2019年初中數(shù)學突破中考壓軸題幾何模型之正方形的半角模型教(學)案(有答案)

1、1.掌握正方形的定義，弄清正方形與平行四邊形、菱形、矩形的關系。2 掌握正方形的性質定理1和性質定理2。3正確運用正方形的性質解題。4通過四邊形的從屬關系滲透集合思想。5.通過理解四種四邊形在聯(lián)系，培養(yǎng)學生辯證觀點。正方形的性質因為正方形是特殊的平行四邊形，還是特殊的矩形，特殊的菱形所以它具有這些圖形性質的綜合，因此正方形有以下性質(由學生 和老師一起總結)。正方形性質定理1:正方形的四個角都是直角，四條邊相等。正方形性質定理2:正方形的兩條對角線相等并且互相垂直平分，毎一條對角線平分一組對角。說明：定理2包括了平行四邊形，矩形，菱形對再線的性質，一個題設同時有四個結論，這是該定理的特點， 在

2、應用時需要哪個結論就用哪個結論，并非把結論寫全。小結：(1) 正方形與矩形，菱形，平行四邊形的關系如上圖(2) 正方形的性質： 正方形對邊平行。 正方形四邊相等。 正方形四個角都是直角。 正方形對角線相等 > 互相垂直平分，每條對再線平分一組對角。例1 如圖，折疊正方形紙片ABCD，先折出折痕3£，再折疊使AD邊與對角線8£重合 得折叔DG，使 AD = 2，求AG 【解析】：作GM丄BD，垂足為M 由趣意可知ZADG=GDM > 則厶ADGAMDG .-.DM=DA=2 - AC=GM 又易知：GM=BM 而 BM=BD-DM=2 >/2 -2=2 （血

3、-1），/.AG=BM=2 （血-1）例2 如圖，P為正方形ABCD一點,PA = PB = 10，并且P點到CD邊的距離也等于10 求正方形ABCD 的面積？【解析】：過P作EF丄A3于尸交DC于£設 PF = x，則 EF = 0 + x，= (10 + x)2由 PB2 = PF2 + BF1 -可得:102=x2 + -(10+x)2 -4故 x = 6 S昨=16 =256 例3.如圖，E、F分別為正方形ABCD的邊3C、CQ上的一點，AM丄EF，垂足為M，AM=AB， 則有EF = BE+DF，為什么？【解析】：要說明EF二BE+DF，只需說明BE=EM，DF=FM即可，

4、而連結AE、AF只要能說明 ABEAAME，A/DFAAMF即可理由：連結AE、AF 由 AB=AM，AB丄BC，AM±EF，AE 公用，/.AABEAAME .BE司IE 同理可得，AADFAAMF DF二MFEF二ME+MF二BE+DF 例4 如下圖爐、F分別在正方形ABCD的邊BC、CQ上，且ZE4F = 45° 試說明EF = BE+DF?！窘馕觥浚核葾DF旋轉到AABC，則厶ADFAABG.*.AF=AG，ZADF=ZBAG，DF=BG【解析】(1)證明：如圖1 , 四邊形 ABC, /ABU/BCAW /. ZEAB0E片時.'：Z砂厶紡=90°

5、;, ZFBamE宙酎，MBEbBCF， BE二CF B(2)解：如圖2,過點4作AM/GH交于/過點B作例ZF交3于A： AM與刖交于點0 則四邊形，仙'和四邊形創(chuàng)處均為平行四邊形， EF二BN GH二仙、'：/FOH=QQ°、AM/GH、EF/BN 厶砒=90°, 故由(1)得，4AB臉HBCN、腑B2:.G宙EF=4 (3)8 4圉2【雙基訓練】1.如圖6,點A在線段BG上，四邊形ABCD與DEFG都是正方形，其邊長分別為和5cm >則(?£>£的面積為cm2 2你可以依次剪6正方形紙片，拼成如圖7所示圖形如果你所拼得的

6、圖形中正方形的面積為1，且正方形與正方形的面積相等，那么正方形的面積為3 如圖9，已知正方形ABCD的面積為35平方厘米，E、F分別為邊AB - BC上的點、AF、CE相交于G > 并且A4BF的面積為14平方厘米，NBCE的面積為5平方厘米，那么四邊形BEGF的面積是°raWORD版木4.如圖，人、B、C三點在同一條直線上，AB = 2BC。分別以 AB、BC為邊作正方形ABEF和正方形BCMN，連接F7V， EC。求證：FN = EC o5如圖，ABCD是正方形G是BC上的一點、DE丄AG于E > BF丄4G于F -(1) 求證：AABF ZDAE ；(2) 求證：D

7、E = EF + FB 【縱向應用】6.在正方形ABCD中，Z1 = Z2 求證：OF = BE27.在正方形ABCD中，Z1 = Z2 AE丄DF, 求證：OG = CE2EG LCD&如圖13,點E為正方形ABCD對角線上一點，EF丄BC, 求證：AE丄FG9.已知：點E、F分別正方形ABCD中A3和3C的中點，連接4F和DE相交于點G ,GH丄AD于亙H.一、 求證：AF丄DE ；二 如果AB = 2.求GH的長；三、 求證：CG = CD【練習題答案】1 - 6cin 2 36 20 >34 cm (面積法)274證明：FN=EC °證明：在正方形ABEF和正方

8、形BCMN中，AB=BE=EF，BC=BN，zFEN=zEBC=90°/AB=2BC.*.EN=BC/.AFENAEBC/.FN=EC。5.略6提示：注意到基本圖形中的AE=AF.一. 兩次應用角平分線定理和CE=CF可證二. 過點 0 作 0G II DE 和 C0=CG, CF=CE 可證.3 過點 0 作 0H|BE, 0F= 0H=-BE27 提示：一條線段的一半或2倍這兩者的位置關系有哪兩種 &提示：延長AE交GF于點M * DC,使CH=DG,連接HF,證四邊形對角互補，法2 :延長FE，AE證全等三再形49. (1)略(2) (3)作 CH丄DG,證 DM=AG

9、=0. 5DG5(1) 定義：有一組鄰邊相等且有一個角是直再的平行四邊形叫做正方形。(2) 特征：邊：兩組對邊分別平行；四條邊都相等；角：四個角都是90° ；對再線：對再線互相垂直；對角線相等且互相平分；毎條對角線平分一組對角。(3) 主要識別方法：1 :對再線相等的菱形是正方形2:對角線互相垂直的矩形是正方形3:四邊相等，有一個角是直再的四邊形是正方形4:一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形5:一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形依次連接四邊形冬邊中點所得的四邊形稱為中點四邊 形。不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形。正方形的中點四邊形是正方形。WO

10、RD版木例1.已知：如圖，P是正方形ABCD點、* Z.PAD = Z.PDA = 15 求證：APBC是正三角形【證明】：如下圖做%(：使與AADP全等， 可得APDG為等邊，從而可得 ADGCAAPDACGP, 得出 PC=AD=DC,和 Z DCG= Z PCG = 15° 所以ZDCP=3O°，從而得出APBC是正三角形例2.如圖，分別以AABC的AC和3C為一邊，在A4BC的外側作正方形ACDE和正方形C3FG，邑P壯EF的 中占求證：點P到邊A3的距離等于A3的一半【證明】：過E,C,F點分別作AB所在直線的高EG，CI，F(xiàn)H。可得PQ二EG + FH2由厶EG

11、.AAIC，可得 EG二AI，BFHACBI > 可得 FH二BI?？?“、 Al + BI AB從而可何PQ二=»2 2從而得證°例4.如圖，四邊形ABCD為正方形，DE/AC 9 AE = AC， AE與CD相交于F 求證：CE = CF【證明】：順時針獲轉zMDE，到ZXABG，連接CG.由于 Z ABG= Z ADE=90°+45=135°從而可得B，G，D在一條直線上，可得 AGBACGB。推出AE=AG=AC=GC，可得.*&(：為等邊三角形。ZAGB=30°，既得ZEAC=30n，從而可得ZA EC=75n。又 ZE

12、FC=ZDFA=45°+30°=75g.可證：CE=CF °例6.設P是正方形ABCD 一邊BC上的任一點，PF丄AP，CF平分ZDCE 求證：PA = PF 【證明】：作FG丄CD，F(xiàn)E丄BE，可以得出GFEC為正方形。令 AB=Y，BP=X , CE=Z ,可得 PC=Y-X。x ztanZBAP=tanZEPF= =-一，可得 YZ=XY-X2+XZ，i I + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X)，既得 X=Z，得出 ABPAPEF，得到PA=PF，得證。既得AF=例7.已知：P是邊長為1的正方形ABCD的 一點，求PA + PB + PC的最小值【證明】：順

13、時針拔轉ABPC 60°，可得APBE為等邊三角形。既得PA+PB+POAP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上， 即如下圖:可得最小PA+PB+PC=AF?！咀C明】順時針拔轉AABP 90°，可得如下圖：例& P為正方形ABCD的一點，并且PA = a，PB = 2a，PC = 3a，求正方形 的邊長菱形的面角線AC - BQ相交于O，四邊形BEFD是菱形，若正方形的邊長為6，則積為2如圖，ABCD是正方形» E為BF上一點，四邊形AFEC恰是一個菱形，則XEAB =_【縱向應用】3如圖，四邊形ABCD是邊長為a的正方形，點G，E分別是邊

14、43，3C的中點，ZAEF = 90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F(1) 證明：ABAE = ZFEC ；(2) 證明：AGE = AECF ；(3) 求AEF的面積【橫向拓展】4.如圖，四邊形ABCD是正方形，AABE是等邊三角形，M為對角線3D （不含B點、）上任意一點，將BA/繞 點3逆時針炭轉60°得到BN，連接EN、AM、CM .（1）求證：AAMB = AENB ； 當M點在何處時，AM+CM的值最??；當M點在何處時，AM + BM+CM的值最小，并說明理由；（3）當AM + BM+CM的最小值為73 + 18寸，求正方形的邊長.【練習題答案】1 36

15、2 【解析】連結BD交AC于點0，作EM丄AC于點M 設正方形邊長為a，則AC=BD=AE=邁a又TAC | BF，B0丄AC，EM丄AC，.*.BO=EM= BD=a 2 2在 RtAAEM 中，AE= V? a，EM=V2 a2.-.ZCAE=30° 則 ZEAB=15° 3. (1)證明：'：Z.AEF'，z/mz.，僚90° 在 Rt厶ABE 中，z,，仏決侔90°， :.乙BAE二乙 FEC；(2) 證明：'：G> E分別是正方形.仏09的邊AB、BC的中點、，:.AG=GB=BE=EC' 且 ZJ6180

16、n-45°=135° -又67是DCH的平分線，Z 卯90"+45135° 在加莎和ZXQ中，AG = EC,< ZAGE = ZECF = 135°,ZGAE = ZFEC：4kG昵/ECF；(3) 解：由厶AGEECF，曙 AE=EF又 TZ必F90“， 妙是等腰直角三角形由 AB=a，BE= a » 知 AE= - a * 2 2 c 5 ,Sa時_ a 84. 【解析】：(l)TAABE是等邊三角形，B/.BA=BE » ZABE=6O .ZMBN=6(T，ZMBN- ZABN= ZABE- ZABN.Ef_n - F即 ZBMA=ZNBE.又/MB=NB，/.AAMBAENB (SAS) . 5 分當M點落在BD的中點時，AM+CM的值最小.如圖，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AM4-BM + CM的值最小.理由如下:連接MN.由知，AMB9AENB，/.AM=EN.ZMBN=6(T，MB=NB，.