第四章矩陣的特征值2總18

1、1. 特征值與特征向量的基本概念特征值與特征向量的基本概念)0( xxax 2. 特征值和特征向量的求法特征值和特征向量的求法0e a由由解得解得特征值特征值 i 0 xaei)( 由由解得解得對(duì)應(yīng)于特征值對(duì)應(yīng)于特征值 i 的特征向量的特征向量復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)3. 相關(guān)結(jié)論：相關(guān)結(jié)論：2. 屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍 是屬于這個(gè)特征值的特征向量是屬于這個(gè)特征值的特征向量1.陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的,一一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一;一個(gè)特征向量不能一個(gè)特征向量不能屬

2、于不同的特征值屬于不同的特征值.,)6.,)5*的一個(gè)特征值的一個(gè)特征值是是則則可逆可逆若若的一個(gè)特征值的一個(gè)特征值是矩陣是矩陣對(duì)任意數(shù)對(duì)任意數(shù)aaaakikk .1 )4;,)3);()2);(1:,. 311的特征值的特征值是是的特征值的特征值是是可逆時(shí)可逆時(shí)當(dāng)當(dāng)為正整數(shù)為正整數(shù)的特征值的特征值是矩陣是矩陣為任意常數(shù)為任意常數(shù)的特征值的特征值是矩陣是矩陣）則則的特征向量，的特征向量，的對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)是是的特征值的特征值是是若若aiaamakkakaxamm 4. 屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的5. n階矩陣階矩陣a與它的轉(zhuǎn)置矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣at有相同

3、的特征值有相同的特征值.6.6.設(shè)設(shè)n n階方陣階方陣a a的的n n個(gè)特征值為個(gè)特征值為 ),(,21復(fù)根復(fù)根其中可能有重根其中可能有重根n aanniniiii 2111,則則7.7.矩陣矩陣a a可逆的充要條件是可逆的充要條件是: : 矩陣矩陣a a的任一特征值不為零的任一特征值不為零相似矩陣及其性質(zhì)相似矩陣及其性質(zhì)n n階矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件階矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件關(guān)于約當(dāng)形矩陣的概念關(guān)于約當(dāng)形矩陣的概念第二節(jié)第二節(jié) 相似矩陣與矩陣對(duì)角化相似矩陣與矩陣對(duì)角化一、相似矩陣的概念相似矩陣的概念定義定義4.34.3bababapppnnba.,1記記為為相相似似與與則則稱稱矩矩陣陣成成

4、立立使使得得奇奇異異矩矩陣陣階階非非如如果果存存在在階階矩矩陣陣為為設(shè)設(shè) 稱為相似變換的矩陣稱為相似變換的矩陣所作的相似變換所作的相似變換為對(duì)為對(duì)稱稱paapp1 babapppba.,5111,2004,15131所所以以，使使得得存存在在例例如如：對(duì)對(duì) .:0,.1baabanba證證明明，且且階階矩矩陣陣為為例例 kkbaba,)4(則則)a()()(ba 則則（1）自反性：）自反性： aa（其中（其中 k 是正整數(shù)）是正整數(shù)）（5）若）若ab ， （2）對(duì)稱性：）對(duì)稱性： 若若ab，則，則ba（3）傳遞性：）傳遞性： 若若ab，bc，則，則ac是關(guān)于是關(guān)于a 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 二、相似

5、矩陣的性質(zhì)二、相似矩陣的性質(zhì),1ppba 若若ppeappbapbpapbpannnn11111110 ak的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式aeaaaaaaaannnn 1110)( .)(1pbp .1pbpk 則則peabababapnnnn11110)( ppb1 ppb1 ppb1 ppb1 k個(gè)個(gè))()(ba 故故： 若若n 階矩陣階矩陣 a 與與 b 相似，則相似，則 a與與 b 有有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值.bapp1pepappeb)( 11eapeap 1證明證明: 因因 a 與與 b 相似相似,所以有可逆矩陣所以有可逆矩陣p,使使 故故 定理

6、定理4.54.5peap)(1 推論推論若若 n 階矩陣階矩陣 a 與對(duì)角矩陣與對(duì)角矩陣 相似相似),(ndiag 21是是a 的的n 個(gè)特征值。個(gè)特征值。 n ,21則則又特征值就是特征方程的根又特征值就是特征方程的根,從而有相同的特征值從而有相同的特征值.1 1）相似矩陣有相同的秩）相似矩陣有相同的秩. .2 2）相似矩陣的行列式相等）相似矩陣的行列式相等. .3 3）相似矩陣或都可逆，或都不可逆）相似矩陣或都可逆，或都不可逆; ; 當(dāng)它們可逆時(shí)，它們的逆也相似當(dāng)它們可逆時(shí)，它們的逆也相似. .相似矩陣還具有以下性質(zhì)相似矩陣還具有以下性質(zhì):問(wèn)題：1）是否所有的）是否所有的n階矩陣能與對(duì)角矩

7、陣相似？階矩陣能與對(duì)角矩陣相似？ 如不，相似需要何條件？如不，相似需要何條件？2)如如n階矩陣階矩陣a能與對(duì)角矩陣相似，則相似的能與對(duì)角矩陣相似，則相似的 變換矩陣變換矩陣p如何得到？如何得到？3)與與n階矩陣階矩陣a相似的對(duì)角矩陣是怎樣的矩陣？相似的對(duì)角矩陣是怎樣的矩陣？4）對(duì)某些）對(duì)某些n階矩陣不能與對(duì)角矩陣相似，則階矩陣不能與對(duì)角矩陣相似，則 能否有新的且較簡(jiǎn)單的矩陣與它相似？能否有新的且較簡(jiǎn)單的矩陣與它相似？三、三、n n階矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件階矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件.1 nnanan 其其中中個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量有有矩矩陣陣相相似似階階對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣與與階

8、階矩矩陣陣 定理定理4.64.6證明證明：如果：如果a與對(duì)角矩陣相似，則存在可逆矩陣與對(duì)角矩陣相似，則存在可逆矩陣 app1使使得得p),(21np 把把 p 用其列向量表示為用其列向量表示為,1 papapp得得由由 nnna 212121,即即 nnnaaa ,221121 也即也即 ., 2 , 1niaiii 于于是是有有., 的的特特征征向向量量的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可見(jiàn)見(jiàn)iiiapa 因?yàn)橐驗(yàn)?可逆，所以可逆，所以 故故 都是都是非零向量，且非零向量，且 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)p, 0 pn ,21n ,21反之反之, 如果如果 n

9、 階方陣階方陣 a 有有n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量， 滿足滿足 n ,21niaiii, 2 , 1, ),(21np 那么令那么令則則 p 可逆，且可逆，且),(211ndiagapp 如果如果n 階矩陣階矩陣a 的的n 個(gè)特征根互不相同個(gè)特征根互不相同, ,則則a 與對(duì)角矩陣相似與對(duì)角矩陣相似. . 推論推論從上述定理的證明過(guò)程可知：從上述定理的證明過(guò)程可知：為列向量排列而成的。為列向量排列而成的。作作個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量就是以這就是以這可逆矩陣可逆矩陣）（的相似標(biāo)準(zhǔn)形。的相似標(biāo)準(zhǔn)形。為為一的，稱一的，稱是唯是唯的排列順序，則的排列順序，則的特征值，

10、若不計(jì)的特征值，若不計(jì)都是都是的主對(duì)角元素的主對(duì)角元素相似時(shí)，相似時(shí)，與對(duì)角矩陣與對(duì)角矩陣當(dāng)矩陣當(dāng)矩陣）（npaaak21 判斷判斷p169-171例例1-例例3中矩陣中矩陣a是否與對(duì)角矩陣是否與對(duì)角矩陣相似相似,并寫(xiě)出對(duì)角矩陣及相似變換矩陣并寫(xiě)出對(duì)角矩陣及相似變換矩陣?yán)?說(shuō)明：說(shuō)明：a有有n個(gè)相異特征值是個(gè)相異特征值是a可以對(duì)角化的充可以對(duì)角化的充分非必要條件分非必要條件.iiinnainan 的的秩秩是是矩矩陣陣重重特特征征值值，對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)與與對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣相相似似階階矩矩陣陣 個(gè)向量的基礎(chǔ)解系。有必須重根，則的為簡(jiǎn)單說(shuō)：iiiinxaina0)( 定理定理4.74.7例例2

11、 2 判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？2424222213 a)(2013352122 a)(6333123211 a)(解解(1)( 91633312321ea由由1, 9, 0321 得得因?yàn)橐驗(yàn)?a 有三個(gè)不同的特征值，所以由推論知有三個(gè)不同的特征值，所以由推論知 a 可對(duì)角化?？蓪?duì)角化。 201335212ea由由 31 . 1321 的特征值為的特征值為所以所以a , 01 xea 代入代入把把解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系 111 故故 不能化為對(duì)角矩陣不能化為對(duì)角矩陣.a解解(2)解解(3)ea 由由 722 242422221. 7, 2321 得得得

12、方程組得方程組代入代入將將, 0221ea 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得解之得基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系.110,10221 ,0733xea 由由對(duì)對(duì)求得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系 2213 , 0211210102 由于由于.,321線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)所所以以 .,3可可對(duì)對(duì)角角化化因因而而個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量有有即即aa 例例3 設(shè)設(shè) 122212221a判斷判斷a是否可以對(duì)角化，是否可以對(duì)角化，若可以對(duì)角化，若可以對(duì)角化， 為對(duì)角陣，并求為對(duì)角陣，并求app1 使得使得100a求出可逆陣求出可逆陣p，解解 （1）求特征值求特征值 215122212

13、221 ea1, 5:321 解得解得042202420224321321321xxxxxxxxx求特征向量求特征向量510xia)( 將將代入代入得得111x11解得特征向量解得特征向量12 再將再將代入代入 022202220222321321321xxxxxxxxx得得 101x21解得特征向量解得特征向量 11022x0xia)( ,111x11,101x21 ,110x22 線性無(wú)關(guān)，故線性無(wú)關(guān)，故a可對(duì)角化可對(duì)角化 111101011p(2) 令令 則有則有 1151app（3）直接計(jì)算）直接計(jì)算100a比較麻煩，但由比較麻煩，但由 1151app可得可得 1115 ppa1100

14、100115 ppa則則易求易求 121112111311p 111101011 100100100)1()1(5 12111211131 251515152515151525311001001001001001001001001001100100115 ppa于是于是相相似似的的對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣。如如能能，給給出出能能否否與與對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣相相似似？則則有有特特征征值值biaaba,3;3 , 2 , 1333 例例4： 163053064a設(shè)設(shè)問(wèn)問(wèn)a能否對(duì)角化？若能對(duì)角能否對(duì)角化？若能對(duì)角,p則則求求出出可可逆逆矩矩陣陣化化.1為為對(duì)對(duì)角角陣陣使使app 解解 163053064ea 2

15、12 . 2, 1321 的全部特征值為的全部特征值為所以所以a練練習(xí)習(xí) 得得方方程程組組代代入入將將0121 xea 063063063212121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系,0121 .1002 解解系系得得方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)代代入入將將, 02 3 xea .,321線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)由由于于 所以所以 可對(duì)角化可對(duì)角化.a .1 , 1 , 13 t 110101102,321 p令令.2000100011 app 則則有有 , ,213 p若令若令111 012 100. 1 app則有則有00 00002 11即矩陣即矩陣 的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置的列向量

16、和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)要相互對(duì)應(yīng)p注意注意.,11).1,( , 0)1, 2 , 1( , 1);, 2 , 1( ,)(1為為約約當(dāng)當(dāng)塊塊稱稱即即如如果果中中階階矩矩陣陣在在jjijijanianiaaanijiiiiij 四、四、關(guān)于約當(dāng)（關(guān)于約當(dāng)（jordan)jordan)形矩陣的概念形矩陣的概念定義定義4.44.4或稱約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。為約當(dāng)形矩陣，都是約當(dāng)塊，則稱其中即，的所有子塊都是約當(dāng)塊如果一個(gè)分塊對(duì)角矩陣jjjjjjjss,121.1相相似似當(dāng)當(dāng)矩矩陣陣階階約約都都與與階階矩矩陣陣即即任任意意一一個(gè)個(gè)，使使得得矩矩陣陣可可逆逆階階，都都存存在在階階矩矩陣陣任任意意一一

17、個(gè)個(gè)jnanjatttnan 定理定理4.84.81.相似矩陣及其性質(zhì)相似矩陣及其性質(zhì)小結(jié)小結(jié)kkbaba,)2(則則)a(其中其中 k 是正整數(shù)是正整數(shù))(3)若若ab ,(1)傳遞性傳遞性:若若ab，bc,則則ac是關(guān)于是關(guān)于a 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式, )()(ba 則則(4)(4)相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式和相同的特征值相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式和相同的特征值. .(5) (5) 相似矩陣有相同的秩相似矩陣有相同的秩. .(6)(6)相似矩陣的行列式相等相似矩陣的行列式相等. .(7)(7)相似矩陣或都可逆相似矩陣或都可逆, ,或都不可逆或都不可逆; ; 當(dāng)它們可逆時(shí)當(dāng)它們可逆時(shí), ,它們的

18、逆也相似它們的逆也相似. .2. n階矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件階矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件.)1(個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量有有矩矩陣陣相相似似階階對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣與與階階矩矩陣陣nanan (2) 如果如果n 階矩陣階矩陣a 的的n 個(gè)特征根互不相同個(gè)特征根互不相同, ,則則a 與對(duì)角矩陣相似與對(duì)角矩陣相似. . iiinnainan 的的秩秩是是矩矩陣陣重重特特征征值值，對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)與與對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣相相似似階階矩矩陣陣 )3(3. 化化n階矩陣為對(duì)角矩陣的步驟階矩陣為對(duì)角矩陣的步驟,111111111 a.00100100 nb.,2是是否否相相似似判判斷斷下下列列兩兩矩矩陣陣ba思考題思考題1 滿足什么條件的矩陣一定可以對(duì)角化？滿足什么條件的矩陣一定可以