江蘇奧數(shù)夏令營平面幾何教師版

1、2018年奧數(shù)夏令營講義平面幾何目 錄一、等差冪線定理2二、共邊比例定理、分角張角72.1 共邊比例定理72.2 分角定理102.3 張角定理12三、menelaus、ceva、pascal定理143.1 梅涅勞斯（menelaus）定理143.2 賽瓦（ceva)定理183.3 pascal定理22四、三角形五心274.1 三角形的內(nèi)心274.2 三角形的外心304.3 三角形的重心334.4 三角形的垂心364.5 三角形的旁心40五、等角共軛475.1 等角共軛475.2 等角共軛點48六、simson 定理 、托勒密、三弦定理596.1 simson 定理596.2 ptolemy 定

2、理626.3 三弦定理66七、stewart 定理68八、歐拉定理、歐拉線、歐拉圓73九、圓冪定理、根軸、根心81十、內(nèi)外角平分線定理、線段的“分割比”、阿波羅尼斯圓96十一、調(diào)和點列、線束101十二、顧冬華20題110注：第81題、第104題、第124題為同一題，分別由三位老師提供，詮釋角度不同，故仍然順應(yīng)內(nèi)容重復(fù)編排在內(nèi)，方便備課.一、等差冪線定理1. 如圖，點為內(nèi)部一點，分別垂直于，且，. 求證：.【證明】由定差冪線定理；. 上述三式相加，結(jié)合及，得. 2. p在正方形對角線bd上一點(不與b、d重合)，pebc，pfcd. 求證：apef. abcdpef【證明】ae2+pf2=ab2

3、+be2+pf2 =ad2+pe2+df2 =ad2+df2+pe2 =af2+pe2 則apef.3. 在abc中，bc2+ca2=5ab2. 求證：bc和ac邊上的中線ad和be互相垂直.【證明】連接de，bc2+ca2=5ab2. 得bd2+ae2=5de2=ab2+de2. adbeabcde4. 如圖，在中，、是垂足，與交于點. 證明：.證明：在凹四邊形中，由得.在凹四邊形中，由得.于是，在凹四邊形中，得到，則.由此題可得垂線的一個性質(zhì)：.5. 在五邊形abcde中，ab=bc，bcd=bae=90°，p為五邊形內(nèi)一點，且apbe，cpbd.求證：bpde. 【證明】連接b

4、p延長交de于q，由apbe，cpbd，得：ab2+pe2=ae2+bp2，bc2+dp2=cd2+bp2兩式相減：pe2-dp2=ae2-cd2=be2-bd2，即：bd2+pe2=be2+dp2，由凹四邊形得：bpde.bacdepq6. 如圖，在四邊形abcd中，e和f是cd和bc上的點，ab=ad，dfae，abbc，addc.求證：afbe. 證明：在四邊形adef中，由dfae及定差冪線定理得ad2-af2=ed2-ef2，又因為ab=ad，abbc，addc.所以ab2-ab2+bf2=ae2-ab2-ef2，即ab2-bf2=ae2-ef2，由定差冪線定理知afbe.7. 若點

5、在三邊、所在直線上的射影分別為、. 證明：自、的中點分別向、所作的垂線共點. 證明：由三角形中線長公式，有. 由，則. 同理，. 以上三式相加，得. 因為pxbc，pyca，pzab，由定差冪線定理可得：xc2-xb2=pc2-pb2，ya2-yc2=pa2-pc2，zb2-za2=pb2-pa2，以上三式相加得xc2-xb2+ya2-yc2+zb2-za2=pc2-pb2+pa2-pc2+pb2-pa2=0，所以=0（*）設(shè)dx'與ey'交于m點，則由定差冪線定理可得mb2-mc2=x'b2-x'c2mc2-ma2=y'c2-y'a2代入（*）

6、得mb2-mc2+mc2-ma2+z'a2-z'b2=0即mb2-ma2=z'b2-z'a2所以m在過z'引ab的垂線上，所以dx'、ey'、fz'三線共點. 8. 以銳角abc的一邊為直徑作圓，分別與ab、bc交于點k、l，ck、al分別與abc的外接圓交于點f、d (fc，da)，e為劣弧上一點，be與ac交于點n. 若af2+bd2+ce2=ae2+cd2+bf2. 求證：. 證明 如圖，由于以為直徑的圓分別與、交于點，則，. 設(shè)與交于點，則為的垂心，故點與關(guān)于對稱，點與關(guān)于對稱. 從而，. 由，有. 即. 由定差冪線定理知

7、，. 又注意到為垂心，有. 故知、三點共線. 因為為邊與的交點，則. 故. 二、共邊比例定理、分角張角2.1 共邊比例定理9. 如圖，中，、交于. 求證：直線平分和.【證明】設(shè)直線分別交、于、.由共邊定理，得，而，則，所以，則.又由共邊定理，得，所以，即，所以是的中點.又易知，則.由共邊定理，得，則，所以是的中點.故直線平分和.10. 過圓外一點p引圓的兩條切線和一條割線pa、pb、pd，割線pd交圓于點c，在cd上取一點q使daq=pbc. 求證：pac=dbq.【證明】設(shè)daq=pbc=qdb=. pac=adc=.由共邊比例定理，得：spacspbc=aebf=adsinbdsin.（a

8、e、bf為pac、pbc的高）apbcdq又spacspbc=apacsinbpbcsin=acsinbcsin，得adbd=acbc.連接ab，則daqbac，aqdq=acbc. aqdq=adbdadaq=bddq，且daq=qdb. daqbac，pac=dbq.11. 在abc內(nèi)任取一點p，連結(jié)pa、pb、pc分別交對邊于x、y、z點. 求證：pxxa+pyyb+pzzc=1證明：由共邊比例定理知：pxxa+pyyb+pzzc=pbcabc+pcaabc+pababc=112. 已知是的內(nèi)切圓，、分別為、上的切點，連結(jié)并延長交于點，連結(jié)并延長交于點. 求證：是的中點. 證明:如圖，聯(lián)

9、結(jié)，由、n及、分別四點共圓有，. 由共邊比例定理，有，及. 于是，. 故是的中點. 2.2 分角定理13. 在等腰abc中，a90°，從邊ab上點d引ab的垂線，交邊ac于e，交邊bc的延長線于f. 求證：ad=cf當(dāng)且僅當(dāng)ade面積是cef面積的兩倍. 【證明】連接，則外分. 設(shè)，作. 由分角定理得：在中，內(nèi)分，由分角定理得：由=且，得. 設(shè)，在等腰中，有. ，. 以上過程均可逆. 14. 設(shè)abc是直角三角形，點d在斜邊bc上，已知圓過點c與ac交于f，與ab相切于ab的中點g. 求證：. 【證明】設(shè)，. 在中，內(nèi)分，則：. 又，. 又在中，. ，又，（切割線定理），從而，15.

10、 abc是等腰直角三角形，bac90°，ab=ac. 以ab為一邊作abd，且ad=bd.若adc=15°，求證：abd是等邊三角形. 證明：設(shè)dab=.在abd中，在ab邊上用分角定理可得：beea=bdsinbdeadsin15°=sin(180°-2-15°)sin15°=sin(2+15°)sin15°在abc中，在ab邊上用分角定理可得：beea=bcsinbceacsinace=2sin(+15°-45°)sin(90°-15°)=2sin(-30°)c

11、os(+15°)所以sin(2+15°)sin15°=2sin(-30°)cos(+15°)解得=60°，所以abd是等邊三角形2.3 張角定理16. 已知是abc的邊上的中線，任作一直線順次交于. 求證：成等差數(shù)列. 【證明】令. 以為視點，分別對及應(yīng)用張角定理，有，. 又在和中，由正弦定理，有. 由已知，上述兩式相除得，于是式可變?yōu)椋?，即? 代入得，故成等差數(shù)列. 17. 如圖，在線段上取內(nèi)分點，使，分別以，為邊，在的同側(cè)作正方形和，和分別是這兩個正方形的外接圓，兩圓交于，. 求證：，三點共線. 證明 連，則，則，三點共線，注意

12、. 設(shè)，的半徑分別為，則， . 對視點，考察點，所在的三角形. 由. 由張角定理可知，三點共線. 三、menelaus、ceva、pascal定理3.1 梅涅勞斯（menelaus）定理設(shè)直線l與三邊所在直線bc，ca，ab分別交于點d，e，f，則反之，若三角形三邊所在直線上三點使得上述等式成立，則該三點共線. 利用面積轉(zhuǎn)換，可得出如下兩個角元形式：第一角元形式：第二角元形式：（o為不再三邊所在直線上的任意一點）18. ad為銳角三角形abc的一條高，k為ad上任一點，bk、ck的延長線分別交ac、ab于點e、f. 求證：edkfdk. dbcaefk證明：過點a作mnbc，與de、df的延長

13、線分別交于點m、n. 由于··=1. 而，. Þ1Þanam，即da是等腰三角形dmn的底邊上的高，從而edafda. 19. 在abc中，am、at分別為bc邊上的中線與角平分線. tkac，交am于k. 證明：atck. hbcamtk證明：由cd截abm，有··=1. 故·. 設(shè)abc，bca，cab，則Þbt，ct. mtcmct. 但tkacÞ，Þ. ，即Þadbac. 故證. 20. 如圖，四邊形abcd中，ab與cd所在直線交于點e，ad與bc所在直線交于點f，bd與ef

14、所在直線交于點h，ac與ef所在直線交于點g. 求證：.【解析】考慮被直線hbd截，應(yīng)用梅涅勞斯定理可知 考慮被直線bcf截，同理可得 考慮被直線ecd截，同理可得 ×÷可得 所以原命題成立21. 如圖，已知的內(nèi)切圓分別切bc、ca、ab于點d、e、f，線段be、cf分別與該內(nèi)切圓交于點p，q. 若直線fe與bc交于圓外一點r，證明：p，q，r三點共線. 【析】考慮被直線efr截，應(yīng)用梅涅勞斯定理可知，因為af=ae 所以，如圖，設(shè)be與cf交于點s，則，所以，考慮及三個點p，q，r，由梅涅勞斯定理的逆定理可知，p，q，r三點共線. 22. 已知的內(nèi)心為i，外接圓圓心為o，

15、bc中點為n，ni與ac交于點p，b點相對的旁切圓圓心為m，mi與圓o交于點e，過m點的直線l與ac平行且與bc所在直線交于點f. 求證：p，e，f三點共線. 【析】如圖，連結(jié)bi，設(shè)mi與ac交于點d，易知，b，i，d，e，m五點共線. 因為mc平分，所以mf=cf， 且考慮被nip截，應(yīng)用梅涅勞斯定理知又因為，所以. 所以所以.又因為所以，所以.而，則，所以.所以，所以.所以由梅涅勞斯定理逆定理知，p，e，f三點共線.3.2 賽瓦（ceva)定理設(shè)點p不在三邊所在直線上，直線ap，bp，cp分別與bc，ca，ab交于點d，e，f，則，反之，若三角形三邊所在直線上的點使得上述等式成立，則ad

16、，be，cf交于一點或互相平行. ceva定理角元形式：為了方便，我們可以從某個角開始，把六個角順時針（或逆時針）標(biāo)記為至，則. 或者改為判斷過的頂點的三條直線ax，by，cz是否共點，等價于23. 在中，已知，d，e分別為邊ac，ab上的點，且使，f是bd與ce的交點，連結(jié)af，證明：.【析】設(shè)則，如圖用角元.ceva定理可知：所以24. 在銳角中，ad是的內(nèi)角平分線，d在邊bc上，過d作，垂足分別為e，f，連結(jié)be，cf，它們相交于點h，求證：.【析】過a作于k點，只須證：即可 由題意知四點共圓，則四點共圓，則所以又因為ad平分 所以所以又因為af=ae，所以. 所以由賽瓦定理逆定理知原命

17、題成立. 25. 四邊形bcef內(nèi)接于圓o，其邊ce與bf的延長線交于點a，由點a作圓o的兩條切線ap和aq，切點分別為p，q，be與cf的交點為h，求證：p，h，q三點共線. 【析】考慮連結(jié)fq，qb，只須說明h是的賽瓦點即可設(shè)則；所以（*）因為，所以所以（*）可化為（圓冪定理）所以由賽瓦定理逆定理可知h在pq上，所以p，h，q三點共線. 26. 如圖，在abc中，bac90°，g為ab上給定的一點（g不是線段ab的中點）. 設(shè)d為直線gc上與c、g都不相同的任意一點，并且直線ad、bc交于e，直線bd、ac交于f，直線ef、ab交于h. 試證明交點h與d在直線cg上的位置無關(guān).

18、證明：設(shè)g分線段ab為定比1，h分線段ab為定比2. 下面證明2由1確定，即當(dāng)a、b給定后，點h的位置由點c唯一確定. 在abc中，由ae、bf、cg交于一點d，應(yīng)用塞瓦定理，有··1，即1··1. (1)對abc及截線efh，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有··1，即2··1， (2)(1)(2)，得(12)·0. 從而120，即21，故2由1唯一確定. 因此，點h與d在直線cg上的位置無關(guān). 3.3 pascal定理圓o上六點，則的交點x，y，z共線. 考慮三頂點引出的直線與兩邊所成角的正弦值（*） 所以（*）為

19、1，由ceva定理（角元形式）逆定理知原命題成立. 【注】結(jié)論與六個點在圓上的次序無關(guān). 六個點中相鄰兩個點若重合，則對應(yīng)兩點連線變?yōu)樵擖c的切線，從而六邊形可以變?yōu)槲暹呅位蛘咚倪呅紊踔寥切? 27. abc內(nèi)接于圓o，p為bc弧上一點，點k在線段ap上，使得bk平分，過k，p，c三點的圓與邊ac交于點d，連結(jié)bd交圓于點e，連結(jié)pe并延長與邊ab交于點f，證明：.【析】設(shè)cf與圓交于點s，考慮圓上六點形kpedcs，由pascal定理可知b，k，s三點共線. 設(shè)圓與bc交于點t，連結(jié)kt，則.所以，所以.28. 如圖，六點a，b，d，e，f，c在圓周上順次排列，ab=ac，ad與be交于點p

20、，cd與bf交于點q，af與ce交于點r，ad與bf交于點s，af與cd交于點t，在線段ts上取一點k，使得. 求證：.【析】由pascal定理可知，p，q，r三點共線. 因為，所以.所以，所以bc/ts.，同理，所以又因為所以29. 如圖，的外心為o，cd為高線，m為邊ac的中點，射線dm與以ad為直徑的圓的另一個交點為y，圓與o的另一個交點為x，直線do與ac交于點z. 證明：x，y，z三點共線.【析】設(shè)是xy，ac的交點，下面證明：共線即可. 設(shè)直線交圓o于點l，連結(jié)xd并延長交圓o于點p，那么，從而三點共線，所以連結(jié)aop，因為是xy，ac的交點，即xl與ac的交點，而延長cd交圓o于

21、點g，則d點就是xp和cg的交點，此時考慮六點形capxlg，只要能證明o是ap和lg的交點即可由pascal定理證得. 所以下面證明：l，o，g三點共線. 要證l，o，g三點共線，只要證：因為，所以lb/md，所以只要證，這由可得. 證畢. 30. 如圖，過的頂點a、b、c各作一直線使之交于一點p，而分別交abc的外接圓于點、. 又在abc的外接圓上任取一點q，證明：、與bc、ca、ab對應(yīng)的交點x、z、y三點共線.證明：在圓內(nèi)接六邊形bcaa'qb'中，其三組對邊bc與a'q、ca與qb'、aa'與b'b的交點分別為x、z、p. 由帕斯卡定理

22、可知，p、x、z三點共線. 在圓內(nèi)接六邊形cbaa'qc '中，其三組對邊cb與a'q、ba與qc '、aa'與c 'c的交點分別為x、y、p. 由帕斯卡定理可知，p、y、x三點共線. 故x、z、y三點共線. 31. 如圖，點p在abc的內(nèi)部，p在邊bc、ca、ab上的射影分別為d、e、f，過點a分別作直線bp、cp的垂線，垂足分別為m、n. 求證：me、nf、bc三線共點. 證明：由題設(shè)有aepafpampanp90º. 從而，點a、n、f、p、e、m都在以ap為直徑的圓上. 于是，對于圓內(nèi)接六邊形afnpme，它的三組對邊af與pm

23、、fn與me、np與ea的交點分別為b、q、c. 由帕斯卡定理可知，b、q、c三點共線. 則點q在直線bc上. 故me、nf、bc三線共點. 四、三角形五心4.1 三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心簡稱為三角形的內(nèi)心. 性質(zhì)1：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點. 性質(zhì)2：設(shè)i為內(nèi)一點，ai所在直線交的外接圓于d，i為內(nèi)心的充要條件是：id=db=dc（雞爪定理）【證明】如圖，必要性：連bi，由知id=bd=dc充分性：由db=dc，即知ad平分由di=db，有即，而從而，即bi平分故i為的內(nèi)心. 性質(zhì)3：設(shè)i為內(nèi)一點，i的內(nèi)心的充要條件是：的外心均在的外接圓上. 32. 已知，如圖i為的內(nèi)

24、心，過i的bc的垂線交的外接圓于p、q，pa、qa交bc于e、f，求證：a，i，e，f四點共圓.【析】如圖，連結(jié)ai并延長交外接圓于s，交bc邊于k，連結(jié)sp并延長與bc所在直線交于點j，連結(jié)aj，ij，ie，由性質(zhì)2可知sc=si=sb，因為，所以.那么易知，所以且，所以a，k，p，j四點共圓.又因為，又因為，所以.，所以e為的垂心，則所以a，i，e，f四點共圓.33. 已知：如圖，o，i分別為的外心和內(nèi)心，點為點b關(guān)于oi的對稱點. 求證：過點作外接圓的切線，交點在ac上. 【析】設(shè)為外接圓圓心，則在oi上，延長bi交圓o于m，設(shè)交ac于e，由例1知所以，四點共圓，注意到，于是設(shè)過點i，的

25、圓切線交點為d，則四點共圓，從而五點共圓. 從而所以，d在ec上. 34. 已知圓內(nèi)切圓o于點d，a為大圓o上任意一點，圓o的弦ab，ac分別切圓于點e，f，ef交于點i，求證：i為的內(nèi)心. 【析】延長交圓o于點m，設(shè)，圓的半徑依次為r，r，由性質(zhì)2（雞爪定理）知，只要證明即可. 由圓冪定理知：整理得4.2 三角形的外心三角形的外接圓的圓心簡稱為三角形的外心. 性質(zhì)1：三角形的外心是三角形三條邊的中垂線的交點. 性質(zhì)2：三角形所在平面內(nèi)的一點是其外心的充要條件是：該點到三頂點的距離相等性質(zhì)3：設(shè)o為所在平面內(nèi)的一點，則o為的外心的充要條件是下述條件之一成立：（1）（2）35. 設(shè)o為的外心，連

26、結(jié)ao并延長交的外接圓于d，bc的延長線與過d點的o的切線l交于p，直線po交ab于n，交ac于m，求證：om=on.【析】過b作po平行線交ad于f，交ac于g，作于e，則o，e，p，d四點共圓. 四點共圓，因為e為bc中點，所以f為bg中點，所以o為mn中點. 36. 設(shè)的外接圓o上的劣弧的中點為k，優(yōu)弧的中點為s，線段ak與bc邊交于點d，點e，f分別為，的外心. 求證：a，e，o，f，s五點共圓.【析】如圖，由題意知s，o，k 三點共線，下面證明s，e，c三點共線. 易知，所以s，e，c三點共線，同理s，f，b三點共線. 設(shè)，那么由f是的外心可知在中，在中，所以所以所以結(jié)論得證. 37

27、. 過b，c作的外接圓的切線交于d，、關(guān)于ac對稱，、關(guān)于ab對稱，o是的外心，求證：.【析】不妨設(shè)，同理可得 所以又因為db=dc且 所以，所以所以取的外心f，則由于所以且所以，所以所以ao/df，而，所以.4.3 三角形的重心三角形三條中線的交點稱為三角形的重心. 性質(zhì)1：設(shè)g是的重心，連ag并延長交bc于d，則d為bc的中點，ag:gd=2:1且性質(zhì)2：設(shè)g為的重心，p為內(nèi)任一點，則（1）（2）證明：（1）設(shè)d為bc邊上的中點，則對和分別應(yīng)用余弦定理可得，而，于是，又因為pd，dg分別是的bc邊，的bc邊上的中線，有，從而（3），此三式相加整理得38. 證明：以銳角三角形各邊為直徑作圓，

28、從相對的頂點作切線，得到的六個切點共圓. 【析】如圖，設(shè)的三邊分別為a，b，c，圓o是以bc為直徑的圓，at切圓o于t點. （由ao垂直平分st可知目標(biāo)圓圓心在ao上，同理其他兩組也在對應(yīng)中線上，所以探究重心是可行的了）連ao，在ao 上取點g使得ag=2go，則g為的重心，連結(jié)ot，gt，由及有為定值，同理其他五個切點到g的距離的平方均為，證畢. 39. 證明：任意三角形的垂心h、重心g和外心o三點共線，且hg=2go.法1：如圖1，設(shè)m為ab中點，連結(jié)cm，則g在cm上，且cg=2gm，連結(jié)om，則om垂直平分ab，延長og到，使得，連結(jié)，因為，所以，從而，即，同理，即為垂心，命題得證.

29、法2：如圖2，作出圓o，連結(jié)ao并延長交圓o于點n，連結(jié)nb，nc，bh，hg，go，因為，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形. 所以ch=nb，又因為om是的中位線，所以，所以所以o，g，h三點共線且hg=2go.40. 已知的三邊bc=a，ca=b，ab=c，是的任意內(nèi)接三角形，試以a，b，c表示的三邊平方和的最小值.【析】首先，證明一個結(jié)論：若g為內(nèi)的任意一點，g到三邊bc，ca，ab的距離分別為x，y，z，則當(dāng)時，所以的最小值為設(shè)g為的重心，則由中線長公式可知三式相加得從g點向的三邊bc，ac，ab引垂線，垂足分別為，則4.4 三角形的垂心三角形三邊上的高線的交點稱為三角形的垂心. 性

30、質(zhì)1：設(shè)h為的垂心，則性質(zhì)2：設(shè)h為的垂心，則h，a，b，c四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心（這樣的四點組為一垂心組，且一個垂心組的四個外接圓的圓心組成另一垂心組）性質(zhì)3：設(shè)h為的垂心，則h關(guān)于三邊的對稱點均在的外接圓上的外接圓是等圓h關(guān)于三邊中點的對稱點均在的外接圓上性質(zhì)4：在中，h是垂心，l，m，n分別為bc，ca，ab的中點，d，e，f分別為三高之垂足，p，q，r分別是ah，bh，ch的中點，則l，m，n，d，e，f，p，q，r九點共圓，稱為的九點圓. 41. abc的外心o與垂心h的連線段的中點恰是九點圓圓心. 證明：九點圓半徑是其外接圓半徑的一半. 【分析】如圖，連結(jié)np，

31、lr，pr，nl，pl因為np是abh的中位線，所以np/bh，而nl是abc的中位線則nl/ac，所以npnl;同理，nppr，rlnl，rlpr，所以四邊形pnlr是矩形，所以p，n，l，r共圓且以nr為直徑，易知點f也在這個圓上，又因為pl也是該圓的直徑，所以點d也在該圓上連結(jié)pm，lm，由pm/ch，lm/ab可知pmlm，所以m也在該圓上，連結(jié)pq，lq可知pqlq，所以q也在該圓上，由qm也是圓的直徑可知點e也在該圓上. 如圖，由四邊形是平行四邊形可知，a，o，x三點共線且y，h，l，x 四點共線，由歐拉線性質(zhì)可知且因為ph/ol，則所以pl與oh的交點t恰好平分oh（）所以t也是

32、pl中點，恰好也是九點圓圓心，同時由于pl是的中位線，可得出【注】由圖中連線及推出的比例關(guān)系可知al連線與oh的交點為的重心g，且g就是外接圓和九點圓的內(nèi)位似中心而h是外位似中心. 42. 設(shè)的內(nèi)切圓與邊bc，ca，ab分別相切于點d，e，f. 求證：的外心o、內(nèi)心i、的垂心h三點共線.【析】連結(jié)ai并延長交圓o于點m，連結(jié)om，dh，idoi，ih，要證o，i，h三點共線，因為im/dh，所以只要即可. 而id/om，所以轉(zhuǎn)化為去證明證：設(shè)外接圓半徑為r，內(nèi)切圓半徑為r， 由題意知連結(jié)bm，所以，所以，所以.所以原命題成立. 43. 如圖，設(shè)h為的垂心，l為bc邊的中點，p為ah的中點，過l

33、作pl的垂線交ab于g，交ac的延長線于s.求證：g，b，s，c四點共圓. 【析】如圖，要證g，b，s，c四點共圓，只要證：，即要證：. 由題意知pl是的九點圓的直徑，考慮作出的外心o，取ab的中點m，連結(jié)om，oa，那么，由九點圓性質(zhì)知：h，o，n 三點共線，且n為oh中點，所以pn/ao，又因為，所以，所以.證畢. 44. 如圖，ad，be分別是銳角邊bc，ac上的高，m是ab中點，ad，be交于h，圓abh交圓mde于p，q. 求證：mq，ed，ph共點，且交點在外接圓上.【析】分析：考慮用同一法，結(jié)合九點圓性質(zhì)延長mq分別交圓o、圓abh于點x，u;連結(jié)mp并雙向延長交圓o、圓abh于

34、點y，v. 可以觀察出x，y地位等同，故只需證明d，e，y三點共線便可完成第一步：mq和de交點在圓o上. 由垂心的性質(zhì)知圓o和圓abh是等圓，所以mx=mu，mv=mp，所以=mamb=mvmy=mpmy，所以mdpmyd，所以dpm=ydm，又因為dpm=dem=deh+meh=dch+abh=mah+abh=mdh+ech=mdh+edh=mde，所以mdy=mde，所以d，e，y三點共線；同理，x，d，e三點共線，所以mq和de交點x在圓o上. 設(shè)xh交圓mde于點t，p'，由九點圓的性質(zhì)知xt=th，而由圓冪定理知xtxp'=xqxm，則2xtxp'=xq2x

35、m，即xhxp'=xqxu，所以點p'也在圓abh上所以p，p'重合，證畢. 4.5 三角形的旁心與三角形的一邊外側(cè)相切，又與另兩邊的延長線相切的圓叫做三角形的旁切圓，旁切圓的圓心稱為三角形的旁心. 性質(zhì)1：（對于頂角b，c也有類似的式子）性質(zhì)2：（其中，）性質(zhì)3：（其中，表示bc外側(cè)相切的旁切圓的半徑，類推，r表示的內(nèi)切圓半徑）【析】性質(zhì):2：易知，而，所以.性質(zhì)4：，.45. 如圖，與和的三邊所在的直線都相切，e、f、g、h為切點，直線eg與fh交于點p，求證：.【析】易知三點共線，設(shè)交ef于點d，連，由題意知ce=cg，bh=bf，又因為所以四點共圓，又因為所以a

36、，h，p，d四點共圓. 所以又因為所以五點共圓，即有，所以所以46. 如圖，o，i分別為的外心和內(nèi)心，ad是bc邊上的高，i在線段od上. 求證：abc的外接圓半徑等于bc邊上的旁切圓半徑. 【析】連ao，作于e，作于f，設(shè)，外接圓、旁切圓半徑分別為r，再作于n，由三角形外心性質(zhì)所以ai平分，那么所以證畢47. 已知的內(nèi)心為i，內(nèi)切圓與bc邊的切點為d，所對的旁心為，所在直線與圓i交于另一點k，h是線段的中點，求證：k，b，c，h四點共圓.【析】過作bc邊的垂線，垂足為，連結(jié)ik，id，所以所以，即.又因為，所以所以k，b，c，h四點共圓. 證畢. 48. 如圖，已知acecde90°

37、;，點b在ce上，且cacbcd，過a、c、d三點的圓交ab于點f. 求證：f為cde的內(nèi)心.cbadfe證明：連cf、df、bd. accb，acb90°， baccab45°， cdfcaf45°，但cde90°， df是cde的角平分線. cbcd，cbdcdb，但cbfcdf45°， fbdfdb， bfdf，又cbcd，cfcf，bfdf， cbfcdf，bcfdcf，即cf是ecd的平分線. f是cde的內(nèi)心. 49. abc的外心為o，abac，d是ab中點，e是acd的重心. 證明：oe丄cd. 證明：設(shè)am為高亦為中線，取ac

38、中點f，e必在df上且de：ef2：1. 設(shè)cd交am于g，g必為abc重心. 連ge，mf，mf交dc于k. 易證：dg：gkdc：()dc2：1. dg：gkde：efgemf. od丄ab，mfab，od丄mfod丄ge. 但og丄deg又是ode之垂心. 易證oe丄cd. 50. abc是一個銳角三角形，過頂點b與外心o的一個圓分別與bc，ba交于點p，q(pb，qb). 求證：opq的垂心在直線ac上. bcapoq證明：作odpq，交pq于點d，交直線ac于點h. 連ph，延長qo交ph于點e，連oa，ob，oc. b，p，o，q共圓ÞÐpoeÐqbp

39、(Ðabc). ÐoqpÐobp90°Ðbac；ÐopqÐobq90°Ðaob90°ÐacbÞÐpodÐacb； p，o，h，c共圓. ÐophÐoch(Ðoca)90°Ðabc. ÐopeÐpoe90°Þphqe. 即ph是oq邊上的高. 從而h為opq的垂心. 51. 在平行四邊形abcd(Ða90°)的邊bc上取點t使得atd是銳角三角形.

40、令o1，o2，o3分別是abt，dat，cdt的外心. 求證：三角形o1o2o3的垂心位于直線ad上. o3to1o2bcda證明：作o1ho2o3，交ad于點h，連o2h，o3h. 連o1a，o1t，o2d，o2a，o3d. o1，o2都在at的中垂線上，故o1o2是at的中垂線. 同理，o2o3是dt的中垂線. 如圖位置有Ð o1o2o3180°Ðatd. Ð o2o1o3Ðo1o3o2180°Ð o1o2o3Ð atd. 又o1htd(都與o2o3垂直)， Ðaho1Ðadt，又，

41、8;ao2o1ÐadtÐaho1Þa，h，o2，o1共圓. Ðao1o2Ðto1o2Ðb. Ðaho2180°Ðao1o2180°ÐbÐcÐo2o3d. h，o2，o3，d共圓. Ðho3o2Ðhdo290°Ðatd. 由，Ðo2o1o3Ðho3o1Ðo2o1o3Ð o1o3o2Ðho3o290°. o3ho1o2. h為o1o2o3的垂心. 五、等角共軛5.1 等角

42、共軛52. 已知ef是圓內(nèi)接四邊形abcd對邊ab、cd的中點，m是ef的中點，自e點分別作bc、ad的垂線，垂足記為p、q，證明：mp=mqmdbeaqpcf先證明一個引理：設(shè)p、q是l真心同側(cè)的兩點，點a在直線l上，則稱pa+pq的最小值為p、q兩點關(guān)于直線l “光路和”，即p與q關(guān)于直線l的對稱點間的距離.設(shè)ap、aq是aob的一對等角共軛線，則p、q關(guān)于oa、ob光路和相等.證明：如圖分別作出p關(guān)于oa、q關(guān)于ob的對稱點、，則p、q關(guān)于oa光路和為，p、q關(guān)于ob光路和p，易證po，則=p. 即p、q關(guān)于oa、ob光路和相等 mdbeaqpcfk證明：點f、e關(guān)于bc，ad兩邊的對稱

43、點、，延長ad、bc交于點k，由kabkcd，是ke、kf是相似三角形的對應(yīng)中線，ke、kf關(guān)于k的等角共軛線， 是f、e關(guān)于bc“光路和”， 是f、e關(guān)于bc“光路和”，由引理知=mp= mq mp=mq5.2 等角共軛點 53. 如圖，p、q是abc的等角共軛點(pab=qac，pbc=qba，pcb=qca).證明：ap·aq·bc+bp·bq·ac+cp·cq·ab= ab·bc·ca.abpqc證明：設(shè)d是射線aq上的點，且使得acd=apb.abpqdc又因為apb>acb.，則點d必在abc外部

44、，pab=cad，apbacd，故abad=apac=bpcd（1）.由qab=pac， abad=apac可知abdapc，則abap=adac=bdcp（2）， cda=pba=qbc，b、q、c、d四點共圓，由托勒密（ptolemy）定理，有bc·dq=bq·cd+bd·cq即bc·(adaq)=bq·cd+bd·cq（3），由式（1）、式（2），cd=bpacap，bd=cpabap，ad=acabap（4）將（4）中各式代入式（3），得 bcabacap-aq=bpbqacap+cpcqabap.即ap·aq

45、83;bc+bp·bq·ac+cp·cq·ab= ab·bc·ca54. 設(shè)p是abc內(nèi)任一點，、分別是abc、pbc、pca、pab的外心. 證明：o、p關(guān)于是一對等角共軛點.abcpo證明：如圖，聯(lián)結(jié)，abcpo則.因為均在bc的中垂線上，所以平分，令，則， 故，這表明 關(guān)于是等角線，同理，另兩角也如此，即o、p關(guān)于是一對等角共軛點. 55. 點p在abc外角平分線上的射影分別為，在內(nèi)角平分線上的射影分別是. 證明：三線共點.證明：過點a作的平行線aq，因為四邊形是矩形，所以=，這表明，此平行線即為ap的等角線.記矩形的中心為，并

46、取點p關(guān)于abc的等角共軛點q，則由中位線性質(zhì)，知平分線段pq，即經(jīng)過pq的中點m，同理、也經(jīng)過點m，因此m即為這三線所共的點.56. 設(shè)是的外心，是的外心，直線分別交的外接圓于另一點，是關(guān)于直線的對稱點. 求證：.【析】易知，所以為垂心，與外接圓為關(guān)于對稱的等圓. 由為的外心，知為的外心，于是為等角線. 為外心，故. 57. 的內(nèi)切圓與三邊相切于，交于點，的中點為，關(guān)于的對稱點為. 求證：.【析】延長及交于點，由知共圓，從而. 又為的陪位中線，關(guān)于對稱，故，于是四點共圓，. 58. 設(shè)是的邊上的中點，是邊上另一點（異于端點），令，則的充要條件是分別過，點的的外接圓的兩切線的交點及、三點共線.

47、 證明 充分性. 如圖，當(dāng)，三點共線時，設(shè)直線與交于點，聯(lián)結(jié)，則由，有，即有. 對四邊形應(yīng)用托勒密定理，有，即有，亦即. 注意到，則知，從而，故. 必要性. 如圖，當(dāng)時，設(shè)直線交的外接圓于，聯(lián)結(jié)，則由，有，即，亦即. 又對四邊形應(yīng)用托勒密定理，有. 于是，. 運(yùn)用三角形正弦定理，有. 延長交于點，延長交于點，則，. 從而，有. （*）由于，注意到（*）式及，則. 由塞瓦定理的逆定理，知、三線共點于，即知直線與重合. 故、三點共線. 注：其必要性也可這樣來證：如圖，由及為中點，直線交圓于，由充分性中證明，知四邊形滿足條件. （*）設(shè)過的切線與直線交于，過的切線與直線交于. 由，有. 于是. 同理

48、. 注意到（*）式有，從而，即. 從而與重合，亦與重合. 故、三點共線. 59. 設(shè)、是的邊上（異于端點）的兩點，令，則的充要條件是的外接圓與的外接圓內(nèi)切于點. 證明 充分性. 如圖，當(dāng)兩個外接圓內(nèi)切于點時. 過作兩圓的公切線，設(shè)的外接圓分別與，交于點，聯(lián)結(jié)，則. 從而，即有，亦即有. 故. 必要性. 如圖，設(shè)，分別為，的外心，與，分別交于點，. 當(dāng)時，即時，則有，從而. 過作的切線，過作的切線，則，即知與重合. 故與在點相內(nèi)切. 60. 在中，分別為邊，的中點，與交于點，的外接圓與的外接圓交于點，的延長線與的外接圓交于點. 求證：. 證明 如圖，聯(lián)結(jié)，則由題設(shè)有，知（或點是完全四邊形的密克爾

49、點即得）. 從而當(dāng)，分別為，的中點時，有. 又由，即（，分別為點到、的距離），有. 于是，由，有. 此時，由性質(zhì)中的三角形式，即知. 從而，故. 注：性質(zhì) 設(shè)、是的邊上（異于端點）的兩點，令，則的充要條件是或或. 證：如圖，應(yīng)用三角形正弦定理，有，. 必要性. 當(dāng)時，則由上述式，即得結(jié)論. 充分性. 當(dāng)時，在邊上取點，使. 此時，由式，有. 于是，有. 從而，即知與重合. 故. 61. 如圖，設(shè)凸四邊形的兩組對邊的延長線分別交于點、，的外接圓與的外接圓交于、兩點. 求證：的充分必要條件是. 證明 如圖. 由題設(shè)有，知，有. 此時由，即知，四點共圓. 從而，有，. 由，又有. 充分性. 當(dāng)時，有

50、，即有，從而. 于是，由，有. 從而由性質(zhì)中的三角形式，知. 必要性. 當(dāng)時，則由性質(zhì)中的三角形式，知. 注意到式，有. 設(shè)點到，的距離分別為，則. 于是，由，有，即知. 故. 62. 圓內(nèi)接四邊形的對角線與相交于點. 證明：、的垂心，外心分別四點共圓.證明：為了證明該結(jié)論，先看如下引理：引理：過圓內(nèi)接四邊形兩對角線交點作任一邊的垂線，則垂線必過以其對邊為一邊，以交點為一頂點的三角形的外心. 事實上，如圖，過作于，作的中垂線交于，交于，過作，交于，則，為的中點. 由知，四點共圓. 又是直角，所以，知為的外心. 下面，回到原問題的證明：如圖，設(shè)、與、分別為、的外心與垂心. 由上述引理知，、及、分

51、別四點共線. 由于三角形的外心與垂心是等角共軛點，有，. 所以，所以，. 即知，. 從而 ，（）于是，即，故，四點共圓. 同理，與的外心，垂心四點共圓. 63. 已知非等腰，是其外接圓孤的中點，是邊的中點，、分別是、的內(nèi)心. 證明：、n、四點共圓.證明 如圖，設(shè)是關(guān)于直線的對稱點，聯(lián)結(jié)，、，則 . 故、關(guān)于的平分線對稱. 同理，、關(guān)于的平分線對稱. 這表明、，是的一對等角共軛點. 因此，從而 . 故、四點共圓. 六、simson 定理 、托勒密、三弦定理6.1 simson 定理 64. 三角形外接圓上一點的西姆松線平分該點與三角形垂心的連線. hlmndabcp證明：如圖設(shè)ad為邊bc上的高，延長ad，與abc的外接圓交于點f，qsghflmndabcp連接hl、ph，并設(shè)ph，pf分別與西姆松線交于點s、q， pf與bc交于點g，連接hg，因為p、c、l、m，a、f、c、p分別四點共圓，所以=，故pq=lq因此，q為rtplg斜邊的中點，又dh=df，則=，故hgml從而，sq為phg的中位線，因此s為ph的中點.65. 已知銳角abc，cd是過點c的高線，m是邊ab的中點，過m的直線分別與ca、cb交于點k、l，且ck=cl. 若ckl的外心為s，證明：sd=sm.