中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：相似圖形

1、中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 相似圖形【基礎(chǔ)知識回顧】一、 成比例線段： 1、線段的比：如果選用同一長度的兩條線段，的長度分別為m、n則這兩條線段的比就是它們 的比，即：= 2、比例線段：四條線段a、b、c、d如果= 那么四條線段叫做同比例線段，簡稱 3、比例的基本性質(zhì)：=<> 4、平行線分線段成比例定理：將平行線截兩條直線【提醒：表示兩條線段的比時，必須使示用相同的 ，在用了相同的前提下，兩條線段的比值與用的單位無關(guān) 即比值沒有單位?！慷?、相似三角形： 1、定義：如果兩個三角形的各角對應(yīng) 各邊對應(yīng) 那么這兩個三角形相似 2、性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角 對應(yīng)邊 相似三角形對應(yīng)點的比、對應(yīng)角平分線

2、的比、對應(yīng) 的比都等于 相似三角形周長的比等于 面積的比等于 1、 判定：基本定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊或兩線相交，三角形與原三角形相似 兩邊對應(yīng) 且夾角 的兩三角形相似 兩角 的兩三角形相似 三組對應(yīng)邊的比 的兩三角形相似【名師提醒：1、全等是相似比為 的特殊相似2、根據(jù)相似三角形的性質(zhì)的特質(zhì)和判定，要證四條線段的比相等，一般要先證 判定方法中最常用的是 三組對應(yīng)邊成比例的兩三角形相似多用在點三角形中】 三、相似多邊形： 1、定義：各角對應(yīng) 各邊對應(yīng) 的兩個多邊形叫做相似多邊形 2、性質(zhì)：相似多邊形對應(yīng)角 對應(yīng)邊 相似多邊形周長的比等于 面積的比等于 【名師提醒：相似多邊形沒有專

3、門的判定方法，判定兩多邊形相似多用在矩形中，一般用定義進(jìn)行判定】一、 位似： 1、定義：如果兩個圖形不僅是 而且每組對應(yīng)點所在直線都經(jīng)過 那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做 這時相似比又稱為 2、性質(zhì)：位似圖形上任意一點到位似中心的距離之比都等于 【名師提醒：1、位似圖形一定是 圖形，但反之不成立，利用位似變換可以將一個圖形放大或 2、在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似是以原點為位似中心，相似比位r，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于 或 】【典型例題解析】考點一：比例線段例1  如圖，已知ABC，AB=AC=1，A=36°，ABC的平分線BD交AC于點D，則AD的長是 ，

4、cosA的值是 （結(jié)果保留根號）考點：黃金分割；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義分析：可以證明ABCBDC，設(shè)AD=x，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可列出方程，求得x的值；過點D作DEAB于點E，則E為AB中點，由余弦定義可求出cosA的值點評：ABC、BCD均為黃金三角形，利用相似關(guān)系可以求出線段之間的數(shù)量關(guān)系；在求cosA時，注意構(gòu)造直角三角形，從而可以利用三角函數(shù)定義求解對應(yīng)訓(xùn)練2如圖，在ABC中，AB=AC，A=36°，BD平分ABC交AC于點D，若AC=2，則AD的長是（）A B C D 考點二：相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用例2 已知ABCDEF，ABC的周長為

5、3，DEF的周長為1，則ABC與DEF的面積之比為 9：1對應(yīng)訓(xùn)練2已知ABCABC，相似比為3：4，ABC的周長為6，則ABC的周長為 8 考點三：相似三角形的判定方法及其應(yīng)用例3 如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點，點F在BC上，且FC= BC圖中相似三角形共有（）A1對B2對C3對D4對考點：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)例4（1）如圖（1），正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，直接寫出HD：GC：EB的結(jié)果（不必寫計算過程）；（2）將圖（1）中的正方形AEGH繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖（2），求HD：GC：EB；考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾

6、股定理；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)對應(yīng)訓(xùn)練3.如圖，ABCADE且ABC=ADE，ACB=AED，BC、DE交于點O則下列四個結(jié)論中，1=2；BC=DE；ABDACE；A、O、C、E四點在同一個圓上，一定成立的有（）A1個B2個C3個D4個考點：相似三角形的判定；全等三角形的性質(zhì)；圓周角定理4. 在銳角ABC中，AB=4，BC=5，ACB=45°，將ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到A1BC1（1）如圖1，當(dāng)點C1在線段CA的延長線上時，求CC1A1的度數(shù)；（2）如圖2，連接AA1，CC1若ABA1的面積為4，求CBC1的面積；（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動

7、點，在ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應(yīng)點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)專題：幾何綜合題分析：（1）由由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：A1C1B=ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得CC1A1的度數(shù)；（2）由ABCA1BC1，易證得ABA1CBC1，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得CBC1的面積；（3）由當(dāng)P在AC上運動至垂足點D，ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB上時，EP1最小，當(dāng)P在AC上運動至點C，ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB的延

8、長線上時，EP1最大，即可求得線段EP1長度的最大值與最小值解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：A1C1B=ACB=45°，BC=BC1，CC1B=C1CB=45°，.（2分）CC1A1=CC1B+A1C1B=45°+45°=90°（2）ABCA1BC1，BA=BA1，BC=BC1，ABC=A1BC1，ABC+ABC1=A1BC1+ABC1，ABA1=CBC1，ABA1CBC1 ，SABA1=4，SCBC1=； （3）如圖1，過點B作BDAC，D為垂足，ABC為銳角三角形，點D在線段AC上，在RtBCD中，BD=BC×sin45

9、6;=， 當(dāng)P在AC上運動與AB垂直的時候，ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB上時，EP1最小，最小值為：EP1=BP1-BE=BD-BE=-2； 當(dāng)P在AC上運動至點C，ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，最大值為：EP1=BC+BE=2+5=7點評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)關(guān)系考點四：位似例5 如圖，正方形ABCD的兩邊BC，AB分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的正半軸上，正方形ABCD與正方形ABCD是以AC的中點O為中心的

10、位似圖形，已知AC=3，若點A的坐標(biāo)為（1，2），則正方形ABCD與正方形ABCD的相似比是（）A B C D 考點：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)分析：延長AB交BC于點E，根據(jù)大正方形的對角線長求得其邊長，然后求得小正方形的對應(yīng)訓(xùn)練5如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1：，點A的坐標(biāo)為（1，0），則E點的坐標(biāo)為（）A（，0） B（ C D 考點：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)【聚焦中考】1已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點E，沿AE將ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=（）ABCD2考點：相似多邊形的性質(zhì)；翻

11、折變換（折疊問題）2如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O在坐標(biāo)原點，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OABC與矩形OABC關(guān)于點O位似，且矩形OABC的面積等于矩形OABC面積的 ，那么點B的坐標(biāo)是（）A（-2，3）B（2，-3）C（3，-2）或（-2，3）D（-2，3）或（2，-3）考點：相似多邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)3.在菱形ABCD中，E是BC邊上的點，連接AE交BD于點F，若EC=2BE，則 的值是（）A B C D 考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)4.為了測量被池塘隔開的A，B兩點之間的距離，根據(jù)實際情況，作出如圖圖形，其中ABBE，EFBE，AF交BE于D，C

12、在BD上有四位同學(xué)分別測量出以下四組數(shù)據(jù)：BC，ACB； CD，ACB，ADB；EF，DE，BD；DE，DC，BC能根據(jù)所測數(shù)據(jù)，求出A，B間距離的有（）A1組B2組C3組D4組F考點：相似三角形的應(yīng)用；解直角三角形的應(yīng)用5如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的頂點坐標(biāo)分別為（4，0），（8，2），（6，4）已知A1B1C1的兩個頂點的坐標(biāo)為（1，3），（2，5），若ABC與A1B1C1位似，則A1B1C1的第三個頂點的坐標(biāo)為 （3，4）或（0，4）考點：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)6如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC和DEF的頂點都在格點上，P1，P2，P3，P4，P5是DEF

13、邊上的5個格點，請按要求完成下列各題：（1）試證明三角形ABC為直角三角形；（2）判斷ABC和DEF是否相似，并說明理由；（3）畫一個三角形，使它的三個頂點為P1，P2，P3，P4，P5中的3個格點并且與ABC相似（要求：用尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法與證明）考點：作圖相似變換；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定【備考真題過關(guān)】一、選擇題1已知 ，則 的值是（）A B C D2如圖，ABC為等邊三角形，點E在BA的延長線上，點D在BC邊上，且ED=EC若ABC的邊長為4，AE=2，則BD的長為（）A2 B3 C D3如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，點E、F、G、H分別在矩形ABCD

14、的各邊上，EFACHG，EHBDFG，則四邊形EFGH的周長是（）A B C D考點：平行線分線段成比例；勾股定理；矩形的性質(zhì)4小張用手機(jī)拍攝得到甲圖，經(jīng)放大后得到乙圖，甲圖中的線段AB在乙圖中的對應(yīng)線段是（）AFGBFHCEHDEF考點：相似圖形5.如圖，六邊形ABCDEF六邊形GHIJKL，相似比為2：1，則下列結(jié)論正確的是（）AE=2KBBC=2HIC六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長DS六邊形ABCDEF=2S六邊形GHIJKL6.下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（）ABCD7.如圖

15、，點D在ABC的邊AC上，要判定ADB與ABC相似，添加一個條件，不正確的是（）AABD=C BADB=ABC C D考點：相似三角形的判定8如圖，在ABC中，EFBC， ，S四邊形BCFE=8，則SABC=（）A9B10C12D13考點：相似三角形的判定與性質(zhì)9.如圖，在四邊形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD= AB，點E、F分別為AB、AD的中點，則AEF與多邊形BCDFE的面積之比為（）A B C D考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；三角形中位線定理10（2012欽州）圖中兩個四邊形是位似圖形，它們的位似中心是（）A點MB點NC點OD點P11如圖，在平面直角坐標(biāo)

16、系中，以原點O為位中心，將ABO擴(kuò)大到原來的2倍，得到ABO若點A的坐標(biāo)是（1，2），則點A的坐標(biāo)是（）A（2，4）B（-1，-2）C（-2，-4）D（-2，-1）考點：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)二、填空題14.正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個動點，且始終保持AMMN，當(dāng)BM= cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm2考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)15.如圖，O為矩形ABCD的中心，M為BC邊上一點，N為DC邊上一點，ONOM，若AB=6，AD=4，設(shè)OM=x，ON=y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為 ?？键c：相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形

17、的性質(zhì)16.如圖，E是ABCD的邊CD上一點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，且AD=4， ，則CF的長為 2考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)17.如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則tanAPD的值是 2考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義18如圖，利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度，標(biāo)桿BE高1.5m，測得AB=2m，BC=14cm，則樓高CD為 12m19.如圖，在一場羽毛球比賽中，站在場內(nèi)M處的運動員林丹把球從N點擊到了對方內(nèi)的B點，已知網(wǎng)高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，

18、則林丹起跳后擊球點N離地面的距離NM= 3.42米考點：相似三角形的應(yīng)用20.如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上已知紙板的兩條直角邊DE=40cm，EF=20cm，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，則樹高AB= 5.5m考點：相似三角形的應(yīng)用21. 如圖，ABC與A1B1C1為位似圖形，點O是它們的位似中心，位似比是1：2，已知ABC的面積為3，那么A1B1C1的面積是 12考點：位似變換三、解答題22己知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD，BAF=DAE，AE與BD交于點G（1）求證：BE=DF；（2）當(dāng) 時，求證：四邊形BEFG是平行四邊形考點：平行線分線段成比例；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的性質(zhì)23如圖，在ABC中，C=90°，點D是AB邊上的一點，DMAB，且DM=AC，過點M作MEBC交AB于點E求證：ABCMED考點：相