計算機(jī)仿真大賽一等獎作品

1、編號：重慶郵電大學(xué)第五屆計算機(jī)仿真大賽 一等獎 作品題號: c 組別： 高年級組 2011年4月6日單級移動式倒立擺動態(tài)控制仿真摘要單級移動式倒立擺系統(tǒng)是一個典型的單輸入雙輸出的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，具有非線 性、強(qiáng)耦合、多變量、高階次等特性，作為控制系統(tǒng)的被控對象，它是一個理想的教 學(xué)實驗設(shè)備，許多抽象的控制概念都可以通過倒立擺直觀地表現(xiàn)出來。應(yīng)用上，倒立 擺廣泛應(yīng)用于控制理論研究、航空航天控制、機(jī)器人、雜技項桿表演等領(lǐng)域，在自動 化領(lǐng)域中具有重要的價值。研究倒立擺的精確控制對工業(yè)生產(chǎn)中復(fù)雜對象的控制有著重要的應(yīng)用價值，因此 倒立擺仿真或?qū)嵨锟刂茖嶒炇强刂祁I(lǐng)域中用來檢驗?zāi)撤N控制理論或方法的典型方案

2、。 許多抽象的控制概念如控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性、可觀性、系統(tǒng)收斂速度和系統(tǒng)抗 干擾能力等，都可以通過倒立擺系統(tǒng)直觀的表現(xiàn)出來。在控制過程中，它能有效地反 映諸如可鎮(zhèn)定性、魯棒性、隨動性以及跟蹤等許多控制中的關(guān)鍵問題，是檢驗各種控 制理論的理想模型。因而其研究具有重大的理論和實踐意義。本文以單級移動式倒立擺為被控對象，參考古典控制理論設(shè)計控制器（如pid控制 器）的設(shè)計方法和現(xiàn)代控制理論設(shè)計控制器（最優(yōu)控制）的設(shè)計方法。針對單級移動 式倒立擺系統(tǒng)的單輸入雙輸出、非線性、強(qiáng)耦合的不穩(wěn)定性，我們采用線性二次最優(yōu) lqr控制和pid控制，通過matlab軟件進(jìn)行實時控制（擺桿的角度和小車的位移）和系

3、 統(tǒng)仿真實驗實現(xiàn)對小車位置和擺桿偏角的同時閉環(huán)控制，達(dá)到了預(yù)期效果（動態(tài)仿真）。關(guān)鍵詞：非線性 倒立擺 實時控制 系統(tǒng)仿真 動態(tài)161.問題重述單級移動式倒立擺原理如下圖 1-1 所示，圖 1-1其中小車質(zhì)量m = 3kg;擺桿質(zhì)量m = 0.1kg;擺桿為均勻的，質(zhì)心l=0.5米;重力加 速度g=9.81;設(shè)x1為擺桿角度，x2為擺桿角速度，x3為小車位移，x4為小車速度，其中 小車水平受力為輸入量，建立其狀態(tài)方程：采用狀態(tài)反饋進(jìn)行控制，其控制原理如下圖 1-2 所示：圖 1-2計算得 k1=-446.7287,k2= -91.0448,k3= -244.6376 ,k4=-110.0896

4、 時系統(tǒng)穩(wěn)定。 建立倒立擺控制仿真系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號為階躍信號和隨機(jī)信號時，實時演示倒立擺的 工作情況。2.單級倒立擺模型的建立2.1 倒立擺概述 單級倒立擺是一個自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，是處于倒置不穩(wěn)定狀態(tài)，人為控制使其處于動態(tài)平衡的一種擺，一般是由一個可以在水平軌道上自由移動的小車和倒置擺鉸鏈而 成，用一種強(qiáng)有力的控制方法對小車的速度作適當(dāng)?shù)目刂疲瑥亩谷繑[桿倒置穩(wěn)定 于正上方，這個系統(tǒng)也叫自動平衡車。懸掛式倒立擺系統(tǒng)開始工作時，首先使小車按 擺桿的自由振蕩頻率擺動，擺桿隨之大幅度擺動，當(dāng)擺桿接近于倒立擺垂直位置時， 自動轉(zhuǎn)換控制方法，使其穩(wěn)定于倒置狀態(tài)。隨著倒立擺系統(tǒng)的控制研究的不斷深入， 倒立

5、擺系統(tǒng)的種類也由簡單的單線倒立擺發(fā)展為多種形式的倒立擺。常見的倒立擺系 統(tǒng)一般由小車和擺桿兩部分構(gòu)成(另有旋轉(zhuǎn)式倒立擺等形式)，其中擺桿可能是一級、 兩級甚至多級(級數(shù)越多，控制難度越大)，其長度也可能是可變化的。控制的目標(biāo)一 般都是通過給小車施加一個水平方向的力，使小車在期望位置上穩(wěn)定，而擺桿達(dá)到豎 直向上的動態(tài)平衡狀態(tài)。2.2 數(shù)學(xué)準(zhǔn)備 對系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型是系統(tǒng)分析、設(shè)計的前提，而一個準(zhǔn)確又簡練的數(shù)學(xué)模型將大大簡化后期的工作。為了簡化系統(tǒng)分析，在實際的模型建立過程中，要忽略空氣流動阻力，以及各種次要的摩擦阻力。這樣，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)剛性桿 組成的系統(tǒng)，如下圖所示。本系統(tǒng)內(nèi)部各

6、相關(guān)參數(shù)定義如下：m小車質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車摩擦系數(shù)l擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度i擺桿慣量f加在小車上的力x小車位置f 擺桿與垂直向上方向的夾角q 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下） 下圖是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中， n 和 p 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量 方向定義如圖，圖示方向為矢量正方向。應(yīng)用 newton 方法來建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程過程如下： 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：m&x& =f - bx& - n由擺桿水平方向的受力進(jìn)

7、行分析可以得到下面等式：2n = m d( x + l sinq )dt 2即： n = m&x& + mlq&&cosq - mlq&2 sinq把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程：(m + m)&x& + bx& + mlq& cosq - mlq& 2 sin q = f（2-1）為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以 得到下面方程：2p - mg = -m d(l cosq )dt 2即： p - mg = mlq&&sinq + mlq&

8、;2 cosq力矩平衡方程如下：- pl sin q - nl cosq = iq&注意：此方程中力矩的方向，由于q = p + f , cosf = - cosq , sin f = - sinq ，故等式前面有負(fù)號。合并這兩個方程，約去 p 和 n ，得到第二個運動方程：(i + ml 2 )q& + mgl sin q = -ml&x&cosq（2-2）2.3 模型建立2.3.1 微分方程建立設(shè)q = p + f ，當(dāng)擺桿與垂直向上方向之間的夾角f 與 1（單位是弧度）相比很小，即 f << 1時，則可以進(jìn)行近似處理： cosq = -1 ，

9、sinq = -f ， ( dq ) 2 = 0 。為了與控dt制理論的表達(dá)習(xí)慣相統(tǒng)一，即u 一般表示控制量，用u 來代表被控對象的輸入力 f ，線 性化后得到該系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的微分方程表達(dá)式：íïì(i + ml 2 )f& - mglf = ml&x&ïî(m + m)&x& + bx& - mlf& = u(2-3)2.3.2 傳遞函數(shù)建立對方程組（2-3）進(jìn)行拉普拉斯變換，得到ïì(i + ml 2 )f(s)s 2 - mglf(s) = mlx (s)s 2&

10、#237;ïî(m + m) x (s)s 2 + bx (s)s - mlf(s)s 2 = u (s)注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時假設(shè)初始條件為 0。由于輸出為角度f ，求解方程組（2-4）的第一個方程，可以得到（2-4）2x (s) = (i + ml ) -mlg f(s)s 2把上式代入方程組（2-4）的第二個方程，得到é + 2 ùé 2 ù(i(m + m)êml ) -g (i + mlúf(s)s 2 + bê) g- úf(s)s - mlf(s)s 2 = u (s)ëm

11、ls 2 ûë mls 2 û整理后得到以輸入力u 為輸入量，以擺桿擺角f 為輸出量的傳遞函數(shù)：ml s 22g (s ) = f(s) = qu (s)s 4 + b( i + ml ) s 3 - (m + m)mgl s 2 - bmgl sqqq其中q = (m + m)(i + ml 2 ) - (ml ) 2 若取小車位移為輸出量，可得傳遞函數(shù)：( i + ml 2 ) mgl s 2 -22g (s) = x (s) = q q u (s)s 4 + b( i + ml ) s 3 - (m + m)mgl s 2 - bmgl sqqq2.4 狀態(tài)

12、空間模型2.4.1 狀態(tài)空間模型的建立 狀態(tài)空間模型的一般形式如下：x& =ax + bfy = cx + df2.4.2 系統(tǒng)向量的設(shè)定設(shè) x1 為擺桿角度，x2 為擺桿角速度，x3 為小車位移，x4 為小車速度tx& =éë x&1x& 2x&3x& 4 ùû001001000t0é1 0ùê0 0úé0100ùê m + mêg 00ú0úa = ê mlú c = ê &

13、#250;ê 0 0 0 1úê0 0úê úê - m g0 0 0úê0 1úëê m úû ë ûb = é0- 101 ùd = 00tëê mlm úû2.4.3 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型將上面的向量帶入狀態(tài)方程的一般形式，得到如下的狀態(tài)方程：3.單級倒立擺模型性能分析3.1 系統(tǒng)能控性分析系統(tǒng)能控性就是研究系統(tǒng)的全部狀態(tài)是否都會受到輸入的影響，從而實現(xiàn)對系統(tǒng)狀 態(tài)的控制。

14、能控性體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入對狀態(tài)的控制能力。1根據(jù)系統(tǒng)能控性定義可知，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是：能控性矩陣wc = éëa ab lan-1 b ùû 為行滿秩。仿真程序：2 n=length(a); q=zeros(n); q(:,1)=b;for i=2:n%按照公式 q=b ab a2*b.a(n-1)*b q(:,i)=a*q(:,i-1);end m=rank(q); if(m=n)disp('該系統(tǒng)可控！');m elsedisp('該系統(tǒng)不可控！');m end仿真結(jié)果：仿真結(jié)果分析：圖 3-1-1由仿真結(jié)果知

15、，可控性矩陣的秩為 4，即為行滿秩，故該系統(tǒng)具有可控性。3.2 系統(tǒng)能觀性分析 系統(tǒng)的能觀性就是系統(tǒng)狀態(tài)變量的任何運動完全可以由輸出來反映。能觀性表征了輸出對狀態(tài)的反應(yīng)能力。1根據(jù)系統(tǒng)能觀性定義知，能觀性完全能觀的充分必要條件是：能觀性矩陣w0 = éëcca ltcan-1 ùû為列滿秩。仿真程序： v=obsv(a,c)%求能觀性矩陣 rank(v)%求能觀性矩陣的秩仿真結(jié)果:圖 3-2-1由仿真結(jié)果知，可觀性矩陣的秩為 4，即為為列滿秩，故該系統(tǒng)具有可觀性。3.3 階躍響應(yīng)分析3.3.1 開環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 仿真程序：%求解系統(tǒng)的特征值% p=ei

16、g(a) t1=0:0.01:1;step(a,b,c,d,1,t1) %階躍響應(yīng)仿真結(jié)果：圖 3-3-1 原系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線 結(jié)果分析：由于特征方程有一個正實部的根，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.3.2 閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)加入反饋 k=-446.7287-91.0448 -244.6376 -110.0896后的階躍響應(yīng)仿真程序：% 帶反饋 t1=0:0.01:5; u1=0.25*ones(size(t1); y,x=lsim(a-b*k,b,c,d,u1,t1); plot(t1,y(:,2);title('加反饋后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線');grid on仿真結(jié)果：仿真結(jié)果分析圖 3-

17、2-2由圖 3-2-2 可知，系統(tǒng)的快速性很好，過渡過程時間不超過 2.5 秒。相比開環(huán)系 統(tǒng)的階躍響應(yīng)（圖 3-3-1）來說，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性能明顯較好。4.單級倒立擺模型動態(tài)仿真4.1 小車模型的建立4.1.1 車身的創(chuàng)建如圖 4-1-1 創(chuàng)建的簡易車身圖 4-1-14.1.2 車輪的創(chuàng)建根據(jù)圓的繪圖公式 x=a+r*sin(t); y=b+r*cos(t);如圖 4-1-2 所示創(chuàng)建的車輪figure(1)圖 4-1-2plot(x5-4,y5,'ko',x5+4,y5,'ko',x1-4,x2+4,y1-1,y1-1,'k-',x1-4,

18、x2+4,y2+1,y2+1,'k-',x1-4,x1-4,y1-1,y2+1,'k-',x2+4,x2+4,y1-1,y2+1,'k-')axis(-15 15 -5 10)4.4.3 整車模型的創(chuàng)建4.2 倒立擺模型的建立4.2.1 擺桿和鉸鏈的創(chuàng)建4.3 單級倒立擺動態(tài)仿真4.3.1 輸入信號為階躍信號的動態(tài)顯示 階躍信號的產(chǎn)生 4%階躍函數(shù)t0=0; t1=-2; t2=10;t=t1:0.001:t2;x=(t-t0)>=0;plot(t,x,'r-'),axis(t1 t2 -0.5 2); xlabel(

19、9;t');ylabel('x');title('階躍信號'); grid on4.3.2 輸入信號隨機(jī)信號時的動態(tài)顯示%隨機(jī)信號的產(chǎn)生5 fs=500;%頻率x=-1+(1-(-1).*rand(100,1);%從-1 到 1 創(chuàng)建隨機(jī)信號plot(x);title('隨機(jī)信號');圖 4-3-24.3.3 系統(tǒng)對階躍信號和隨機(jī)信號的動態(tài)響應(yīng)圖 4-3-1圖 4-3-2動態(tài)仿真描述：圖 4-3-3開始給單級移動式倒立擺一個階躍信號（隨機(jī)信號），倒立擺隨之?dāng)[動，倒立擺的 角度和小車位移就會發(fā)生變化，通過反饋控制，給小車施加外力使小車產(chǎn)生一

20、定的加 速度，從而使倒立擺基本上趨于穩(wěn)定。5.結(jié)語計算機(jī)仿真是提高學(xué)生綜合素質(zhì)的一種有效方式，在這次競賽過程中，我們分工 協(xié)作，相互配合，相互鼓勵，不但學(xué)會了 matlab 仿真的相關(guān)知識，了解到一些關(guān)于控 制理論的算法，而且實現(xiàn)了單級移動式倒立擺的動態(tài)控制，理論聯(lián)系實際，讓我們受 益非淺 。附錄%【小車動態(tài)仿真源程序】smallcarmove.m%設(shè) x1 為擺桿角度，x2 為擺桿角速度，x3 為小車位移，x4 為小車速度 m=3;%小車質(zhì)量m=0.1;%擺桿質(zhì)量 l=0.5;%質(zhì)心 g=9.81;%重力加速度 k=5;k1=-446.7287;%x1 反饋系數(shù) k2= -91.0448;%

21、x2 反饋系數(shù) k3= -244.6376;%x3 反饋系數(shù) k4=-110.0896;%x4 反饋系數(shù)%狀態(tài)方程的建立 a21=(m+m)*g/(m*l); a41=-m*g/m;a=0 1 0 0;a21 0 0 0;0 0 0 1;a41 0 0 0; b21=-1/(m*l);b41=1/m; b=0;b21;0;b41;c=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;%輸出為小車位移和擺桿角度 d=0;0;0;0;k=k1 k2 k3 k4;dt=0.01;%系統(tǒng)初始值 zf=0 0 1 0' z=0 0 2 0' figure(2)for i=1:500z1=(a-b*k)*(z-zf); z=z+z1*dt; y(:,i)=z;%作動畫x1=z(3)-k/2+z(4)*dt*i; x2=z(3)+k/2+z(4)*dt*i; y1=4;y2=0;r1=2; x4=(x1+x2)/2+r1*sin(z(1); y4=y2+r1*cos(z(1); t=0:pi/100:2*pi; x3=x4+r1*cos(t); y3=y4+r1*s