高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽論文

1、2009高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： A 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?哈爾濱工程大學(xué) 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 文冷冷 2. 唐駿 3. 唐亮 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2009 年 9月 13 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2009高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：制動器試驗臺的電模擬技術(shù)摘要汽車的行車制動器的作用是在行駛時使車輛減速或者停止。制動器試驗臺是用于對所設(shè)計

3、的路試進行模擬實驗的設(shè)備，本文就是對制動器試驗臺的控制方法進行分析。針對問題（1）與問題（2）我們由題中給出的等效轉(zhuǎn)動慣量、機械轉(zhuǎn)動慣量及基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動慣量的定義和關(guān)系，再用轉(zhuǎn)動慣量定義等一些簡單的物理知識求出等效的轉(zhuǎn)動慣量是52kg·m2，有8種自由組合，電流的補償慣量是12kg·m2在問題（3）中，我們從兩個不同的角度來看待電流的作用。首先，電流的作用可以看作是補償轉(zhuǎn)動慣量；其次，電流的作用也可以看成是對主軸作用一個扭矩?；谶@兩個不同的角度，我們得以建立模型，導(dǎo)出一個重要結(jié)論： （=） 運用該結(jié)論，可以算出驅(qū)動電流的大小是174.8A?；诘刃мD(zhuǎn)動慣量的對應(yīng)能量由機械轉(zhuǎn)動慣

4、量與電流模擬的轉(zhuǎn)動慣量所對應(yīng)能量組成這個事實，于是我們又利用能量守恒定律與力矩的功的定義建立模型，并用模型對模型所得出的計算結(jié)果進行驗證，結(jié)果得到同樣的答案，充分說明所得電流的正確性。針對問題（4），題中給出了評價控制方法優(yōu)劣的一個重要數(shù)量指標是能量誤差的大小，于是我們利用力矩的功的定義以及動能定理建立模型。用模型解決問題四的關(guān)鍵就是計算積分，此處我們把整個制動時間離散化為0.01s的時間段，對每一時間段的電流做功進行求和，用這個和近似代表積分的結(jié)果。得出的結(jié)論是在該控制方法下得到相對能量誤差為5.5%，所以可以認為該方法比較精確。 針對問題（5），直接用問題三中導(dǎo)出的模型的結(jié)論，我們得到用上

5、一時間段的角加速度來設(shè)計本時間段電流的方案。然后我們借用了第四問附帶的表格中的數(shù)據(jù)來檢驗該方案的可行性，方法是將電流做的功代入實驗臺上制動過程的動能定理關(guān)系式進行驗證，結(jié)果電流做功的值很好地符合了該關(guān)系式，從而得出此電流方案可行性較大。在問題（5）的電流設(shè)計方案中，我們提出了以下不足：1）在00.01s內(nèi)無電流2）將上一時間段的末轉(zhuǎn)速（即本時間段的初轉(zhuǎn)速）用于計算，必然導(dǎo)致Ii的運行向后延遲一段微小時間。3）用這種方法設(shè)計出的電流太大，從安全角度考慮存在著安全隱患。在問題（6）中我們根據(jù)以上不足，對方案進行了相應(yīng)的完善。主要是用曲線擬合的方法補償了00.01s時間段內(nèi)的電流值，還提出了用上一時

6、間段的中間時刻的角加速度來計算本時間段的電流的算法。關(guān)鍵字：制動器試驗臺 等效慣量 電流控制 動能定理 能量守恒定律 機械轉(zhuǎn)動慣量 基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動慣量 扭矩一、 問題重述制動器就是剎車。它是使機械中的運動物件停止或減速的機械零件。汽車的制動性是確保車輛行駛的主、被動安全性和提升車輛行駛的動力性的決定因素之一。重大交通事故往往與制動距離太長、緊急制動時發(fā)生側(cè)滑等情況有關(guān)，因此汽車的制動性是汽車安全行駛的重要保障。而制動器是制動系中直接制約汽車運動的一個關(guān)鍵裝置，是汽車上最重要的安全部件，所以它的工作性能就顯得尤為重要。 因此，進行制動器試驗，檢測其裝配質(zhì)量，評價它的綜合性能，成為改善制動器制動性能不可

7、或缺的一部分。因此要在一種模擬性能好、試驗精度高的制動器實驗臺上對制動器進行測試。為了更好地模擬我們可以對一些量進行轉(zhuǎn)化和定義：“將車輛平動時具有的能量（忽略車輪自身轉(zhuǎn)動具有的能量）等效地轉(zhuǎn)化為試驗臺上飛輪和主軸等機構(gòu)轉(zhuǎn)動時具有的能量，與此能量相應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量稱為等效的轉(zhuǎn)動慣量，試驗臺上的主軸等不可拆卸機構(gòu)的慣量稱為基礎(chǔ)慣量，飛輪組由若干個飛輪組成，使用時根據(jù)需要選擇幾個飛輪固定到主軸上，這些飛輪的慣量之和再加上基礎(chǔ)慣量稱為機械慣量。”而在實際應(yīng)用過程中，對于一些等效的轉(zhuǎn)動慣量是不能完全由機械慣量表示出來的，這時可以讓電動機在一定規(guī)律的電流控制下參與工作，補償由于機械慣量不足而缺少的能量，從而滿

8、足模擬試驗的原則。為了實現(xiàn)以上的目標就要計算一些飛輪的轉(zhuǎn)動慣量，從而可以看出哪些飛輪能更好的完成制動。還要計算一些等效慣量，以及需要電動機補償多大的轉(zhuǎn)動慣量。同時還必須要確立電動機驅(qū)動電流與瞬時扭矩或瞬時轉(zhuǎn)速的關(guān)系，再通過計算機控制方法（把整個制動時間離散化為許多小的時間段，比如10 ms為一段，然后根據(jù)前面時間段觀測到的瞬時轉(zhuǎn)速或瞬時扭矩，設(shè)計出本時段驅(qū)動電流的值，這個過程逐次進行，直至完成制動）計算一些時間段的電流值。現(xiàn)在，我們要解決的問題是：1. 車輛單個前輪的滾動半徑為0.286 m，制動時承受的載荷為6230 N，求等效的轉(zhuǎn)動慣量。2. 飛輪組由3個外直徑1 m、內(nèi)直徑0.2 m的環(huán)

9、形鋼制飛輪組成，厚度分別為0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，鋼材密度為7810 kg/m3，基礎(chǔ)慣量為10 kg·m2，問可以組成哪些機械慣量？設(shè)電動機能補償?shù)哪芰肯鄳?yīng)的慣量的范圍為 -30, 30 kg·m2，對于問題1中得到的等效的轉(zhuǎn)動慣量，需要用電動機補償多大的慣量？3. 建立電動機驅(qū)動電流依賴于可觀測量的數(shù)學(xué)模型。在問題1和問題2的條件下，假設(shè)制動減速度為常數(shù)，初始速度為50 km/h，制動5.0秒后車速為零，計算驅(qū)動電流。4. 對于與所設(shè)計的路試等效的轉(zhuǎn)動慣量為48 kg·m2，機械慣量為35 kg·m2，主軸初轉(zhuǎn)速為514

10、轉(zhuǎn)/分鐘，末轉(zhuǎn)速為257轉(zhuǎn)/分鐘，時間步長為10 ms的情況，用某種控制方法試驗得到的數(shù)據(jù)見附表。請對該方法執(zhí)行的結(jié)果進行評價5. 按照第3問導(dǎo)出的數(shù)學(xué)模型，給出根據(jù)前一個時間段觀測到的瞬時轉(zhuǎn)速與/或瞬時扭矩，設(shè)計本時間段電流值的計算機控制方法，并對該方法進行評價。6. 第5問給出的控制方法是否有不足之處？如果有，請重新設(shè)計一個盡量完善的計算機控制方法，并作評價。二、模型假設(shè)a路試時輪胎與地面的摩擦力為無窮大。b模擬實驗中，可認為主軸的角速度與其上連接的飛輪等部件始終一致。c. 忽略汽車屏東時車輪自身轉(zhuǎn)動具有的能量。d. 試驗臺采用的電動機的驅(qū)動電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比,比例系數(shù)為K=1.5A

11、/N·m。e. 不考慮觀測誤差、隨機誤差和連續(xù)問題離散化所產(chǎn)生的誤差。f. 重力常數(shù)g=9.8N/Kg。 三、符號說明: 車的質(zhì)量（kg）：飛輪的質(zhì)量（kg）: 汽車所受的重力(N): 重力常量(N/kg):車前輪半徑(m)：飛輪的轉(zhuǎn)動慣量（kg·m2):等效轉(zhuǎn)動慣量(kg·m2):機械轉(zhuǎn)動慣量(kg·m2):電流補償?shù)霓D(zhuǎn)動慣量(kg·m2):飛輪的外直徑(m):飛輪的內(nèi)直徑(m): 密度（kg/m3）：飛輪的厚度（m）: 角速度(rad/s)：車輛平動時的速度（m/s): 時間(s)： 角加速度(rad/s2) ：第i個時間段的角加速度(ra

12、d/s2)：第i個時間段初的轉(zhuǎn)速(r/s) :制動加速度大小(m/ s2)：第i個時間段初的角速度(rad/s)：第i個時間段內(nèi)主軸轉(zhuǎn)過的角量(rad)： 制動器扭矩(N·m)：第i個時間段內(nèi)制動器的扭矩(N·m)：電流產(chǎn)生的扭矩(N·m)：電流產(chǎn)生的扭矩所做的功(J)：在第i個時間段內(nèi)電流產(chǎn)生的扭矩所做的功(J)：路試時制動器做的功(J)：試驗臺上制動器做的功(J)四、模型的建立與求解問題1 現(xiàn)欲將一定載荷下車輛平動時具有的能量等效地轉(zhuǎn)化為試驗臺上飛輪和主軸等機構(gòu)轉(zhuǎn)動時具有的能量，得：又由簡單物理學(xué)原理，得： 又由已知，=6230N綜上解得：問題2 空心圓柱體的

13、轉(zhuǎn)動慣量公式： 所以三個不同飛輪的轉(zhuǎn)動慣量分別為：飛輪質(zhì)量：代入相應(yīng)的數(shù)據(jù)可得：30（N·m）60（N·m）120（N·m）由自由組合可以組成以下：10（N·m） 40（N·m） 70（N·m） 100（N·m） 130 （N·m）160（N·m） 190（N·m） 220（N·m）八種機械慣量，而等效的轉(zhuǎn)動慣量為52 （N·m）所以我們把機械慣量設(shè)為40（N·m）或70（N·m），因此就需要補償12（N·m）或者-18（N·m）。但是

14、從節(jié)約能源以及用電的安全角度考慮，我們選擇機械慣量為40（N·m）。問題3模型：我們從兩個不同的角度來看待電流的作用進而導(dǎo)出模型。首先，我們把電流看作是對主軸提供一個與角加速度方向相反的扭矩。應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律，各量的關(guān)系如下圖，可以得到以下方程（以下所出現(xiàn)的所有方程中的量均表示絕對值）： （1）圖1然后我們從另一個角度看待電流的作用即補償轉(zhuǎn)動慣量，同理，由轉(zhuǎn)動定律可得到以下方程： （2）得： （=） （3）由運動學(xué)公式得 （4）有運動學(xué)關(guān)系得 （5） 又已知 （6）由以上各式可得代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得 =174.8A模型：下面我們用能量守恒定律建立模型，對模型得出的結(jié)論進行驗證。我們已經(jīng)知道等

15、效轉(zhuǎn)動慣量對應(yīng)的能量是總能量，而等效轉(zhuǎn)動慣量由機械轉(zhuǎn)動慣量及電流所模擬的轉(zhuǎn)動慣量組成，也就是說機械轉(zhuǎn)動慣量與電流所模擬的轉(zhuǎn)動慣量所對應(yīng)的能量之和為總能量 。由此可以得出以下各式： （7） （8） （9） （10） 同樣也可得出= 174.8A問題4模型：題中給出了評價控制方法優(yōu)劣的重要數(shù)量指標是能量誤差的大小。它指所設(shè)計的路試時的制動器與相對應(yīng)的實驗臺上制動器在制動過程中消耗的能量之差。路試時，由動能定理得： 在實驗臺上，根據(jù)力矩的功的定義得：易得，=52150J。這樣問題的關(guān)鍵就轉(zhuǎn)換為計算。由于0.01s是一個很短的時間段，所以在這樣的一個時間段內(nèi)我們可以近似認為角速度是一個恒量。因此，在計

16、算中我們用本時間段的初角速度來代表本時間段內(nèi)的角速度，從而得到下式：（）下面，我們運用Excel表格進行數(shù)據(jù)處理，得出的值。表（計算實驗臺上的制動器消耗的能量）扭矩(N.m)轉(zhuǎn)速(rpm)時間(s)角速度( rad/s)微小轉(zhuǎn)角（rad)制動器消耗的能量(J)40.00 514.33 0.00 53.86 0.54 21.54 40.00 513.79 0.01 53.80 0.54 21.52 40.00 513.24 0.02 53.75 0.54 21.50 41.25 513.79 0.03 53.80 0.54 22.19 43.75 513.79 0.04 53.80 0.54 2

17、3.54 45.00 513.79 0.05 53.80 0.54 24.21 47.50 513.24 0.06 53.75 0.54 25.53 50.00 513.24 0.07 53.75 0.54 26.87 53.75 512.69 0.08 53.69 0.54 28.86 55.00 512.69 0.09 53.69 0.54 29.53 57.50 512.15 0.10 53.63 0.54 30.84 58.75 512.15 0.11 53.63 0.54 31.51 62.50 512.15 0.12 53.63 0.54 33.52 62.50 512.69 0.

18、13 53.69 0.54 33.56 67.50 512.15 0.14 53.63 0.54 36.20 67.50 512.15 0.15 53.63 0.54 36.20 72.50 511.60 0.16 53.58 0.54 38.84 75.00 511.60 0.17 53.58 0.54 40.18 281.25 266.45 4.50 27.90 0.28 78.48 285.00 265.90 4.51 27.85 0.28 79.36 281.25 265.36 4.52 27.79 0.28 78.16 281.25 264.26 4.53 27.67 0.28 77

19、.83 276.25 263.72 4.54 27.62 0.28 76.29 273.75 263.72 4.55 27.62 0.28 75.60 272.50 263.72 4.56 27.62 0.28 75.26 275.00 263.17 4.57 27.56 0.28 75.79 276.25 262.63 4.58 27.50 0.28 75.98 278.75 261.53 4.59 27.39 0.27 76.34 281.25 260.99 4.60 27.33 0.27 76.87 282.50 260.44 4.61 27.27 0.27 77.05 285.00 2

20、59.90 4.62 27.22 0.27 77.57 285.00 259.90 4.63 27.22 0.27 77.57 288.75 258.80 4.64 27.10 0.27 78.26 288.75 258.26 4.65 27.05 0.27 78.09 291.25 257.71 4.66 26.99 0.27 78.60 SUM=49294 得出=49294J所以=2856J相對誤差=5.5%該誤差在工程實踐中可以認為是比較小的，因此本題所使用的這種控制方法是比較精確，比較合理的。問題5由問題三中導(dǎo)出的模型中的結(jié)論，我們得到：電流由上式我們得出，欲設(shè)計出某一瞬間的精確的電流

21、，關(guān)鍵是要知道該時刻的角加速度。但是，在工程實際中，由于制動器性能的復(fù)雜性，幾乎不可能做到每一時刻的電流與當時的角加速度成以上的關(guān)系，所以常用的計算機控制方法是：把整個制動時間離散化為許多小的時間段，比如10 ms為一段，然后根據(jù)前面時間段觀測到的瞬時轉(zhuǎn)速，設(shè)計出本時段驅(qū)動電流的值，這個過程逐次進行，直至完成制動。因為每一時刻的瞬時轉(zhuǎn)速是可直接觀測的離散量，故易得上一時間段內(nèi)的平均角加速度。這一平均角加速度就可以近似代替本時間段的角加速度，從而可以設(shè)計出本時間段內(nèi)的電流值。因此我們可以得出以下式子:至此，每一微小時間間隔內(nèi)（0-0.01s內(nèi)除外）的電流就可以被設(shè)計出來了。我們不妨假設(shè)問題四中的

22、電流設(shè)計方案就是以上方案，并借用問題四中的電子表格的數(shù)據(jù)來對以上方案進行檢驗。表二 電流及其所做的功(表中量的單位全部采用國際單位制)扭矩轉(zhuǎn)速時間角速度 角加速度微小轉(zhuǎn)角電流電流扭矩電流做功40.00 514.33 0.00 53.86 5.66 0.54 0.00 0.00 0.00 40.00 513.79 0.01 53.80 5.76 0.54 110.27 73.51 39.55 40.00 513.24 0.02 53.75 -5.76 0.54 112.31 74.88 40.24 41.25 513.79 0.03 53.80 0.00 0.54 -112.31 -74.88

23、-40.29 43.75 513.79 0.04 53.80 0.00 0.54 0.00 0.00 0.00 45.00 513.79 0.05 53.80 5.76 0.54 0.00 0.00 0.00 47.50 513.24 0.06 53.75 0.00 0.54 112.31 74.88 40.24 50.00 513.24 0.07 53.75 5.76 0.54 0.00 0.00 0.00 53.75 512.69 0.08 53.69 0.00 0.54 112.31 74.88 40.20 55.00 512.69 0.09 53.69 5.66 0.54 0.00 0

24、.00 0.00 57.50 512.15 0.10 53.63 0.00 0.54 110.27 73.51 39.43 58.75 512.15 0.11 53.63 0.00 0.54 0.00 0.00 0.00 62.50 512.15 0.12 53.63 -5.66 0.54 0.00 0.00 0.00 62.50 512.69 0.13 53.69 5.66 0.54 -110.27 -73.51 -39.47 67.50 512.15 0.14 53.63 0.00 0.54 110.27 73.51 39.43 67.50 512.15 0.15 53.63 5.76 0

25、.54 0.00 0.00 0.00 72.50 511.60 0.16 53.58 0.00 0.54 112.31 74.88 40.11 75.00 511.60 0.17 53.58 5.66 0.54 0.00 0.00 0.00 283.75 268.09 4.48 28.07 11.52 0.28 110.27 73.51 20.64 286.25 266.99 4.49 27.96 5.66 0.28 224.62 149.75 41.87 281.25 266.45 4.50 27.90 5.76 0.28 110.27 73.51 20.51 285.00 265.90 4

26、.51 27.85 5.66 0.28 112.31 74.88 20.85 281.25 265.36 4.52 27.79 11.52 0.28 110.27 73.51 20.43 281.25 264.26 4.53 27.67 5.66 0.28 224.62 149.75 41.44 276.25 263.72 4.54 27.62 0.00 0.28 110.27 73.51 20.30 273.75 263.72 4.55 27.62 0.00 0.28 0.00 0.00 0.00 272.50 263.72 4.56 27.62 5.76 0.28 0.00 0.00 0.

27、00 275.00 263.17 4.57 27.56 5.66 0.28 112.31 74.88 20.64 276.25 262.63 4.58 27.50 11.52 0.28 110.27 73.51 20.22 278.75 261.53 4.59 27.39 5.66 0.27 224.62 149.75 41.01 281.25 260.99 4.60 27.33 5.76 0.27 110.27 73.51 20.09 282.50 260.44 4.61 27.27 5.66 0.27 112.31 74.88 20.42 285.00 259.90 4.62 27.22

28、0.00 0.27 110.27 73.51 20.01 285.00 259.90 4.63 27.22 11.52 0.27 0.00 0.00 0.00 288.75 258.80 4.64 27.10 5.66 0.27 224.62 149.75 40.58 288.75 258.26 4.65 27.05 5.76 0.27 110.27 73.51 19.88 291.25 257.71 4.66 26.99 5.66 0.27 112.31 74.88 20.21 288.75 257.17 4.67 26.93 0.27 110.27 73.51 19.80 S=14126 由以上表格中得出的電流與時間的關(guān)系，可以利用繪圖軟件畫出下面的圖：圖2（電流與時間的關(guān)系）圖3（電流與時間的關(guān)系）