《軸對(duì)稱圖形與等腰三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識(shí)講解

1、軸對(duì)稱圖形與等腰三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）撰稿：常春芳【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱、軸對(duì)稱圖形，理解軸對(duì)稱的基本性質(zhì)及它們的簡(jiǎn)單應(yīng)用；2. 了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念，并掌握它們的性質(zhì)以及判定方法;3. 了解垂直平分線、角平分線的概念，掌握其性質(zhì)定理及應(yīng)用【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】軸對(duì)稱圖形紅段線段垂直平分線角平分線等腰三角形性質(zhì)及判定軫邊三角闿【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、軸對(duì)稱【高清課堂：389304軸對(duì)稱復(fù)習(xí)，本章概述】1. 軸對(duì)稱圖形如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)

2、所連線段的垂直平分線要點(diǎn)詮釋：軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形，圖形被對(duì)稱軸分成的兩部分能夠互相重合.一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定2.軸對(duì)稱把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：要點(diǎn)詮釋： 軸對(duì)稱指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，兩個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后能夠完全重合.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等； 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，則對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分 線； 兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么它們的交點(diǎn)在對(duì)稱軸上3.軸對(duì)稱圖形與

3、軸對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對(duì)稱涉及兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱；如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形.要點(diǎn)二、作軸對(duì)稱圖形1作軸對(duì)稱圖形（1） 幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接這些點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形；（2）對(duì)于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段 端點(diǎn)）的對(duì)稱點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形2. 用坐標(biāo)表示軸

4、對(duì)稱點(diǎn)（x, y ）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x, y ）;點(diǎn)（x,y ）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn) 的坐標(biāo)為（一x, y ）;點(diǎn)（x, y ）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（一 x , y ）.3. 對(duì)稱軸的作法若兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，其對(duì)稱軸就是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.因此只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再作出連接它們的線段的垂直平分線就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸.軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸作法相同.要點(diǎn)詮釋：在軸對(duì)稱圖形和成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中， 對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形， 如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)一定在對(duì)稱軸上.如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線

5、對(duì)稱要點(diǎn)三、等腰三角形1. 等腰三角形（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形（2 ）等腰三角形性質(zhì) 等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”； 等腰三角形頂角的平分線、 底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45 ° .（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（即“等角對(duì)等邊”）.要點(diǎn)詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).2. 等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形（2） 等邊三角形性質(zhì)：等邊三

6、角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60° .（3）等邊三角形的判定： 三條邊都相等的三角形是等邊三角形； 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形； 有一個(gè)角為60 °的等腰三角形是等邊三角形 .3. 直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.要點(diǎn)四、線段垂直平分線、角平分線的性質(zhì)定理1線段的垂直平分線性質(zhì)定理定理1:線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等定理2:到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上2.角平分線的性質(zhì)定理定理1角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等定理2角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上【典型

7、例題】類型一、軸對(duì)稱的性質(zhì)與應(yīng)用1如圖，由四個(gè)小正方形組成的田字格中, ABC的頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn).在田字格上畫與 ABC成軸對(duì)稱的三角形，且 頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)，則這樣的三角形（不包含厶ABC本身）共有（）個(gè) C.3個(gè) D.4 個(gè)【思路點(diǎn)撥】 分別以正方形的對(duì)角線和田字格的十字線為對(duì)稱軸，來找三角形【答案】C;【解析】先把田字格圖標(biāo)上字母如圖，確定對(duì)稱軸找出符合條件的三角形，再計(jì)算個(gè)數(shù). HEC與厶ABC關(guān)于CD對(duì)稱； FDB與厶ABC關(guān)于BE對(duì)稱； GEDM ABC關(guān)于HF對(duì)稱；關(guān)于AG對(duì)稱的是它本身.所以共 3個(gè).【總結(jié)升華】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)；確定對(duì)稱軸然后找出成軸對(duì)稱的三

8、角形是解題的關(guān) 鍵.舉一反三:【變式】如圖， ABC的內(nèi)部有一點(diǎn) P,且D, E, F是P分別以AB, BC, AC為對(duì)稱軸的對(duì)稱 點(diǎn).若 ABC的內(nèi)角/ A= 70°,/ B= 60°,/ C= 50°，則/ ADBZ BEOZ CFA =()A.180 °B.270°C.360°D.480°c【答案】c；解：連接AP, BP, CPD, E, F是P分別以AB BC, AC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)/ ADB=Z APB / BEC=Z BPC / CFA=Z APC/ AD聊/ BEOZ CFA=Z APB+Z BPOZ APC

9、= 360°2、已知/ MON= 40° , P為/ MON內(nèi)一定點(diǎn),0M±有一點(diǎn)A, ON上有一點(diǎn)B,當(dāng)厶PAB的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求/ APB的度數(shù).【思路點(diǎn)撥】 求周長(zhǎng)最小，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，找到P的對(duì)稱點(diǎn)來確定 A、B的位置，角度的計(jì)算，可以通過三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算【答案與解析】解：分別作P關(guān)于OM ON的對(duì)稱點(diǎn)R, P2 ,連接RF2交0M于A, ON于 B.則厶PAB為符合條件的三角形 / MON= 40°/ Rpp2 = 14011/ RPA = - Z PAB,/ F2PB = - Z PBA.221 ( / PABZ P

10、BA)+Z APB= 140 °2 Z PABZ PBA 2 Z APB= 280 °Z PAB=Z P +Z RPA, Z PBA=Z P, +Z P,PBZ P +Z P2 + Z PPP2 = 180° Z APB= 100【總結(jié)升華】 將實(shí)際問題抽象或轉(zhuǎn)化為幾何模型，將周長(zhǎng)的三條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段, 這樣取得周長(zhǎng)的最小值 舉一反三:【變式】如圖，在五邊形 ABCDEKZ BAE= 120°,Z B=Z E= 90°, AB= BC, AE= DE 在AMNZ ANM的度數(shù)為BC DE上分別找一點(diǎn) M, N,使得 AMN勺周長(zhǎng)最小時(shí)，

11、則Z【答案】110120 ° D . 130( )A 100 °BC；提示：找A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A1，關(guān)于ED的對(duì)稱點(diǎn)A2，連接A1A2，交BC于M 點(diǎn)，ED于 N點(diǎn)，此時(shí) AMN周長(zhǎng)最小.Z AMNbZ ANMk 180°-Z MAN 而 2Z BAMkZ AMN 2Z EAN=Z ANM Z BAWZ EANFZ MAN= 120° ,所以Z AMNbZ ANMk 120° .類型二、等腰三角形的性質(zhì)與判定3、如圖，在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且 BE = AC，延長(zhǎng) BE交AC于F.求證：AF = EF【思路點(diǎn)撥

12、】 證AF = EF，只需證明/ FAE = Z AEF，考慮中線倍長(zhǎng)，構(gòu)造全等三角形、等 腰三角形【答案與解析】證明：延長(zhǎng) AD至U H使DH = AD，連接BH。/ AD是BC邊上的中線， BD = CD在厶 ADC 和厶 HDB 中，BD = DC，/ BDH =Z CDA ,=HD , ADC HDB ,/ 1=Z H , BH = ACBE = BH ,/ BE = AC , 3=Z H,1 =Z 3又/ 2 =Z 3,/ 1=Z 2, AF = EF舉一反三:【變式】已知，如圖,求證：AM1JAB + AC).AD為厶ABC的內(nèi)角平分線，且 AD = AB , CM丄AD于M.A【

13、答案】證明：延長(zhǎng)AM至點(diǎn)E,使ME = AM，連結(jié)CE.v AM ME,CM AE, AC CE. E CAM.v AD平分 BAC, CAM BAM. E BAM. AB/ CE. BBCE.v AB AD,二 BADB.又v CDE ADB,二 CDE BCE.二 DE CE.二 2AM AE AD DE AB AC.1 AM AB AC2類型三、等邊三角形的綜合應(yīng)用4、如圖所示，已知等邊三角形 ABC中，點(diǎn)D, E, F分別為邊 AB, AC , BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)， DMN為等邊 三角形.（1）如圖（1）所示，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷 EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)

14、F是否在直線NE 上?（2）如圖（2）所示，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其他條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)利用圖（2）證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.【答案與解析】 解：(1)EN = MF，點(diǎn)F在直線 NE 上.證明：連接DF, DE ,/ ABC是等邊三角形，AB = AC = BC .又 D , E, F是厶ABC三邊的中點(diǎn)， DE , DF, EF為三角形的中位線.DE = DF = EF,Z FDE = 60°.又/ MDN +Z NDF = Z MDF，/ NDF + Z FDE =Z NDE ,/ DMN 為等邊三角形， DM = DN，/ MD

15、N = 60°/ MDF =Z NDE .DF DE在厶DMF和厶DNE中， MDF NDE ,DM DN DMF 也厶 DNE ,MF = NE, / DMF =Z DNE ./ DMF + 60° =/ DNE + / MFN/ MFN = 60° FN / AB ,又 EF / AB , E、F、N在同一直線上.(2)成立證明：連結(jié) DE , DF, EF,/ ABC是等邊三角形，AB = AC = BC .又 D , E, F是厶ABC三邊的中點(diǎn)， DE , DF, EF為三角形的中位線.DE = DF = EF, / FDE = 60°.又/

16、MDF +/ FDN = 60°,/ NDE + / FDN = 60 / MDF =/ NDE .DF DE在厶DMF和厶DNE中， MDF NDE ,DM DN DMF DNE ,MF = NE.【總結(jié)升華】此題綜合應(yīng)用了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定全等是證明線段相等的重要方法（2）題的證明可以沿用（1）題的思路.11半得到CM=-AB=BM再根據(jù)在直角三角形中，30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半得到CB=-22AB=BM則CM=CB而D為MB的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【答案與解析】證明：/ ACB=9C° , M為 AB中點(diǎn)，1

17、CMd AB=BM2/ ACB=90，/ A=30°,1 CB= AB=BM2 CM=CB/ D為MB的中點(diǎn)， CD! BM 即 CDL AB.【總結(jié)升華】 本題考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)：30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半；也考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等腰三角形的性質(zhì).舉一反三：【變式】如圖，在ABC中，BA=B（CZB=120°,AB的垂直平分線MN交AC于D,求證：AD= -DCAZB【答案】解：如圖，連接DB/ MN是AB的垂直平分線， AD=DB/ A=Z ABD/ BA=BC / B=120°1/ A=Z C=_

18、 (180 ° -120 ° ) =30°2/ ABD=30 ,又/ ABC=120 ,/ DBC=120 -30 ° =90 °,1 BD=_ DC21 AD= DC2類型五、線段垂直平分線性質(zhì)定理及應(yīng)用6、如圖，已知 AB=AD BC=DC BD交 AC于點(diǎn)O,請(qǐng)分別說明下列判斷成立的理由:(1 ) ABCA ADC【思路點(diǎn)撥】(1)再加上公共邊 AC,即可利用SSS證明；(2)由(1)中的結(jié)論可判斷出點(diǎn) A、C均在BD的垂直平分線上.【答案與解析】證明：(1)v AB=AD BC=DC AC=AC ABCA ADC(2)v ABCA ADC AB=AD BC=CD點(diǎn)A C在線段BD的垂直平分線上. AC是線段BD的垂直平分線.【總結(jié)升華】注意兩個(gè)三角形中的公共邊通常是證兩個(gè)三角形全等隱含的條件.需注意與-條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，但兩點(diǎn)確定一條直線.舉一反三【變式】用圓規(guī)和直尺作圖，在/DEC中找一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到/ DEC兩邊的距離相等，并且到M、N兩點(diǎn)的距離也相等(保留作圖痕跡).