泰勒公式及其妙用

1、泰勒公式及其妙用學(xué)號(hào)： 姓名 班級(jí)： 1公式形式泰勒公式可以用(無(wú)限或者有限)若干項(xiàng)連加式來(lái)表示一個(gè)函數(shù)，這些相加的項(xiàng)由函數(shù)在某一點(diǎn)(或者加上在臨近的一個(gè)點(diǎn)的 次導(dǎo)數(shù))的導(dǎo)數(shù)求得對(duì)于正整數(shù)n，若函數(shù) 在閉區(qū)間 上 階連續(xù)可導(dǎo)，且在 上 階可導(dǎo)。任取一是一定點(diǎn)，則對(duì)任意 成立下式： 其中 表示 的n階導(dǎo)數(shù)，多項(xiàng)式稱(chēng)為函數(shù) 在a處的泰勒展開(kāi)式，剩余的 是泰勒公式的余項(xiàng)，是 的高階無(wú)窮小。  2公式的余項(xiàng) 可以寫(xiě)成以下幾種不同的形式：1、佩亞諾(peano）余項(xiàng)：這里n階導(dǎo)數(shù)存在2、施勒米爾希-羅什(schlomilch-roche）余項(xiàng)：其中（0,1）。3、拉格朗日（lagrange）余

2、項(xiàng)： 其中（0,1）。4、柯西（cauchy）余項(xiàng)：其中（0,1）。5、積分余項(xiàng)：以上諸多余項(xiàng)事實(shí)上很多是等價(jià)的。3公式推廣1麥克勞林展開(kāi)函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)指上面泰勒公式中a取0的情況，即是泰勒公式的特殊形式，若 在x=0處n階連續(xù)可導(dǎo)，則下式成立：其中 表示 的n階導(dǎo)數(shù)。 2泰勒中值定理若 在包含 的某開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x（a，b）時(shí)，有：其中 是n階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)： 4公式應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用中，泰勒公式需要截?cái)啵蝗∮邢揄?xiàng)，一個(gè)函數(shù)的有限項(xiàng)的泰勒級(jí)數(shù)叫做泰勒展開(kāi)式。泰勒公式的余項(xiàng)可以用于估算這種近似的誤差。泰勒展開(kāi)式的重要性體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：1冪級(jí)數(shù)的求導(dǎo)和積分可以逐項(xiàng)進(jìn)行，因此求和函數(shù)相對(duì)比較容易。2一個(gè)解析函數(shù)可被延伸為一個(gè)定義在復(fù)平面上的一個(gè)開(kāi)片上的解析函數(shù)，并使得復(fù)分析這種手法可行。3泰勒級(jí)數(shù)可以用來(lái)近似計(jì)算函數(shù)的值。 在這里著重介紹泰勒公式在求極限中的應(yīng)用，以下為常用函數(shù)的泰勒展開(kāi)式。由上面幾個(gè)例題可以看出泰勒公式可以在我們求極限的過(guò)程中為我們帶來(lái)許多方便使許多復(fù)雜的極限問(wèn)題簡(jiǎn)單化，當(dāng)然泰勒公式的妙用還有很多，由于所學(xué)有限，就不在此一一列舉