr)(rs)(rs)(sp)(sp) c) (pq)(st)Û(pq)(st)Û(pqs)(pqt)d) (pq)rÛ(pq)rÛ(pq)r Û(pr)(qr)

43、 e) (pq)(pq)Û(pq)(pq)Û(pp)(pq)(qp)(qq)Û (pq)(qp)(3) 解：a) p(pqr) Û(pp)(pq)(pr) Û(pq)(pr)     b) (pq)(pq)Û(pq)(pq)Û(pq)(pq) Û(ppq)(qpq) c) (pq)Û(pq)Û pqÛ(pq)(pq)(qp)d) (pq)rÛ(pq)rÛ (pq)r&

44、#219; (pr)(qr)e) (pq)(pq)Û(pp)(pq)(qp)(qq)Û(pq)(qp)(4) 解：a) (pq)(p«q)Û(pq) (p«q)Û (pq) (pq)(pq) Ûå1，2，3Ûpq=p0b) q(pq)Û (pq)(qq)Û pq =å3Ûp0，1，2 Û(pq)(pq) (pq)c) p(p(q(qr)Ûp(p(q(qr) Ûpqr=p0Ûå1，2，3,4,5,6,7=(pqr) (

45、pqr) (pqr) (pqr) (pqr) (pqr) (pqr)d) (p(qr) )(p(qr) Û (p(qr) (p(qr)Û (pp) (p(qr) (qr) p) (qr) (qr)Û (pqr) (pqr) =å0,7Ûp1，2，3,4,5,6Û (pqr) (pqr) (pqr) (pqr) (pqr) (pqr)e) p(p(qp) Ûp(p(qp)Û(pp)(pqp) Ût(tq) ÛtÛå0,1,2,3= (pq) (pq) (pq) (pq

46、)f) (qp) (pq) Û (qp) pqÛ (qp) (pq) ÛfÛp0,1，2，3= (pq) (pq) (pq) (pq)(5) 證明：a)(ab) (ac) Û (ab) (ac)a(bc) Ûa(bc) Û (ab) (ac)b)(ab) (ab)Û(ab) (ab)Û (ab) (ab)Ûa(bb)ÛatÛa(ab) (ba)Û (ab) (ba)Ûa(bb) ÛafÛac)  ab(ab)

47、9; (aa)(ab)b Ûabb Ûfab(ab)Û (aa)(ab)bÛabbÛfd)  a(a(ab)Ûaa(ab)Ûtab(ab)Û(ab) (ab)Ût (6)解：aÛr(q(rp),則a*Û r(q(rp)aÛr(q(rp)Û(r(q(rp) Ûrq(rp)Û(rq) (rp)a*Ûr(q(rp)Û(r(q(rp) Ûrq(rp)Û(rq) (rp)(7) 解：設a：a去出差

48、。b：b去出差。c：c去出差。d：d去出差。若a去則c和d中要去一個。    a(cd)b和c不能都去。           (bc)c去則d要留下。           cd按題意應有：a(cd)，(bc)，cd必須同時成立。因為cd Û (cd) (dc)故(a(cd)(bc) (cd) Û (a(cd) (dc) (bc) (cd)Û

49、; (a(cd) (dc) (bc) (cd)Û (a(cd) (dc) (bc) (bd) (cd) c)Û (abc) (abd) (acd) (ac) (bcd) (cdbd) (cdcd) (cdc) (dcbc) (dcbd) (dccd) (dcc)在上述的析取范式中，有些（畫線的）不符合題意，舍棄，得(ac) (bcd) （cd）(dcb)故分派的方法為：bd ,或 da,或 ca。(8) 解：設p：a是第一。q：b是第二。r：c是第二。s：d是第四。e：a是第二。   由題意得 (pq) (rs) (es) Û

50、; (pq) (pq) (rs) (rs) (es) (es) Û (pqrs) (pqrs) (pqrs) (pqrs)(es)(es)    因為  (pqrs)與(pqrs)不合題意，所以原式可化為     (pqrs) (pqrs)(es) (es)Û (pqrses) (pqrses) (pqrses)(pqrses)Û (pqrse) (pqrse)因r與e矛盾，故pqrse為真，即a不是第一，b是第二，c不是第二，d為第四，a不是第二。于是得： a是第三

51、0;    b是第二     c是第一     d是第四。習題1-8(1)證明：a)(pq)，qr，rÞp(1) r             p(2) qr          p (3) q     

52、      (1)(2)t,i (4) (pq)      p(5) pq        (4)t,e(6) p           (3)(5)t,ib)j(mn)，(hg)j，hgÞmn(1) (hg) j        p(2) (hg)

53、60;           p(3) j              (1)(2)t,i(4) j(mn)          p(5) mn           (3)(4)t,ic)bc，(b

54、1;c)(hg) Þgh(1) bc          p  (2) b            (1)t,i (3) c            (1)t,i (4) bc      

55、; (2)t,i(5) cb       (3)t,i(6) cb         (4)t,e(7) bc         (5)t,e(8) b«c         (6)(7)t,e(9) (b«c) (hg)    p&#

56、160;(10) hg        (8)(9)t,id)pq，(qr)r，(ps) Þs(1) (qr) r           (2) qr             (1)t,i(3) r        

57、        (1)t,i(4) q                (2)(3)t,i(5) pq                  p(6) p     &

58、#160;          (4)(5)t,i(7) (ps)          p(8) ps              (7)t,e(9) s            

59、;     (6)(8)t,i(2) 證明：a)ab，cbÞac(1) (ac)               p                     (2) a    

60、;                   (1)t,i(3) c                       (1)t,i(4) ab      

61、60;            p(5) b                       (2)(4)t,i(6) cb             

62、60;     p(7) b                     (3)(6)t,i(8) bb                  矛盾。(5),(7)b)a(bc)，(cd)e，f(de) Þa

63、(bf)(1) (a(bf)             p(2) a                        (1)t,i(3) (bf)         

64、        (1)t,i(4) b                        (3)t,i(5) f                 

65、;     (3)t,(6) a(bc)                 p(7) bc                     (2)(6)t,i(8) c  

66、0;                     (4)(7)t,i(9) f(de)             p (10) de             

67、;     (5)(9)t,i(11) d                       (10)t,i(12) cd                    (8

68、)(11)t,i (13) (cd) e               p(14) e                       (12)(13)t,i(15) e       &

69、#160;             (10)t,i(16) ee                  矛盾。(14),(15)c)abcd，defÞaf(1) (af)            

70、      p(2) a                        (1)t,i(3) f                   

71、;   (1)t,i(4) ab                     (2)t,i(5) (ab) cd             p(6) cd         &#

72、160;           (4)(5)t,i(7) c                        (6)t,i(8) d            

73、;            (6)t,i(9) de                     (8)t,i(10) def              &

74、#160;   p(11) f                       (9)(10)t,i(12) ff                  矛盾。(3),(11)d

75、)a(bc)，bd，(ef)d，b(ae) Þbe(1) (be)                  p(2) b                        (1)t,i(3) e &#

76、160;                    (1)t,i(4) bd                    p(5) d         

77、;               (2)(4)t,i(6) (ef) d            p (7) (ef)               (5)(6)t,i(8) e   &

78、#160;                    (7)t,i(9) ee                   矛盾e)(ab)(cd)，(be)(df)，(ef)，acÞa(1) (ab) (cd) 

79、0;        p(2) ab                    (1)t,i(3) (be) (df)           p(4) be       

80、0;             (3)t,i(5) ae                     (2)(4)t,i(6) (ef)            

81、60;     p(7) ef                 (6)t,e(8) ef                   (7)t,e(9) af      

82、0;            (5)(8)t,i(10) cd                    (1)t,i(11) df              

83、60;     (3)t,i(12) cf                    (10)(10)t,i(13) ac                     p(14) af&#

84、160;                   (13)(12)t,i(15) fa                (14)t,e(16) aa          

85、0;       (9)(15)t,i(17) aa                (16)t,e(18) a                     (17) t,e(3) 證明：a)ab，cb&#

86、222;ac(1) a                     p(2) ab                 p(3) b         

87、0;           (1)(2)t,i(4) cb                 p(5) c                   (3)(4)t,i(

88、6) ac                cpb)a(bc)，(cd)e，f(de) Þa(bf)(1) a                p (2) a(bc)         p (3)

89、 bc             (1)(2)t,i(4) b                p (5) c               (3)(4)t,i(6) (cd) e &#

90、160;     p (7) c(de)       (6)t,e(8) de            (5)(7)t,i(9) de          (8)t,e(10) (de)     (9)t,e(11) f(de)  &

91、#160;   p(12) f              (10)(11)t,i(13) bf               cp(14) a(bf)          cpc)abcd，defÞaf(1) a&

92、#160;                   p(2) ab                (1)t,i(3) abcd           p(4) cd 

93、               (2)(3)t,i(5) d                   (4)t,i(6) de           

94、0;    (5)t,i(7) def              p(8) f                   (6)(7)t,i(9) af        

95、0;        cpd)a(bc)，bd，(ef)d，b(ae) Þbe(1) b                    p(附加前提)(2) bd           p(3) d   

96、0;       (1)(2)t,i(4) (ef)d        p(5) (ef)          (3)(4)t,i(6) e                (5)t,i(7) be  &#

97、160;              cp(4)證明：a) rq，rs，sq，pqÞp(1) rq                 p(2) rs             

98、      p(3) sq                 p(4) q                   (1)(2)(3)t,i(5) pq     &#

99、160;             p(6) p                   (4)(5)t,ib) sq，sr，r，p«qÞp證法一：(1) sr          

100、60;      p (2) r                   p(3) s                  (1)(2)t,i (4) sq  

101、60;             p  (5) q               (3)(4)t,i (6) p«q                p(7)(pq)(qp)&

102、#160;   (6)t,e(8) pq            (7)t,i (9) p                 (5)(8)t,i 證法二：（反證法）(1) p          

103、       p（附加前提）(2) p«q                 p(3)（pq）（ qp） (2)t，e(4) pq                 (3)t,i(5) q