概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程華東師大茆詩松版第五章20140515

1、5.1 總體與樣本5.2 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示5.3 統(tǒng)計量及其分布5.4 三大抽樣分布5.5 充分統(tǒng)計量 p 的大小如何； p 大概落在什么范圍內(nèi)； 能否認(rèn)為 p 滿足設(shè)定要求（如 p 0.05）。 5.1 總體與個體總體與個體總體的三層含義：例5.1.1 考察某廠的產(chǎn)品質(zhì)量，以0記合格品，以1記不合格品，則 總體 = 該廠生產(chǎn)的全部合格品與不合格品 = 由0或1組成的一堆數(shù)若以 p 表示這堆數(shù)中1的比例（不合格品率），則該總體可由一個二點(diǎn)分布表示：X 0 1P 1 p pX01p0.9830.017X01p0.9150.085例5.1.2 在二十世紀(jì)七十年代后期，美國消費(fèi) 者購買日產(chǎn)SON

2、Y彩電的熱情高于購買美產(chǎn) SONY彩電，原因何在？ 1979年4月17日日本朝日新聞刊登調(diào)查報 告指出N(m, (5/3)2)，日產(chǎn)SONY彩電的彩色濃 度服從正態(tài)分布，而美產(chǎn)SONY彩電的彩色濃 度服從(m5 , m+5)上的均勻分布。原因在于總體的差異上！圖5.1.1 SONY彩電彩色濃度分布圖等級 I II III IV美產(chǎn) 33.3 33.3 33.3 0 日產(chǎn) 68.3 27.1 4.3 0.3樣本具有兩重性 一方面，由于樣本是從總體中隨機(jī)抽取的，抽 取前無法預(yù)知它們的數(shù)值，因此，樣本是隨機(jī) 變量，用大寫字母 X1, X2, , Xn 表示； 另一方面，樣本在抽取以后經(jīng)觀測就有確定的

3、 觀測值，因此，樣本又是一組數(shù)值。此時用小 寫字母 x1, x2, , xn 表示是恰當(dāng)?shù)?。簡單起見，無論是樣本還是其觀測值，樣本一般均用 x1, x2, xn 表示，應(yīng)能從上下文中加以區(qū)別。表5.1.2中的樣本觀測值沒有具體的數(shù)值，只有一個范圍，這樣的樣本稱為分組樣本。 壽命范圍 元件數(shù) 壽命范圍 元件數(shù) 壽命范圍 元件數(shù) ( 0 24 4 (192 216 6 (384 408 4 (24 48 8 (216 240 3 (408 432 4 (48 72 6 (240 264 3 (432 456 1 (72 96 5 (264 288 5 (456 480 2 (96 120 3 (2

4、88 312 5 (480 504 2 (120 144 4 (312 336 3 (504 528 3 (144 168 5 (336 360 5 (528 552 1 (168 192 4 (360 184 1 552 13 獨(dú)立性: 樣本中每一樣品的取值不影響其 它樣品的取值 - x1, x2, , xn 相互獨(dú)立。要使得推斷可靠，對樣本就有要求，使樣本能很好地代表總體。通常有如下兩個要求： 隨機(jī)性: 總體中每一個個體都有同等機(jī)會 被選入樣本 - xi 與總體X有相同的分布。11(,.,)().nniiF xxF x例5.1.5 設(shè)有一批產(chǎn)品共N個，需要進(jìn)行抽樣檢 驗以了解其不合格品率p

5、。現(xiàn)從中采取不放回 抽樣抽出2個產(chǎn)品，這時，第二次抽到不合格 品的概率依賴于第一次抽到的是否是不合格 品，如果第一次抽到不合格品，則P(x2 = 1 | x1 = 1) = (Np1)/(N1)P(x2 = 1 | x1 = 0) = (Np)(N1)5.2.1 經(jīng)驗分布函數(shù)5.2 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示設(shè) x1, x2, , xn 是取自總體分布函數(shù)為F(x)的樣本，若將樣本觀測值由小到大進(jìn)行排列,為 x(1), x(2), , x(n)，則稱 x(1), x(2), , x(n) 為有序樣本，用有序樣本定義如下函數(shù) (1)( )(1)( )0, ( )/ ,1,2,.,11,kknnxxFx

6、k nxx xknxx 例5.2.1 某食品廠生產(chǎn)聽裝飲料，現(xiàn)從生產(chǎn)線上 隨機(jī)抽取5聽飲料，稱得其凈重（單位：克） 351 347 355 344 351x(1)= 344, x(2)= 347, x(3)= 351, x(4)= 354, x(5)= 355這是一個容量為5的樣本，經(jīng)排序可得有序樣本：其經(jīng)驗分布函數(shù)為x1,x2,xn表5.2.1 例5.2.2 的頻數(shù)頻率分布表 組序 分組區(qū)間 組中值 頻數(shù) 頻率 累計頻率(%) 1 (147，157 152 4 0.20 20 2 (157，167 162 8 0.40 60 3 (167，177 172 5 0.25 85 4 (177，1

7、87 182 2 0.10 95 5 (187，197 192 1 0.05 100合計 20 1一、直方圖直方圖是頻數(shù)分布的圖形表示，它的橫坐標(biāo)表示所關(guān)心變量的取值區(qū)間，縱坐標(biāo)有三種表示方法：頻數(shù)，頻率，最準(zhǔn)確的是頻率/組距，它可使得諸長條矩形面積和為1。凡此三種直方圖的差別僅在于縱軸刻度的選擇，直方圖本身并無變化。把每一個數(shù)值分為兩部分，前面一部分（百位和十位）稱為莖，后面部分（個位）稱為葉，然后畫一條豎線，在豎線的左側(cè)寫上莖，右側(cè)寫上葉，就形成了莖葉圖。如：二、莖葉圖數(shù)值 分開 莖 和 葉 112 11 | 2 11 和 264677072747676798081828283858688

8、919192939393959595979799100100102104106106107108108112112114116118119119122123125126128133我們用這批數(shù)據(jù)給出一個莖葉圖，見下頁。圖5.2.3 測試成績的莖葉圖 4 7 0 2 4 6 6 9 0 1 2 2 3 5 6 8 1 1 2 3 3 3 5 6 6 7 7 9 0 0 2 4 6 6 7 8 8 2 2 4 6 8 9 9 2 3 5 6 8 3 在要比較兩組樣本時，可畫出它們的背靠背的莖葉圖。甲車間 6 2 0 5 6 乙車間8 7 7 7 5 5 5 4 2 1 1 6 6 7 7 8 8

9、8 7 7 6 6 4 4 2 1 7 2 2 4 5 5 5 5 6 6 6 8 8 9 8 7 6 6 5 3 2 8 0 1 1 3 3 3 4 4 4 6 6 7 7 8 7 3 2 1 0 9 0 2 3 5 8 5 3 0 0 10 7 注意：莖葉圖保留數(shù)據(jù)中全部信息。當(dāng)樣本量較 大，數(shù)據(jù)很分散，橫跨二、三個數(shù)量級時， 莖葉圖并不適用。5.3 統(tǒng)計量及其分布當(dāng)人們需要從樣本獲得對總體各種參數(shù)的認(rèn)識時，最好的方法是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)反映總體的不同特征。定義5.3.1 設(shè) x1, x2, , xn 為取自某總體的樣 本，若樣本函數(shù)T = T(x1, x2, , xn)中不含有任

10、 何未知參數(shù)。則稱T為統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布 稱為抽樣分布。按照這一定義：若 x1, x2, , xn 為樣本，則 以及經(jīng)驗分布函數(shù)都是統(tǒng)計量。而當(dāng), 2 未知時，x1, x1/ 等均不是統(tǒng)計量。盡管統(tǒng)計量不依賴于未知參數(shù)，但是它的分布一般是依賴于未知參數(shù)的。下面介紹一些常見的統(tǒng)計量及其抽樣分布。niiniixx121,定義5.3.2 設(shè) x1, x2, , xn為取自某總體的樣本，其算術(shù)平均值稱為樣本均值，一般用 表示，即思考：在分組樣本場合，樣本均值如何計算？ 二者結(jié)果相同嗎？ xx= (x1+xn)/n定理5.3.2 數(shù)據(jù)觀測值與均值的偏差平方和 最小，即在形如 (xic)2 的函數(shù)中，樣

11、本均值的基本性質(zhì)：定理5.3.1 若把樣本中的數(shù)據(jù)與樣本均值之差 稱為偏差，則樣本所有偏差之和為0，即 最小，其中c為任意給定常數(shù)。1()0.niixx2()ixx樣本均值的抽樣分布：定理5.3.3 設(shè)x1, x2, , xn 是來自某個總體的樣本，x為樣本均值。(1) 若總體分布為N(, 2)，則xx的精確分布為N(, 2/n) ; 若總體分布未知或不是正態(tài)分布， 但 E(x)=, Var(x)=2,則n 較大時 的漸近分 布為N(, 2/n) ,常記為 。xAN(, 2/n)這里漸近分布是指n 較大時的近似分布.稱為樣本標(biāo)差。s*= s*2定義5.3.3稱為樣本方差，其算術(shù)平方根在n 不大

12、時，常用 作為樣本方差,其算術(shù)平方根也稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。221*1()niisxxn2211()1niisxxn在這個定義中， ( xi x )2n1稱為偏差平方和的自由度。其含義是：x在 確定后, n 個偏差x1x, x2x, , xnx能自由取值，因為只有n1個數(shù)據(jù)可以自由變動，而第n個則不 (xi x ) = 0 .稱為偏差平方和，中樣本偏差平方和有三個不同的表達(dá)式：( xix )2 = xi2 (xi)2/n = xi2 nx它們都可用來計算樣本方差。思考：分組樣本如何計算樣本方差？樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差，以及樣本方差的數(shù)學(xué)期望都不依賴于總體的分布形式。定理5.3.4 設(shè)總體 X 具有

13、二階矩，即 E(x)= , Var(x)=2 x1, x2, , xn 為從該總體得到的樣本，x和s2 分別是樣本均值和樣本方差，則E( x )=, Var( x )=2 /n, E(s2) =2 樣本均值和樣本方差的更一般的推廣是樣本矩，這是一類常見的統(tǒng)計量。定義5.3.4 ak = (xik)/n 稱為樣本 k 階原點(diǎn)矩， 特別，樣本一階原點(diǎn)矩就是樣本均值。 稱為樣本k階中心矩矩。 特別，樣本二階中心矩就是樣本方差。 bk = (xi x)k/nx樣本偏度1反映了總體分布密度曲線的對稱性信息。樣本峰度2反映了總體分布密度曲線在其峰值附近的陡峭程度。定義： 1 = b3/b23/2 稱為樣本

14、偏度， 2 = b4/b22 稱為樣本峰度。x另一類常見的統(tǒng)計量是次序統(tǒng)計量。一、定義5.3.7 設(shè) x1, x2, , xn 是取自總體X的樣本, x(i) 稱為該樣本的第i 個次序統(tǒng)計量，它的取值 是將樣本觀測值由小到大排列后得到的第 i 個 觀測值。其中x(1)=minx1, x2, xn稱為該樣本 的最小次序統(tǒng)計量，稱 x(n)=maxx1,x2,xn為 該樣本的最大次序統(tǒng)計量。xp我們知道，在一個樣本中，x1, x2,xn 是獨(dú)立同分布的，而次序統(tǒng)計量 x(1), x(2), x(n) 則既不獨(dú)立，分布也不相同，看下例。 0 1 2 (1)xp1927727127(3)x727192

15、7p127 0 1 2我們可以清楚地看到這三個次序統(tǒng)計量的分布是不相同的。(2)x1327727p727 0 1 2進(jìn)一步，我們可以給出兩個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布，如，x(1) 和x(2) 的聯(lián)合分布列為01207/279/273/27104/273/272001/27x(1)x(2)因為 P(x(1) = 0, x(2) = 0) =7/27 ，二者不等，由此可看出x(1) 和 x(2)是不獨(dú)立的。而 P( x(1) = 0)*P( x(2) = 0) = (19/27)*(7/27)，二、單個次序統(tǒng)計量的分布定理5.3.5 設(shè)總體X的密度函數(shù)為p(x)，分布 函數(shù)為F(x)， x1, x2,

16、 xn為樣本，則第k個 次序統(tǒng)計量x(k)的密度函數(shù)為)()(1 ()()!()!1(!)(1xpxFxFknknxpknkk例5.3.7 設(shè)總體密度函數(shù)為 p(x)=3x2, 0 x1. 從該總體抽得一個容量為5的樣本， 試計算 P(x(2)1/2)。解：有兩種求法：從古典概型出發(fā)；從次序統(tǒng) 計量密度函數(shù)出發(fā)。例5.3.8 設(shè)總體分布為U(0,1)， x1, x2, xn為樣 本，試求第 k 個次序統(tǒng)計量的分布。三、多個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布對任意多個次序統(tǒng)計量可給出其聯(lián)合分布，以兩個為例說明：定理5.3.6 在定理5.3.5的記號下，次序統(tǒng)計 量 (x(i), x(j), (i j) 的聯(lián)合

17、分布密度函數(shù)為zyzpypzFyFzFyFjnijinzypjnijiij),()()(1 )()()()!()!1()!1(!),(11次序統(tǒng)計量的函數(shù)在實際中經(jīng)常用到。如 樣本極差 Rn = x(n) x(1)， 樣本中程 x(n) x(1)/2。樣本極差是一個很常用的統(tǒng)計量，其分布只在很少幾種場合可用初等函數(shù)表示。令 R = x(n) x(1) ，由 R 0, 可以推出0 x(1) = x(n)R 1 R ，則例5.3.9 設(shè)總體分布為U(0,1)， x1, x2, xn 為 樣本，則(x(n), x(1)的聯(lián)合密度函數(shù)為p1,n(y,z)=n(n1)(zy)n-2, 0 y z 1這正

18、是參數(shù)為(n1, 2)的貝塔分布。1220( )(1)()d(1)(1)rnnRprn nyryyn nrr樣本中位數(shù)也是一個很常見的統(tǒng)計量，它也是次序統(tǒng)計量的函數(shù)，通常如下定義：更一般地，樣本p分位數(shù)mp可如下定義： 120.5122,12nnnxnmxxn 為奇數(shù)，為偶數(shù)(1)()(1),1(2nppnpnpxnpmxxnp若不是整數(shù))， 若是整數(shù)定理5.3.7 設(shè)總體密度函數(shù)為p(x)，xp為其p分 位數(shù)， p(x)在xp處連續(xù)且 p(xp) 0，則特別，對樣本中位數(shù)，當(dāng)n時近似地有當(dāng)n 時樣本 p 分位數(shù) mp 的漸近分布為2(1),pppppmNxn p x0.50.520.51,4

19、mNxn p x例5.3.10 設(shè)總體為柯西分布，密度函數(shù)為p(x,)= 1/(1+(x)2) , x0.5x1, x2, xn m0.5 m0.5 AN(, 2/4n) .次序統(tǒng)計量的應(yīng)用之一是五數(shù)概括與箱線圖。在得到有序樣本后，容易計算如下五個值：最小觀測值 xmin= x(1) , 最大觀測值 xmax=x(n) ,中位數(shù) m0.5 , 第一4分位數(shù) Q1 = m0.25, 第三4分位數(shù) Q3 = m0.75.所謂五數(shù)概括就是指用這五個數(shù)：xmin , Q1 , m0.5 , Q3 , xmax來大致描述一批數(shù)據(jù)的輪廓。5.4 三大抽樣分布大家很快會看到，有很多統(tǒng)計推斷是基于正態(tài)分布的假

20、設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個著名統(tǒng)計量在實際中有廣泛的應(yīng)用，這是因為這三個統(tǒng)計量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達(dá)式，它們被稱為統(tǒng)計中的“ 三大抽樣分布 ” 。定義5.4.1 設(shè) X1, X2, Xn, 獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn) 正態(tài)分布N(0,1) ，則X12+ Xn2的分布稱 為自由度為n 的分布，記為 。當(dāng)隨機(jī)變量 時，對給定 (01)，稱滿足 P( 的 是自由度為n1的卡方分布的1 分位數(shù).分位數(shù) 可以從附表3 中查到。該密度函數(shù)的圖像是一只取非負(fù)值的偏態(tài)分布 22,Var()2Enn),1, 0( NXi因因為為, 1)()(2 iiXDXE所以所以2242)()(

21、)(iiiXEXEXD , 123 ., 2, 1ni niiXEE122)( 故故 niiXE12)(,n niiXDD122)( niiXD12)(.2n 5.4.2 F 分布定義5.4.2 設(shè)X1 , X2 X1與X2獨(dú)立， 則稱 F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自由度為 m 與 n 的 F分布，記為F F(m, n)，其中m 稱為分子自 由度，n 稱為分母自由度。當(dāng)隨機(jī)變量F F(m,n) 時，對給定 (01) ，稱滿足 P(F F1(m,n) 的F1(m,n) 是自由度為m 與 n 的F 分布的 分位數(shù)。由 F 分布的構(gòu)造知 F(n,m) = 1/F1(m,n)。該密度函數(shù)

22、的圖象也是一只取非負(fù)值的偏態(tài)分布 :分分位位點(diǎn)點(diǎn)具具有有如如下下性性質(zhì)質(zhì)分分布布的的上上 F.),(1),(12211nnFnnF 證明證明),(1 211nnFFP 所所以以 ),(11211nnFFP ),(111211nnFFP ,),(111211 nnFFP ),(21nnFF因因為為,),(11 211 nnFFP故故),(1 12nnFF因為因為,),(1 12 nnFFP所所以以, ),(),(11221-1nnFnnF 比比較較后后得得.),(1),(12211nnFnnF 即即)9 , 21(59 . 0F例例)12, 9(105. 0F 28. 01 .357. 0 .

23、分分位位點(diǎn)點(diǎn)的的一一些些上上用用來來求求分分布布表表中中未未列列出出 定義 5.4.3 設(shè)隨機(jī)變量X1 與X2 獨(dú)立， 且X1 N(0,1), X2 則稱t=X1/ X2/n的分布為自由度為n 的t 分布，記為t t(n) 。 t 分布的密度函數(shù)的圖象是一個關(guān)于縱軸對稱的分布，與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)形狀類似，只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大一些。 n1時, t 分布的數(shù)學(xué)期望存在且為0； n2時，t 分布的方差存在，且為n/(n2)； 當(dāng)自由度較大 (如n30) 時， t 分布可以用 正態(tài)分布 N(0,1)近似。 自由度為1的 t 分布就是標(biāo)準(zhǔn)柯西分布， 它的均值不存在

24、；當(dāng)隨機(jī)變量t t(n) 時，稱滿足P(t t1(n)的 t1(n) 是自由度為 n 的 t 分布的 分位數(shù).分位數(shù) t1(n) 可以從附表4中查到。譬如 n=10,=0.05，那么從附表4上查得t10.05(10) = t0.95(10)=1.812 .由于 t 分布的密度函數(shù)關(guān)于0 對稱, 故其分位數(shù)間有如下關(guān)系t(n1)= t1(n1)定理5.4.1 設(shè) x1, x2, xn 是來自N(, 2) 的 樣本，其樣本均值和樣本方差分別為和x = xi/n s2= (xix)2/(n1)(3) (n1) s2/2 1則有(1) x 與 s2 相互獨(dú)立；(2) x N(, 2/n) ；推論5.4

25、.1 設(shè) x1, x2, xn 是來自N(1, 12) 的 樣本，y1, y2, yn 是來自N(2, 22) 的樣本， 且此兩樣本相互獨(dú)立，則有特別，若12 =22 ，則F=sx2/sy2 F(m1,n1)221222/(1,1)/xysFF mns推論推論5.4.2 設(shè)設(shè)x1,x2,xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本,2xS和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有則有 (1)xtt nSn2221t(1)(0,1),(:1)xnSNnn由定理 及 分布的定義證可得且相互獨(dú)立22(1)(1)(1)xnSnt nn則2.x注:在未知總體時，可用本推論進(jìn)行樣

26、本均值 分布的計算推論5.4.3 在推論5.4.2的記號下，設(shè) 12 =22 = 2 ， 并記則2)()(2) 1() 1(1122222nmyyxxnmsnsmsminiiiyxw)2(11)()(21nmtnmsyxw5.5.1 充分性的概念例5.5.1 為研究某個運(yùn)動員的打靶命中率，我們 對該運(yùn)動員進(jìn)行測試，觀測其10次，發(fā)現(xiàn)除第 三、六次未命中外，其余8次都命中。這樣的 觀測結(jié)果包含了兩種信息：(1) 打靶10次命中8次；(2) 2次不命中分別出現(xiàn)在第3次和第6次 打靶上。第二種信息對了解該運(yùn)動員的命中率是沒有什么幫助的。一般地，設(shè)我們對該運(yùn)動員進(jìn)行n 次觀測，得到 x1, x2, x

27、n，每個xj 取值非0即1，命中為1，不命中為0。令 T = x1+xn ，T為觀測到的命中次數(shù)。在這種場合僅僅記錄使用T 不會丟失任何與命中率 有關(guān)的信息，統(tǒng)計上將這種“樣本加工不損失信息”稱為“充分性”。樣本 x=(x1,x2,xn) 有一個樣本分布F (x)，這個分布包含了樣本中一切有關(guān) 的信息。統(tǒng)計量T =T (x1,x2,xn) 也有一個抽樣分布FT(t) ，當(dāng)我們期望用統(tǒng)計量T 代替原始樣本并且不損失任何有關(guān) 的信息時，也就是期望抽樣分布 FT(t) 像 F (x) 一樣概括了有關(guān) 的一切信息，這即是說在統(tǒng)計量 T 的取值為 t 的情況下樣本 x 的條件分布 F (x|T=t) 已不含 的信息，這正是統(tǒng)計量具有