熱傳導(dǎo)方程導(dǎo)出

1、電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)1/12熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出 熱傳導(dǎo)問(wèn)題三類邊界條件熱傳導(dǎo)問(wèn)題三類邊界條件 三維熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)三維熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo) 幾個(gè)記幾個(gè)記號(hào)號(hào)電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)2/12222222zuyuxuu 記記與與laplace算子相關(guān)的另一算子算子相關(guān)的另一算子(梯度算子梯度算子(grad),zyx kzjyix 或或222222zyx (laplace算子算子)則有則有顯然顯然 2 div梯度算子梯度算子)(graddiv 電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)3/12其中其中, k 是導(dǎo)熱系數(shù)是導(dǎo)熱系數(shù), u(x, y, z) 是導(dǎo)熱體中的溫度是導(dǎo)熱體中的溫度,付里葉熱傳導(dǎo)定律付里葉熱傳導(dǎo)定律:

2、在在dt時(shí)段內(nèi)時(shí)段內(nèi),通過(guò)面積元通過(guò)面積元ds流入體流入體積元的熱量積元的熱量 dq 與沿面積元外法線方與沿面積元外法線方向的溫度變化率向的溫度變化率 成正比成正比, 也與也與 ds 和和dt成正比成正比nu dsdtnukdq 1通過(guò)曲面進(jìn)入導(dǎo)熱體的總熱量通過(guò)曲面進(jìn)入導(dǎo)熱體的總熱量:dtdsnukqtts 211dxxdxx 三維熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)三維熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo))coscoscos()( zyxuuununu 電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)4/12通過(guò)曲面進(jìn)入導(dǎo)熱體的總熱量通過(guò)曲面進(jìn)入導(dǎo)熱體的總熱量: 21)(1ttvdtdxdydzugraddivkq溫度升高所需熱量溫度升高所需熱量: vdxd

3、ydztzyxutzyxucq),(),(122 vttvttdtdxdydztucdxdydzdttuc2121 q1 = q22211()ttttvvuk div grad u dxdydz dtcdxdydz dtt 電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)5/12三維熱傳導(dǎo)方程三維熱傳導(dǎo)方程: ut = a2uxx + uyy + uzz tucugraddivk )(q1 = q2記記 a2 = k/(c ) tuugraddiva )(2uatu 2電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)6/12初始條件初始條件: u(x, y, z, 0)= (x, y, z)ut = a2uxx + uyy + uzz =u

4、ii. 第二類邊界條件第二類邊界條件:),(tzyxnus iii. 第三類邊界條件第三類邊界條件:),(tzyxunus i. 第一類邊界條件第一類邊界條件:),(tzyxus (已知邊界已知邊界溫度溫度)(邊界上有邊界上有熱流熱流進(jìn)入進(jìn)入)(邊界上有邊界上有熱交換熱交換)熱傳導(dǎo)問(wèn)題三類邊界條件熱傳導(dǎo)問(wèn)題三類邊界條件電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)7/12一維熱傳導(dǎo)方程一維熱傳導(dǎo)方程: ut = a2uxx lxxxuttlututlxuauxxt0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,2 熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題(第一類邊界條件第一類邊界條件)例如例如電子科技大

5、學(xué)電子科技大學(xué)8/12l長(zhǎng)的細(xì)桿邊界上有長(zhǎng)的細(xì)桿邊界上有熱流進(jìn)、出熱流進(jìn)、出u(x, t )lo1. 在在 x = l 處有熱流處有熱流 q 流出流出 ux | x=l = q / k2. 在在 x = l 處有熱流處有熱流 q 流入流入 ux | x=l = q / k3. 在在 x = 0 處有熱流處有熱流 q 流出流出 ux | x=l = q / k4. 在在 x = 0 處有熱流處有熱流 q 流入流入 ux | x=l = q / kdsdtnukdq 這里這里 為沿?zé)崃鞣较虻姆较驅(qū)?shù)為沿?zé)崃鞣较虻姆较驅(qū)?shù)nu nukq 邊界上有邊界上有熱交換熱交換)|(|11uukxuklxlx

6、)|(|1010uukxukxx 電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)9/12拉普拉斯方程與拉普拉斯算子拉普拉斯方程與拉普拉斯算子二維熱傳導(dǎo)方程二維熱傳導(dǎo)方程: ut = a2uxx + uyy三維熱傳導(dǎo)方程三維熱傳導(dǎo)方程: ut = a2uxx + uyy + uzz 熱傳導(dǎo)問(wèn)題中熱傳導(dǎo)問(wèn)題中,如果物體內(nèi)部沒(méi)有熱源如果物體內(nèi)部沒(méi)有熱源,物體外圍物體外圍溫度不隨時(shí)間變化溫度不隨時(shí)間變化,則經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間以后則經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間以后,物體內(nèi)部物體內(nèi)部的溫度將不再改變的溫度將不再改變,趨于穩(wěn)定狀態(tài)。趨于穩(wěn)定狀態(tài)。ut =0uxx + uyy + uzz =0 (laplace方程方程)0222222 zuyuxu或或電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)10/12正方形區(qū)域上第一邊值問(wèn)題正方形區(qū)域上第一邊值問(wèn)題 yyuxuxuyuyxuuyyxx sin), 1(0)1 ,()0 ,(), 0(1,0, 0yshxshyxu sin),( 準(zhǔn)確解準(zhǔn)確解:o1x1y電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)11/12習(xí)題習(xí)題2.6（p.2