2022年中考數(shù)學(xué)二輪專題(2)開放探究問題（含答案）

1、專題二開放探究問題一、填空題1(原創(chuàng)題)寫出第三象限內(nèi)的一個點，并使得它在直線 yx 上，這個點可以是_解析寫出的點只要橫縱坐標(biāo)相等，且都是負(fù)數(shù)即可答案答案不唯一，如(1，1)二、解答題2(改編題)提出問題(1)如圖 1，在等邊ABC 中，點 M 是 BC 上的任意一點(不含端點 B，C)，連結(jié) AM，以 AM 為邊作等邊AMN，連結(jié) CN.求證：ABCACN.類比探究(2)如圖 2，在等邊ABC 中，點 M 是 BC 延長線上的任意一點(不含端點 C)，其它條件不變，(1)中結(jié)論ABCACN 還成立嗎？請說明理由拓展延伸(3)如圖 3， 在等腰ABC 中， BABC， 點 M 是 BC 上的

2、任意一點(不含端點 B，C)，連結(jié) AM，以 AM 為邊作等腰AMN，使頂角AMN ABC.連結(jié) CN.試探究ABC 與ACN 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由(1)證明等邊ABC，等邊AMN，ABAC，AMAN，BACMAN60.BAMCAN.BAMCAN(SAS)ABCACN.(2)解結(jié)論ABCACN 仍成立理由如下：等邊ABC，等邊AMN，ABAC，AMAN，BACMAN60，BAMCAN，BAMCAN.ABCACN.(3)解ABCACN.理由如下：BABC，MAMN，頂角ABC AMN，底角BACMAN，ABCAMN.ABAMACAN.又BAMBACMAC，CAN MANMAC，BAMCAN.B

3、AMCAN.ABCACN.3(原創(chuàng)題)如圖，點 A 與點 B 的坐標(biāo)分別是(1，0)，(5，0)，點 P 是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個動點(1)使APB30的點 P 有_個；(2)若點 P 在 y 軸上，且APB30，求滿足條件的點 P 的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點 P 在 y 軸上移動時，APB 是否有最大值？若有，求點 P 的坐標(biāo)，并說明此時APB 最大的理由；若沒有，也請說明理由解(1)以 AB 為邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形 ABC，以點 C 為圓心，AC 為半徑作C，交 y 軸于點 P1，P2.在優(yōu)弧 AP1B 上任取一點 P，如圖 1，圖 1則APB12ACB126030.使APB30的點 P 有

4、無數(shù)個填無數(shù)(2)當(dāng)點 P 在 y 軸的正半軸上時，過點 C 作 CGAB，垂足為 G，如圖 1.點 A(1，0)，點 B(5，0)，OA1，OB5.AB4.點 C 為圓心，CGAB，AGBG12AB2.OGOAAG3.ABC 是等邊三角形，ACBCAB4.CG AC2AG2 42222 3.點 C 的坐標(biāo)為(3，2 3)過點 C 作 CDy 軸，垂足為 D，連結(jié) CP2，如圖 1，點 C 的坐標(biāo)為(3，2 3)，CD3，OD2 3.P1，P2是C 與 y 軸的交點，AP1BAP2B30.CP2CA4，CD3，DP2 4232 7.點 C 為圓心，CDP1P2，P1DP2D 7.P2(0，2

5、3 7)P1(0，2 3 7)當(dāng)點 P 在 y 軸的負(fù)半軸上時，同理可得：P3(0，2 3 7)P4(0，2 3 7)綜上所述：滿足條件的點 P 的坐標(biāo)有：(0，2 3 7)，(0，2 3 7)，(0，2 3 7)，(0，2 3 7)(3)當(dāng)過點 A，B 的E 與 y 軸相切于點 P 時，APB 最大當(dāng)點 P 在 y 軸的正半軸上時，連結(jié) EA，作 EHx 軸，垂足為 H，如圖 2.E 與 y 軸相切于點 P，PEOP.EHAB，OPOH，EPOPOHEHO90.四邊形 OPEH 是矩形OPEH，PEOH3.EA3.EHA90，AH2，EA3，EH EA2AH2 3222 5，OP 5，P(0

6、， 5)當(dāng)點 P 在 y 軸的負(fù)半軸上時，同理可得：P(0， 5)理由：若點 P 在 y 軸的正半軸上，在 y 軸的正半軸上任取一點 M(不與點 P 重合)，連結(jié) MA，MB，交E 于點 N，連結(jié) NA，如圖 2 所示ANB 是AMN 的外角，ANBAMB.APBANB，APBAMB.若點 P 在 y 軸的負(fù)半軸上，同理可證得：APBAMB.綜上所述：當(dāng)點 P 在 y 軸上移動時，APB 有最大值，此時點 P 的坐標(biāo)為(0，5)和(0， 5)4(改編題)如圖，平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，一次函數(shù) y34xb(b 為常數(shù)，b0)的圖象與 x 軸、y 軸分別相交于點 A，B，半徑為 4 的O 與

7、x 軸正半軸相交于點 C，與 y 軸相交于點 D，E，點 D 在點 E 上方圖 2(1)若直線 AB 與CD有兩個交點 F、G.求CFE 的度數(shù)；用含 b 的代數(shù)式表示 FG2，并直接寫出 b 的取值范圍；(2)設(shè) b5，在線段 AB 上是否存在點 P，使CPE45？若存在，請求出 P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解(1)如圖 1CFE12COE，COE90，CFE45，如圖 2，作 OMAB 點 M，連結(jié) OF，直線 AB 的解析式為：y34xb，當(dāng) x0 時，y34xbb；當(dāng) y0 時，034xb，解得 x43b，B(0，b)，A(43b，0)ABb243b253b.SAOB12OAOB12ABOM，OM45b；FM2OF2OM24245b2，圖 1圖 2FG24FM24 4245b2，646425b2641125b2，直線 AB 與CD有兩個交點 F、G.4b5，(2)如圖 3，當(dāng) b5 時，直線 AB 與O 相切，存在點 P，這時點 P 就是線段 AB 與O 的切點，作 PHx 軸于點 H，連結(jié) OP，P 是切點，OPAB，OABAOP90，OPHPOH90；OABOPH，