考試成績分布的數(shù)學模型

1、考試成績分布的數(shù)學模型吳瀟輝摘要：一門課程考完之后我們在分析成績的時候會發(fā)現(xiàn)，一個班的成績根據(jù)我們的經(jīng)驗往往是分布在0，100之間的任意一段（可設(shè)以10分為一段），并且考得特別低的很少，例如：0分、10分，考得特別高的也很少，例如：100分，但大多數(shù)人考的不是特別高也不是特別低，例如：7090之間?，F(xiàn)在，我們要建立一個數(shù)學模型來研究分數(shù)的分布情況。我們主要通過運用概率論中隨機變量的概率分布規(guī)律的討論，運用matlab軟件對題目中的數(shù)據(jù)進行擬合的方法，并且把兩種結(jié)果進行比較，最終得出學生成績的分布服從三大隨機變量概率分布中的正態(tài)分布。關(guān)鍵詞： 數(shù)據(jù)擬合 概率分布函數(shù) 概率密度函數(shù) 一、問題的提出

2、： 大學生學完一門課程，要進行考試，考試之后就有了成績。通過這個成績可以說明學生的學習情況也可以說明老師出題的合理性。有人說一個班級的老師成績應付從正態(tài)分布可，那么，這種說法是否正確呢？例如下面的表格給出了某班某門課的考試成績：序號1234567891011成績8185914662875173766271序號1213141516171819202122成績9286848189857887818366序號2324252627282930313233成績6987848267786455973474序號3435363738394041成績4489827881817324下面我們要解決的問題是：1、通

3、過上面的表格分析這個班的成績是否服從正態(tài)分布。2、結(jié)合表格中的成績給出成績服從正態(tài)分布的判別方法和標準，以說明成績分布的合理性。二、模型假設(shè)： 1、次門課程出題的難易程度相對于學生的學習程度來說適中，也就是說這次成績具有合理性，可以把它當作衡量其他出題是否合理的標準。 2、為了下面分析的方便我們姑且認為成績的分布具有連續(xù)性。 三符號說明在某一段分數(shù)上的人數(shù)；班級總?cè)藬?shù)；在某一段分數(shù)上的人數(shù)所占的比例；試驗結(jié)果的概率；概率分布函數(shù)；概率密度函數(shù)；常數(shù)。四、模型建立與求解： 從上面的表格中我們可以看出：成績分布在7090分之間的人數(shù)最多，在050分以及90100分的人數(shù)很少，5069分之間的人數(shù)也

4、比較少。因此我們可以近似認為學生成績與分布在某一段成績的人數(shù)之間關(guān)系可近似用下面的草圖來表示：由于，也就是說對上面圖中所有的縱坐標同除以41，因此應當不改變圖形的形狀，所以每一段分數(shù)上分布概率與分數(shù)段之間的關(guān)系如圖所示：分數(shù)為隨機變量，右上圖可以觀察出，分布在7089分斷的概率最大，同時我們可以粗略的計算出：這個班這門課程的平均成績大約為：74.4分，它也就在這段分數(shù)中。下面我們來說明成績大致服從正態(tài)分布：1、 隨機變量的概率分布有三大分布，即：二項分布、泊松分布和正態(tài)分布，二項分布和泊松分布是用來討論離散型隨機變量，而我們在假設(shè)的時候已經(jīng)把分數(shù)的分布近似的認為是連續(xù)型隨機變量。2、 二項分布

5、和泊松分布是建立在重貝努里實驗的基礎(chǔ)之上的，貝努里實驗只有兩個實驗結(jié)果及，并且（其中），而成績的出現(xiàn)不可能只出現(xiàn)兩種結(jié)果，它不可能服從二項分布和泊松分布。3、 理論表明，一個變量如果收到大量微小的、獨立的隨機因素的影響，那么這個變量一般是正態(tài)隨機變量。我們現(xiàn)在討論的成績正好滿足這一點，影響成績的因素很多，例如：出題的難易、學生學習的程度、平時成績的影響、學生的臨場發(fā)揮、老師改試卷時的誤差等等。并且這些因素也是相互獨立的，它們之間并不從在特殊關(guān)系。綜合所述，成績的分布應當服從正態(tài)分布。以下給出一個判別成績服從正態(tài)分布的方法和標準：首先對給出的數(shù)據(jù)進行分析：把每隔5分，分為20段，進行統(tǒng)計，統(tǒng)計出

6、分數(shù)分布在每一段上的人數(shù)和在每一段上的人數(shù)所占的比例。如下表：分數(shù)人數(shù)人數(shù)/總?cè)藬?shù)分數(shù)人數(shù)人數(shù)/總?cè)藬?shù)0-50051-5520.048786-100056-600011-150061-6530.0731716-200066-7030.0731721-2510.0243971-7540.0975626-300076-8040.0975631-3510.0243981-85120.29268236-400086-9060.14634141-4510.0243991-9520.0487846-5010.0243996-10010.02439對分析得出的數(shù)據(jù)做出如下圖：從圖中可以看出這些點近似服從正態(tài)

7、分布的圖像，現(xiàn)在再利用軟件對這些數(shù)據(jù)進行擬合。 正態(tài)分布函數(shù)為，假設(shè)，而某一段分數(shù)分布的概率為，而每一段的概率可根據(jù)上面的表格得出，所以可用軟件來擬合一個正態(tài)分布概率密度函數(shù)，假設(shè)正態(tài)分布函數(shù)為，可用表格中數(shù)據(jù)擬合可得出：，見附錄1：根據(jù)這兩個值，我們就可得出正態(tài)分布概率密度函數(shù)，所以現(xiàn)在做出它的圖像進行分析便可判定成績是否服從正態(tài)分布。圖像如下：為了便于分析成績的分布情況，我們可做出以下兩個區(qū)間的圖像，因為成績雖然只在這個區(qū)間上，但概率密度函數(shù)區(qū)間太小看出成績分布的整體趨勢，所以可對稱的放在區(qū)間，但這不影響在這個區(qū)間上的分布情況。 從以上兩個圖也可以看出如果只取，不可能準確分析成績分布圖，所

8、以以上兩種取法是合理的。從圖中可得出成績分布符合正態(tài)分布密度函數(shù)圖像的一般規(guī)律，概率密度圖像是關(guān)于對稱的，且在這一點處概率密度取得最大值，這是正態(tài)分布的一大重要性質(zhì)，由此可得出成績分布服從正態(tài)分布。對這些數(shù)據(jù)進行分析并進行擬合，然后對密度函數(shù)圖像分析，這就為分析成績服從正態(tài)分布找到了一種方法。而擬合出的密度函數(shù)圖像與正態(tài)分布圖像對比，就是說明成績服從正態(tài)分布的最好憑證。也就是說正態(tài)分布圖像就是一個判定成績服從正態(tài)分布的一個比較好的標準。五模型說明 分數(shù)本不是連續(xù)性的，但可以把它認為是連續(xù)性的，這為問題的分析提供了方便。先是對成績分布從適用范圍作了分析，它是服從正態(tài)分布。是對問題的一個定性分析。接著又根據(jù)所給數(shù)據(jù)進行具體分析，運用了擬合的方法，對成績的分布進行了定量的分析，對圖的對比這是本模型的最