三角形輔助線的添加方法和經(jīng)典習(xí)題和答案Word版

1、傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，若直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1：已知如圖1-1：d、e為abc內(nèi)兩點(diǎn),求證:abacbddece.證明：（法一）將de兩邊延長(zhǎng)分別交ab、ac 于m、n，在amn中，aman mddene;（1） 在bdm中，mbmdbd； （2） 在cen中，cnnece； （3） 由（1）（2）（3）得： amanmbmdcnnemddenebdce abacbddeec （法二：）如圖1-2， 延長(zhǎng)bd交 ac

2、于f，延長(zhǎng)ce交bf于g，在abf和gfc和gde中有： abaf bddggf （三角形兩邊之和大于第三邊）（1） gffcgece（同上）（2） dggede（同上）（3） 由（1）（2）（3）得： abafgffcdggebddggfgecede abacbddeec。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知d為abc內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：bdcbac。分析：因?yàn)閎dc與bac不在同一個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可

3、適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使bdc處于在外角的位置，bac處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng)bd交ac于點(diǎn)e，這時(shí)bdc是edc的外角， bdcdec，同理decbac，bdcbac證法二：連接ad，并延長(zhǎng)交bc于fbdf是abd的外角bdfbad，同理，cdfcadbdfcdfbadcad即：bdcbac。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知ad為abc的中線，且12,34,求證：becfef。分析：要證bec

4、fef ，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把be，cf，ef移到同一個(gè)三角形中，而由已知12，34，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把en，fn，ef移到同一個(gè)三角形中。證明：在da上截取dndb，連接ne，nf，則dndc，在dbe和dne中：dbedne （sas）bene（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：cfnf在efn中enfnef（三角形兩邊之和大于第三邊）becfef。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)元素相等。四、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖4

5、-1：ad為abc的中線，且12，34，求證：becfef證明：延長(zhǎng)ed至m，使dm=de，連接 cm，mf。在bde和cdm中， bdecdm （sas） 又12，34 （已知） 1234180°（平角的定義） 32=90°即：edf90° fdmedf 90°在edf和mdf中 edfmdf （sas） efmf （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在cmf中，cfcmmf（三角形兩邊之和大于第三邊） becfef注：上題也可加倍fd，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中

6、線時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖5-1：ad為 abc的中線，求證：abac2ad。分析：要證abac2ad，由圖想到： abbdad,accdad，所以有abac bdcdadad2ad，左邊比要證結(jié)論多bdcd，故不能直接證出此題，而由2ad想到要構(gòu)造2ad，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。 證明：延長(zhǎng)ad至e，使de=ad，連接be，則ae2ad ad為abc的中線 （已知） bdcd （中線定義） 在acd和ebd中 acdebd （sas） beca（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在abe中有：abbeae（三角形兩邊之和大于第三邊） abac2ad。（常

7、延長(zhǎng)中線加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí)：已知abc，ad是bc邊上的中線，分別以ab邊、ac邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2， 求證ef2ad。 六、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在abc中，abac，12，p為ad上任一點(diǎn)。求證：abacpbpc。分析：要證：abacpbpc，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之，因?yàn)橛C的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊abac，故可在ab上截取an等于ac，得abacbn， 再連接pn，則pcpn，又在pnb中，pbpnbn，即：abacpbpc。證明：（截長(zhǎng)法）在ab上截取anac連接pn , 在apn和apc中

8、apnapc （sas） pcpn （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在bpn中，有 pbpnbn （三角形兩邊之差小于第三邊） bppcabac證明：（補(bǔ)短法） 延長(zhǎng)ac至m，使amab，連接pm， 在abp和amp中 abpamp （sas） pbpm （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 又在pcm中有：cmpmpc(三角形兩邊之差小于第三邊) abacpbpc。七、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖7-1：已知acbd，adac于a ，bcbd于b，求證：adbc分析：欲證 adbc，先證分別含有ad，bc的三角形全等，有幾種方案：adc與bcd，aod與boc，abd與bac，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無(wú)法證全等

9、，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng)da，cb，它們的延長(zhǎng)交于e點(diǎn)， adac bcbd （已知） caedbe 90° （垂直的定義） 在dbe與cae中 dbecae （aas） edec ebea （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） edeaeceb 即：adbc。（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過(guò)添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八 、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。例如：如圖8-1：abcd，adbc 求證：ab=cd。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決。證明：連接ac（或bd）

10、abcd adbc （已知） 12，34 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）在abc與cda中 abccda （asa） abcd（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例如：如圖9-1：在rtabc中，abac，bac90°，12，cebd的延長(zhǎng)于e 。求證：bd2ce 分析：要證bd2ce，想到要構(gòu)造線段2ce，同時(shí)ce與abc的平分線垂直，想到 要將其延長(zhǎng)。 證明：分別延長(zhǎng)ba，ce交于點(diǎn)f。 becf （已知） befbec90° （垂直的定義）在bef與bec中， befbec （asa） ce=fe=cf （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） ba

11、c=90° becf （已知） baccaf90° 1bda90°1bfc90° bdabfc在abd與acf中 abdacf （aas） bdcf （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） bd2ce十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖10-1；ac、bd相交于o點(diǎn)，且abdc，acbd，求證：ad。分析：要證ad，可證它們所在的三角形abo和dco全等，而只有abdc和對(duì)頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由abdc，acbd，若連接bc，則abc和dcb全等，所以，證得ad。證明：連接bc，在abc和dcb中 abcdcb (sss) ad (全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)十一、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1：abdc，ad 求證：abcdcb。分析：由abdc，ad，想到如取ad的中點(diǎn)n，連接nb，nc，再由sas公理有abndcn，故bncn，abndcn。下面只需證nbcncb，再取bc的中點(diǎn)m，連接mn，