因式分解知識點總結(jié)

1、名師總結(jié)優(yōu)秀知識點第一講因式分解一，知識梳理1. 因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，這種變形叫因式分解。即：多項式幾個整式的積例： 1ax1bx1x( a b)333因式分解，應注意以下幾點。1. 因式分解的對象是多項式；2. 因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式；3. 分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止；4. 公式中的字母可以表示單項式，也可以表示多項式；5. 結(jié)果如有相同因式，應寫成冪的形式；6. 題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解；因式分解是對多項式進行的一種恒等變形，是整式乘法的逆過程。2. 因式分解的方法：（ 1）提公因式法：定義： 如果多項式

2、的各項有公因式 ，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這個變形就是提公因式法分解因式。公因式： 多項式的各項都含有的相同的因式。公因式可以是一個數(shù)字或字母，也可以是一個單項式或多項式。系數(shù) 取各項系數(shù)的最大公約數(shù)字母 取各項都含有的字母指數(shù) 取相同字母的最低次冪例： 12a3b3c8a3b2c36a4b2 c2 的公因式是名師總結(jié)優(yōu)秀知識點解析：從多項式的系數(shù)和字母兩部分來考慮，系數(shù)部分分別是12、 -8 、6，它們的最大公約數(shù)為2；字母部分33323422a3b2 c ，故多項式的公因式是a bc, a b c , a b c都含有因式2 a3b2 c .提公因式的步驟

3、第一步：找出公因式；第二步：提公因式并確定另一個因式，提公因式時，可用原多項式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一個因式。注意： 提取公因式后， 對另一個因式要注意整理并化簡， 務必使因式最簡。 多項式中第一項有負號的，要先提取符號。例 1：把 12a2b 18ab2 24a3b3 分解因式 .解析：本題的各項系數(shù)的最大公約數(shù)是6，相同字母的最低次冪是ab，故公因式為6ab。解： 12a2 b18ab224a3b36ab(2 a3b 4a2 b2 )例 2：把多項式 3( x4)x(4 x) 分解因式解析：由于 4 x(x4) ，多項式 3( x4)x(4 x) 可以變形為 3( x 4

4、)x( x4),我們可以發(fā)現(xiàn)多項式各項都含有公因式（ x4 ）, 所以我們可以提取公因式（ x4 ）后,再將多項式寫成積的形式 .解： 3( x 4) x(4x)= 3(x4)x( x4)= (3x)( x4)例 3：把多項式x22x 分解因式解： x22x = ( x22x)x( x 2)（ 2）運用公式法定義：把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法。名師總結(jié)優(yōu)秀知識點逆用平方差公式：2b2( ab)(ab)a.a逆用完全平方公式： a22abb2(ab)2b.逆用立方和公式：33(ab)( a2ab2（拓展）c.abb )逆用立方差公式：3b3

5、( ab)(a2ab2（拓展）d.ab )注意 ：公式中的字母可代表一個數(shù)、一個單項式或一個多項式。選擇使用公式的方法：主要從項數(shù)上看， 若多項式是二項式可考慮平方差公式；若多項式是三項式，可考慮完全平方公式。例 1：因式分解 a2 14a 49解： a214a49 = (a27)例 2：因式分解 a22a(bc)(bc) 2解： a22a(bc)(bc)2= (a b c)2（ 3）分組分解法（拓展）將多項式分組后能提公因式進行因式分解；例：把多項式abab1 分解因式解： abab1= (aba)(b1) = a(b1)(b1)(a1)(b1)將多項式分組后能運用公式進行因式分解.例：將多

6、項式a22ab1b2因式分解解： a22ab1 b2= ( a22abb2 )1(ab)21( a b1)(ab 1)（ 4）十字相乘法 （形如 x2( pq) xpq(xp)( xq) 形式的多項式，可以考慮運用此種方法）方法：常數(shù)項拆成兩個因數(shù)p和 q ，這兩數(shù)的和 pq 為一次項系數(shù)x2( p q) x pqxpxq名師總結(jié)優(yōu)秀知識點x2( p q) x pq ( x p)( x q)例：分解因式 x2x 30分解因式 x252x100補充點詳解補充點詳解我們可以將 -30 分解成 p× q 的形式，我們可以將 100 分解成 p× q 的形式，使 p+q=-1, p

7、 × q=-30, 我們就有 p=-6,使 p+q=52, p× q=100, 我們就有 p=2,q=5 或 q=-6,p=5 。q=50或 q=2,p=50 。所以將多項式 x2( p q) x pq 可以分所以將多項式x2( p q) x pq 可以分解為 (xp)( xq)解為 ( xp)( xq)x5x2x-6x50x2x 30( x 6)( x 5)x252x 100( x 50)( x 2)3. 因式分解的一般步驟：如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運用公式法；若是四項或四項以上的多項式，通常采用分組分解法，最后運用十字相乘法分解因式。因此

8、，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字” 。注意 ：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指出在哪個范圍內(nèi)因式分解，應該是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，因此分解因式的結(jié)果，必須是幾個整式的積的形式。一、 例題解析提公因式法提取公因式：如果多項式的各項有公因式，一般要將公因式提到括號外面.確定公因式的方法：系數(shù) 取多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母 ( 或多項式因式) 取各項都含有的字母( 或多項式因式) 的最低次冪 .名師總結(jié)優(yōu)秀知識點【例1】分解因式： 15a a b2 n 12 n10ab b a( n 為正整數(shù) ) 4a2 n 1b m6an 2 bm 1 ( m 、 n 為大于 1 的自然數(shù) )【鞏固】 分解因式：( xy) 2n 1( xz)( xy)2 n2( yx)2n ( yz) ， n 為正整數(shù) .【例2】先化簡再求值， y x yx y x y x2 ，其中 x2 ， y1 2【鞏固】 求代數(shù)式的值： (3x 2) 2 (2 x 1) (3x 2)(2 x 1)