考研數(shù)學(xué)三真題及全面解析

1、1990年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.把答案填在題中橫線上.)(1) 極限_.(2) 設(shè)函數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),若函數(shù)在處連續(xù),則常數(shù)=_.(3) 曲線與直線所圍成的平面圖形的面積為_(kāi).(4) 若線性方程組有解,則常數(shù)應(yīng)滿足條件_.(5) 一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊,若至少命中一次的概率為,則該射手的命中率為_(kāi). 二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1) 設(shè)函數(shù),則是 ( )(A) 偶函數(shù) (B) 無(wú)界函數(shù) (C) 周期函數(shù) (D) 單調(diào)函數(shù)(2) 設(shè)函數(shù)

2、對(duì)任意均滿足等式,且有其中為非零常數(shù),則 ( ) (A) 在處不可導(dǎo) (B) 在處可導(dǎo),且(C) 在處可導(dǎo),且 (D) 在處可導(dǎo),且(3) 向量組線性無(wú)關(guān)的充分條件是 ( )(A) 均不為零向量(B) 中任意兩個(gè)向量的分量不成比例(C) 中任意一個(gè)向量均不能由其余個(gè)向量線性表示(D) 中有一部分向量線性無(wú)關(guān)(4) 設(shè)為兩隨機(jī)事件,且,則下列式子正確的是 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立,其概率分布為-1 1 -1 1 則下列式子正確的是 ( )(A) (B) (C) (D) 三、計(jì)算題(本題滿分20分,每小題5分.)(1) 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.(2) 計(jì)算

3、二重積分,其中是曲線和在第一象限所圍成的區(qū)域.(3) 求級(jí)數(shù)的收斂域.(4) 求微分方程的通解.四、(本題滿分9分)某公司可通過(guò)電臺(tái)及報(bào)紙兩種形式做銷售某種商品的廣告,根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,銷售收入(萬(wàn)元)與電臺(tái)廣告費(fèi)用(萬(wàn)元)及報(bào)紙廣告費(fèi)用(萬(wàn)元)之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗(yàn)公式:(1) 在廣告費(fèi)用不限的情況下,求最優(yōu)廣告策略；(2) 若提供的廣告費(fèi)用為1.5萬(wàn)元,求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略.五、(本題滿分6分)設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù),其導(dǎo)數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)存在且單調(diào)減少；,試應(yīng)用拉格朗日中值定理證明不等式:,其中常數(shù)滿足條件.六、(本題滿分8分)已知線性方程組(1) 為何值時(shí),方程組有解?(2) 方程組有解時(shí),求出方程組的

4、導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；(3) 方程組有解時(shí),求出方程組的全部解.七、(本題滿分5分)已知對(duì)于階方陣,存在自然數(shù),使得,試證明矩陣可逆,并寫(xiě)出其逆矩陣的表達(dá)式(為階單位陣).八、(本題滿分6分)設(shè)是階矩陣,和是的兩個(gè)不同的特征值,是分別屬于和的特征向量.試證明不是的特征向量.九、(本題滿分4分)從十個(gè)數(shù)字中任意選出三個(gè)不同數(shù)字,試求下列事件的概率：三個(gè)數(shù)字中不含0和5；三個(gè)數(shù)字中不含0或5.十、(本題滿分5分)一電子儀器由兩個(gè)部件構(gòu)成,以和分別表示兩個(gè)部件的壽命(單位:千小時(shí)),已知和的聯(lián)合分布函數(shù)為:(1) 問(wèn)和是否獨(dú)立?(2) 求兩個(gè)部件的壽命都超過(guò)100小時(shí)的概率.十一、(本題滿分7分)某

5、地抽樣調(diào)查結(jié)果表明,考生的外語(yǔ)成績(jī)(百分制)近似服從正態(tài)分布,平均成績(jī)?yōu)?2分,96分以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率.附表0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 表中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).1990年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】【解析】對(duì)原式進(jìn)行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子.,再分子分母同時(shí)除以,有 原式.因?yàn)?其中為常數(shù),所以原式(2)【答案】【解析】由于在處連續(xù),故.為“”型的極限未

6、定式,又在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在,所以.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義,如果則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).(3)【答案】【解析】O2先解出兩條曲線在平面的交點(diǎn),即令,解得和,故所圍成的平面圖形如右圖所示:所求面積為 (4)【答案】【解析】由于方程組有解,對(duì)作初等行變換,第一行乘以加到第四行上,有 ,第二行加到第四行上,再第三行乘以加到第四行上,有.為使,常數(shù)應(yīng)滿足條件:.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】非齊次線性方程組有解的判定定理：設(shè)是矩陣,線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,即是(或者說(shuō),可由的列向量線表出,亦等同于與是等價(jià)向量組).設(shè)是矩陣,線性方程組,則（1） 有唯一解 （2

7、） 有無(wú)窮多解 （3） 無(wú)解 不能由的列向量線表出.(5)【答案】【解析】這是一個(gè)四重伯努利試驗(yàn)概率模型,設(shè)試驗(yàn)的成功率即射手的命中率為,則進(jìn)行四次獨(dú)立的射擊, 設(shè)事件為“射手命中目標(biāo)的次數(shù)”,服從參數(shù)的二項(xiàng)分布,由二項(xiàng)分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率為,它是至少命中一次的對(duì)立事件.依題意 .本題的另一種分析方法是用隨機(jī)變量表示獨(dú)立地進(jìn)行射擊中命中目標(biāo)的次數(shù),表示一次射擊的命中率,則,依題意即【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)分布的概率公式：若,則,.二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】(B)【解析】由于,而,所以,故無(wú)界.或考察在的函數(shù)值,有,可見(jiàn)是無(wú)界函數(shù).應(yīng)選(B).以下證明

8、其他結(jié)論均不正確. 由,知(A)不正確；由,而,知(D)不正確.證明(C)不正確可用反證法.設(shè),于是的定義域?yàn)榍业娜苛泓c(diǎn)為若以為周期,則有令有即.從而,其中為某一正數(shù).于是也是的周期.代入即得,對(duì)有這表明在上成立,于是在上成立,導(dǎo)致了矛盾. 故不可能是周期函數(shù).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】極限的四則運(yùn)算法則:若,則有 .(2)【答案】(D)【解析】通過(guò)變量代換或按定義由關(guān)系式將在的可導(dǎo)性與在的可導(dǎo)性聯(lián)系起來(lái).令,則.由復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)性及求導(dǎo)法則,知在可導(dǎo),且,因此,應(yīng)選(D).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:如果在點(diǎn)可導(dǎo),而在點(diǎn)可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為 或 .(3)【答案】(C)【解析】本題考查

9、線性無(wú)關(guān)的概念與理論,以及充分必要性條件的概念.(A)(B)(D)均是必要條件,并非充分條件.也就是說(shuō),向量組線性無(wú)關(guān),可以推導(dǎo)出(A)(B)(D)選項(xiàng),但是不能由(A)(B)(D)選項(xiàng)中的任意一個(gè)推導(dǎo)出向量組線性無(wú)關(guān).例如:顯然有,該向量組線性相關(guān).但(A)(B)(D)均成立.根據(jù)“線性相關(guān)的充分必要條件是存在某可以由線性表出.”或由“線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是任意一個(gè)均不能由線性表出.”故選(C).(4)【答案】A【解析】由于,所以,于是有.故本題選A. 對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)?所以事件發(fā)生,則事件必然發(fā)生,所以,而不是,故B錯(cuò).對(duì)于C選項(xiàng),因?yàn)?由條件概率公式,當(dāng)是相互獨(dú)立的事件時(shí),才會(huì)有；所以

10、C錯(cuò).對(duì)于D選項(xiàng),因?yàn)?所以事件發(fā)生事件不發(fā)生是個(gè)不可能事件,故,所以(D)錯(cuò).(5)【答案】(C)【解析】由離散型隨機(jī)變量概率的定義,有 .故本題選(C).而(B)、(D)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.對(duì)于(A)選項(xiàng),題目中只說(shuō)了隨機(jī)變量和相互獨(dú)立,且他們的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能說(shuō)事件與事件是同一事件.故(A)錯(cuò).三、計(jì)算題(本題滿分20分,每小題5分.)(1)【解析】在上,故函數(shù)在上單調(diào)增加,最大值為.由,有.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.對(duì)積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：若,均一階可導(dǎo),則.2.假定與均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),則 或者 (2)【解析】區(qū)域是無(wú)界函數(shù),設(shè),不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)時(shí)有,從而 (3)【解析】

11、因系數(shù),故,這樣,冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.因此當(dāng),即時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.當(dāng)時(shí),得交錯(cuò)級(jí)數(shù)；當(dāng)時(shí),得正項(xiàng)級(jí)數(shù),二者都收斂,于是原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.求收斂半徑的方法：如果,其中是冪級(jí)數(shù)的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù),則這冪級(jí)數(shù)的收斂半徑2.交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法：設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足：(1) (2)則收斂,且其和滿足余項(xiàng)3級(jí)數(shù)：當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散.(4)【解析】方法1:所給方程為一階線性微分方程,可直接利用通解公式求解.方法2: 用函數(shù)同乘方程兩端,構(gòu)造成全微分方程.方程兩端同乘,得,再積分一次得.最后,再用同乘上式兩端即得通解.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】一階線性非齊次方程的通解為 , 其中為任意常數(shù).四、(本題滿分9分

12、)【解析】(1)利潤(rùn)為銷售收入減去成本,所以利潤(rùn)函數(shù)為 由多元函數(shù)極值點(diǎn)的必要條件,有因駐點(diǎn)惟一,且實(shí)際問(wèn)題必有最大值,故投入電臺(tái)廣告費(fèi)用0.75萬(wàn)元,報(bào)紙廣告費(fèi)用1.25萬(wàn)元可獲最大利潤(rùn).(2)若廣告費(fèi)用為1.5萬(wàn)元,則應(yīng)當(dāng)求利潤(rùn)函數(shù)(與(1)中解析式相同)在時(shí)的條件最大值.拉格朗日函數(shù)為由 因駐點(diǎn)惟一,且實(shí)際問(wèn)題必有最大值,故應(yīng)將廣告費(fèi)1.5萬(wàn)元全部用于報(bào)紙廣告,可使利潤(rùn)最大.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】拉格朗日乘數(shù)法:要找函數(shù)在附加條件下的可能極值點(diǎn),可以先作拉格朗日函數(shù)其中為參數(shù).求其對(duì)與的一階偏導(dǎo)數(shù),并使之為零,然后與附加條件聯(lián)立起來(lái)：由這方程組解出及,這樣得到的就是函數(shù)在附加條件下的可能極值點(diǎn).

13、五、(本題滿分6分)【解析】方法1:當(dāng)時(shí),即不等式成立；若,因?yàn)?其中.又單調(diào)減少,故.從而有,即.方法2:構(gòu)造輔助函數(shù),將式子移到不等式右邊,再將視為變量,得輔助函數(shù)令,由于,所以,又因?yàn)榍?在單調(diào)減少,所以,于是在上單調(diào)遞增,故,即,其中.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】拉格朗日中值定理：如果函數(shù)滿足在閉區(qū)間上連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),那么在內(nèi)至少有一點(diǎn),使等式成立.六、(本題滿分8分)【解析】本題中,方程組有解.(相關(guān)定理見(jiàn)第一題(4)對(duì)增廣矩陣作初等行變換,第一行乘以、分別加到第二、四行上,有,第二行乘以、分別加到第三、四行上,第二行再自乘,有(1) 當(dāng)且,即時(shí)方程組有解.(2) 當(dāng)時(shí),方程組的同解方程組是

14、由,即解空間的維數(shù)為3.取自變量為,則導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為.(3) 令,得方程組的特解為.因此,方程組的所有解是,其中為任意常數(shù).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】若、是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,則的通解形式為其中是的基礎(chǔ)解系,是的一個(gè)特解.七、(本題滿分5分)【解析】若、是階矩陣,且則必有于是按可逆的定義知.如果對(duì)特征值熟悉,由可知矩陣的特征值全是0,從而的特征值全是1,也就能證明可逆.由于,故.所以可逆,且.八、(本題滿分6分)【解析】(反證法)若是的特征向量,它所對(duì)應(yīng)的特征值為,則由定義有：.由已知又有 .兩式相減得 .由,知不全為0,于是線性相關(guān),這與不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)相矛盾.所以,不是的特征

15、向量.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】矩陣特征值與特征向量的定義：設(shè)是階矩陣,若存在數(shù)及非零的維列向量使得成立,則稱是矩陣的特征值,稱非零向量是矩陣的特征向量.九、(本題滿分4分)【解析】樣本空間含樣本點(diǎn)總數(shù)為；即十個(gè)數(shù)字任意選三個(gè)有多少種選擇方案.有利于事件的樣本點(diǎn)數(shù)為；十個(gè)數(shù)字除去0和5任意選三個(gè)有多少種選擇方案.有利于事件的樣本點(diǎn)數(shù)為；十個(gè)數(shù)字除去0任意選三個(gè)的選擇方案和十個(gè)數(shù)字除去5任意選三個(gè)的選擇方案再減去中間多算了一次的方法數(shù),即是事件被加了兩次,所以應(yīng)該減去.由古典型概率公式, .【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】古典型概率公式：.十、(本題滿分5分)【解析】(1) 由連續(xù)型隨機(jī)變量邊緣分布的定義,且(為常數(shù))有 和的邊緣分布函數(shù)