基本不等式經(jīng)典例題(含知識點和例題詳細(xì)解析)

1、優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載基本不等式專題知識點：1. (1) 若 a,bR ，則 a2b22ab (2)若 a, bR ，則 aba 2b22（當(dāng)且僅當(dāng)a b 時取“ =”）2. (1) 若 a,bR* ，則 a bab (2) 若 a, bR* ，則 a b2 ab （ 當(dāng) 且 僅 當(dāng)2a b 時取“ =”）2(3)若 a, b*a b(當(dāng)且僅當(dāng) ab 時取“ =”）R ，則 ab23. 若 x1當(dāng)且僅當(dāng) x1時取“ =”）0 ，則 x2 (x若 x01( 當(dāng)且僅當(dāng) x1時取“ =”），則 x2x若 x0，則 x112或 x1當(dāng)且僅當(dāng) a b 時取“ =”）2即 x-2 (xxx4. 若 ab0 ，

2、則 a b2( 當(dāng) 且 僅 當(dāng) ab 時 取 “ = ”） 若 ab0 ， 則b aab2即ab 2或ab- 2(當(dāng)且僅當(dāng) a b 時取“ =”）bababa5. 若 a, bR ，則 ( ab) 2a 2b 2（當(dāng)且僅當(dāng) ab 時取“ =”）22注意：(1) 當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小， 和定積最大” (2) 求最值的條件“一正，二定，三取等”(3) 均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一：求最值例：求下列函數(shù)的值域1（ 2） y x1（ 1） y 3

3、 x 2 x2 x 211解： (1)y 3x 2 223x 2·2 6 值域為6 ，+）2x2x11(2) 當(dāng) x0 時， y x2x· 2 ；xx優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載1=11當(dāng) x0 時， y x（ x） 2x· = 2xxx值域為（， 2 2 ，+ ）解題技巧技巧一：湊項已知 x54 x 21例，求函數(shù) y的最大值。44x5解：因 4x 50 ，所以首先要“調(diào)整”符號，又(4 x 2)1不是常數(shù)，所以對4x 24x5要進(jìn)行拆、湊項，x5 , 5 4x 0 ，y 4 x 2155 4 x132 3 144 x5 4 x當(dāng)且僅當(dāng) 54x1，即 x 1時，上式等號成立

4、，故當(dāng)x1 時， ymax1。4x5技巧二：湊系數(shù)例： 當(dāng)時，求 yx(82x) 的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8為定值，故只需將y x(8 2x) 湊上一個系數(shù)即可。當(dāng)，即 x2時取等號當(dāng) x 2 時， y x(82x) 的最大值為 8 。變式：設(shè) 0x34x(32x) 的最大值。，求函數(shù) y232解： 0x32x0 y4x(32x) 2 2x(32x) 2 2x 3 2x9222當(dāng)且僅當(dāng) 2x32x, 即 x30, 3時等號成立。42技巧三：分離技巧四：換元例：求 yx27 x 10 ( x1

5、) 的值域。x 1優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x 1 ）的項，再將其分離。當(dāng),即時 , y2 （ x1)459 （當(dāng)且僅當(dāng) x 1 時取“”號）。1x解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x 1 ，化簡原式在分離求最值。y2）25t4t45(t 1) 7(t1 +10 = tttt當(dāng),即 t=時 , y 2t459（當(dāng) t=2 即 x 1 時取“”號）。t技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，結(jié)合函數(shù)調(diào)性。af ( x)x的單x例：求函數(shù) yx25 的值域。x24解：令24t (t2)，則 yx25x2411xx2x

6、2t(t 2)44t因 t 0, t11，但 t1解得 t1 不在區(qū)間2,，故等號不成立，考慮單調(diào)性。tt因為 y1在區(qū)間1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)， 故 y5t。t2所以，所求函數(shù)的值域為5 ,。2技巧六：整體代換多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。例：已知 x0, y 0 ，且 191，求 xy 的最小值。xy錯 解 ：x 0, y 0， 且19，199故1x yx y 22 xy 12 xyxyxyxy min12 。錯 因 ： 解 法中 兩 次 連 用均 值 不 等 式， 在 x y 2xy 等 號 成 立 條 件 是 xy ，在19

7、29199x ,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，等號成立條件是x即 yxyxyy優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解： x 0, y 0, 191 ， x yx y19y9x 10 6 10 16xyxyxyy9x191，可得 x 4, y12 時， x y min16當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立， 又y。xyx技巧七2y 22例：已知 x， y 為正實數(shù)，且 x 2 1，求 x1 y的最大值 .a 2 b 2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab 。21 y 2 中 y2 前面的系數(shù)為11 y 21

8、 y 2同時還應(yīng)化簡2， x x2 ·221 y 2x·22下面將 x，1y 2分別看成兩個因式：22x 21y 2y 211 ()2x 23y 222221 y 2 2 ·xx ·22即 x2241y 232224技巧八：1已知 a， b 為正實數(shù)，2b ab a 30，求函數(shù) y ab 的最小值 .分析： 這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說， 這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等

9、式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載法一： a30 2 bab 30 2 b 2 b 2 30 b，b 1·bb 1b 1由 a 0 得， 0 b 15 2t 2 34 t 31161616令 t b +1 ，1 t 16 ，ab 2（ t）34 t 2t ·tttt8 ab181當(dāng)且僅當(dāng) t 4 ，即 b 3 ， a 6 y時，等號成立。18法二：由已知得：30 ab a 2 b a2 b22 ab 30 ab 2 2 ab令 u ab則 u 2 22 u 30 0 ， 5 2 u 3 21 ab 3 2 ， ab18 ，y 18點評：本題考查不等式ab（

10、R）2ab a, b的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等式aba2b（ a,bR ）出 發(fā) 求 得 ab 的 范 圍 ， 關(guān) 鍵 是 尋 找 到30ab（）a b與 ab 之間的關(guān)系，由此想到不等式ab a, bR ，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換2為含 ab 的不等式，進(jìn)而解得ab 的范圍 .技巧九、取平方15例: 求函數(shù) y2 x152x (x) 的最大值。22解析：注意到2 x1與 52x 的和為定值。y2(2x152 x) 242(2 x 1)(52 x)4(2 x1)(52 x) 8又 y0 ，所以0y22當(dāng)且僅當(dāng) 2x1=52x ，即 x3時取等號。故 ymax22 。2應(yīng)用二：利用

11、均值不等式證明不等式例：已知 a 、 b 、 cR ，且 abc1 。求證：1 111118abc分析：不等式右邊數(shù)字8 ，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2 ”連乘，又 111 abc2 bc ，可由此變形入手。aaaa優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載解：a、 b 、cR ， a b c 1。111 ab c2 bc 。同理 112 ac ，aaaabb112 ab 。上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得cc111 1112 bc 2ac 2ab8 。當(dāng)且僅當(dāng) a b c1 時取等號。abcabc3應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題例：已知 x0, y191，求使不等式x ym 恒成立的實數(shù) m 的取值范圍。0 且yx解：令 xyk, x0, y1 9x y 9x 9y10 y 9x0,1 ，kx1.1xykyk kx ky1