《函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)》

1、1.求過(guò)曲線求過(guò)曲線y=x3-2x上的點(diǎn)上的點(diǎn)(1,-1)的切線方程的切線方程方程方程相切的直線相切的直線且與曲線且與曲線求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)11)1 , 1(. 22 xy求過(guò)某點(diǎn)的曲線的切線方程時(shí)，除了要判斷該點(diǎn)是否求過(guò)某點(diǎn)的曲線的切線方程時(shí)，除了要判斷該點(diǎn)是否在曲線上，還要分在曲線上，還要分“該點(diǎn)是切點(diǎn)該點(diǎn)是切點(diǎn)”和和“該點(diǎn)不是切點(diǎn)該點(diǎn)不是切點(diǎn)”兩種兩種情況進(jìn)行討論，解法復(fù)制。若設(shè)情況進(jìn)行討論，解法復(fù)制。若設(shè)M(x0,y0)為曲線為曲線y=f(x)上上一點(diǎn)，則以一點(diǎn)，則以M為切點(diǎn)的曲線的切線方程可設(shè)為為切點(diǎn)的曲線的切線方程可設(shè)為y-y0=f(x)(x-x0)，利用此切線方程可以簡(jiǎn)化解題，避免，利

2、用此切線方程可以簡(jiǎn)化解題，避免疏漏。疏漏。1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（4）.對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):.1)(ln)1(xx .ln1)(log)2(axxa（5）.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):.)()1(xxee ).1, 0(ln)()2( aaaaaxx xxcos)(sin1）（3）.三角函數(shù)三角函數(shù) ： xxsin)(cos2）（1）.常函數(shù)：常函數(shù)：(C)/ 0, (c為常數(shù)為常數(shù))； （2）.冪函數(shù)冪函數(shù) ： (xn)/ nxn 1一、復(fù)習(xí)回顧：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式一、復(fù)習(xí)回顧：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在給定區(qū)間在給定區(qū)間

3、 G 上，當(dāng)上，當(dāng) x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 時(shí)時(shí)yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 則則 f ( x ) 在在G 上是增函數(shù)上是增函數(shù)；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 則則 f ( x ) 在在G 上是減函數(shù)上是減函數(shù)；若若 f(x) 在在G上是增函數(shù)或減函數(shù)，上是增函數(shù)或減函數(shù)，則則 f(x) 在在G上具有嚴(yán)格的單調(diào)性。上具有嚴(yán)格的單調(diào)性。G 稱為稱為單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間G = ( a , b )二、復(fù)習(xí)引入二、復(fù)習(xí)引入:oyxyox1oyx1xy1122xxyxy3在（ ，0）和（0, ）上分別是減函數(shù)。但在

4、定義域上不是減函數(shù)。在（ ，1）上是減函數(shù)，在（1, ）上是增函數(shù)。在( ,)上是增函數(shù)概念回顧概念回顧畫(huà)出下列函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像指出每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間畫(huà)出下列函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像指出每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性； (2)函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，它是個(gè)局部概函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，它是個(gè)局部概 念。這個(gè)區(qū)間是定義域的子集。念。這個(gè)區(qū)間是定義域的子集。(3)單調(diào)區(qū)間：針對(duì)自變量單調(diào)區(qū)間：針對(duì)自變量x而言的。而言的。 若函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)，則為單調(diào)遞增若函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)，則為單調(diào)遞增區(qū)區(qū)間；間； 若函數(shù)在此區(qū)間上

5、是減函數(shù)，則為單調(diào)遞減區(qū)間。若函數(shù)在此區(qū)間上是減函數(shù)，則為單調(diào)遞減區(qū)間。 以前以前,我們用定義來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性我們用定義來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性.在假設(shè)在假設(shè)x1x2的的前提下前提下,比較比較f(x1)f(x2)與的大小與的大小,在函數(shù)在函數(shù)y=f(x)比較復(fù)雜比較復(fù)雜的情況下的情況下,比較比較f(x1)與與f(x2)的大小并不很容易的大小并不很容易.如果利用如果利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性就比較簡(jiǎn)單導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性就比較簡(jiǎn)單.觀觀 察察: 下圖下圖(1)表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的高度表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的高度 h 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 變化的變化的函數(shù)函數(shù) 的圖象的圖象, 圖圖(2)表示高臺(tái)跳水運(yùn)表示高

6、臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度動(dòng)員的速度 v 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 變化的函數(shù)變化的函數(shù) 的圖象的圖象. 運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn), 以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別?105 . 69 . 4)(2ttth5 . 69 . 4)(ttvaabbttvhOO 運(yùn)動(dòng)員從起跳到運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)最高點(diǎn), ,離水面的高度離水面的高度h隨時(shí)間隨時(shí)間t 的增加而增加的增加而增加, ,即即h(th(t) )是增函數(shù)是增函數(shù). .相應(yīng)相應(yīng)地地, ,. 0)()(thtv 從最高點(diǎn)到入水從最高點(diǎn)到入水, ,運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)員離水面的高度離水面的高度h隨

7、時(shí)間隨時(shí)間t t的的增加而減少增加而減少, ,即即h(th(t) )是減函數(shù)是減函數(shù). .相應(yīng)地相應(yīng)地, ,. 0)()(thtv(1)(1)(2)(2)xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3xy1 觀察下面一些函數(shù)的圖象觀察下面一些函數(shù)的圖象, 探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系數(shù)正負(fù)的關(guān)系. 在某個(gè)區(qū)間在某個(gè)區(qū)間( (a, ,b) )內(nèi)內(nèi), ,如果如果 , ,那么函數(shù)那么函數(shù) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增; ; 如果如果 , ,那那么函數(shù)么函數(shù) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. .0)( xf)(xfy 0)( xf)(x

8、fy 如果恒有如果恒有 ，則，則 是常數(shù)。是常數(shù)。)(xf0)(xf題題1 已知導(dǎo)函數(shù)已知導(dǎo)函數(shù) 的下列信息的下列信息:當(dāng)當(dāng)1 x 4 , 或或 x 1時(shí)時(shí),當(dāng)當(dāng) x = 4 , 或或 x = 1時(shí)時(shí),)(xf ; 0)( xf; 0)( xf. 0)( xf試畫(huà)出函數(shù)試畫(huà)出函數(shù) 的圖象的大致形狀的圖象的大致形狀.)(xf解解: 當(dāng)當(dāng)1 x 4 , 或或 x 0(或或f(x)0,即在（0， 1上恒成立f xa-xx31max而 ( )在（0， 1上單調(diào)遞增，( )(1)=-1g xxg xg 1a -2120 10 1已 知 函 數(shù) （ ），( 若 （ ） 在(上 是 增 函 數(shù) ， 求的 取

9、 值 范 圍fxaxx,fxxx,a.增例增例2：322當(dāng)a1時(shí)， ( )f xx 1對(duì)x （0， 1）也有 ( ) 0時(shí)，（ ）在(0, 1)上是增函數(shù)f xa-f x所以a的范圍是-1，+ ）在某個(gè)區(qū)間上，在某個(gè)區(qū)間上， ，f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）；但由（遞減）；但由f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而僅僅得到僅僅得到 是不夠的。還有可能導(dǎo)數(shù)等于是不夠的。還有可能導(dǎo)數(shù)等于0也能使也能使f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)，）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)，所以對(duì)于能否取到等號(hào)的問(wèn)題需要單獨(dú)驗(yàn)證所以對(duì)于能否取到等號(hào)的問(wèn)題需要單獨(dú)驗(yàn)證( )0(或0(或0)f x2120 10 1已知函數(shù)（ ），(若（ ）在(上是增函數(shù)，求 的取值范圍f xaxx, ,f xxx,a.增例增例2：322當(dāng)a1時(shí)， ( )f xx 1對(duì)x （0， 1）也有 ( ) 0時(shí)，（ ）在(0, 1)上是增函數(shù)f xa-f x所以a的范圍是-1，+ ）本題用到一個(gè)重要的轉(zhuǎn)化：本題用到一個(gè)重要的轉(zhuǎn)化：maxminmf( )恒成立( )( )恒成立( )xmf xmf xmf x320已知函數(shù) ( )=，(0, 1,若 ( )在（0， 1上是增函數(shù)，求 的取值范圍練。習(xí)2f xax - xxaf xa3)2,例例3：方程根的問(wèn)題：方程根的問(wèn)題求證：方程求證：方程 只有一個(gè)