復(fù)積分的計(jì)算方法綜述樂山師范學(xué)院

1、樂山師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）復(fù)積分的計(jì)算方法綜述 王攀茜數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 10290063【摘要】復(fù)變函數(shù)的積分是復(fù)變函數(shù)的重要內(nèi)容之一。由復(fù)變函數(shù)的積分而得到的柯西積分定理與柯西積分公式是探討解析函數(shù)相關(guān)理論的重要工具。解析函數(shù)的許多重要性質(zhì)都要利用復(fù)積分來證明，所以有必要對(duì)復(fù)積分的計(jì)算方法進(jìn)行探討。這可以讓我們更深刻地理解解析函數(shù)的性質(zhì)。這篇文章就是對(duì)復(fù)變函數(shù)的積分的計(jì)算方法進(jìn)行了歸納、總結(jié)，并通過具體的實(shí)例說明了這些方法的具體應(yīng)用技巧?！娟P(guān)鍵詞】復(fù)積分 計(jì)算方法 復(fù)變函數(shù) 0 引言復(fù)積分的計(jì)算方法對(duì)于解析函數(shù)來說是非常重要的內(nèi)容。它對(duì)研究解析函數(shù)的局部性質(zhì)起著關(guān)鍵的作用

2、。對(duì)于初學(xué)者來說,如果對(duì)復(fù)變函數(shù)的積分的正確處理方法掌握程度不夠，就造成對(duì)解析函數(shù)的相關(guān)理論理解不通透，因此探究和分析復(fù)積分的計(jì)算方法具有一定的意義。我們常見的求復(fù)變函數(shù)的方法有很多。例如可以用參數(shù)方程法計(jì)算復(fù)積分，還可以用柯西積分定理和柯西積分公式計(jì)算復(fù)積分，還可以用柯西留數(shù)定理計(jì)算復(fù)積分。在我們的教材中?？吹降囊彩巧鲜鰩追N方法。對(duì)于初學(xué)者來說，具體到某一道題中不知道用哪種方法比較妥當(dāng)，甚至不能融會(huì)貫通。下面就針對(duì)這些問題做一些簡單的歸納、整理。1 基礎(chǔ)知識(shí)定義1.1 假設(shè)有曲線: ，把作為這段曲線的起點(diǎn)，把作為這段曲線的終點(diǎn)，沿這段曲線有定義，順著曲線沿到的方向上在這段曲線上取出分點(diǎn)： 把

3、有向曲線分成多個(gè)弧段，由至的每一個(gè)弧段上任意取出 （）而當(dāng)分點(diǎn)個(gè)數(shù)是無限增加的，這弧段長度的最大值又趨近于零時(shí)，若和數(shù)的極限是存在的并且等于，則叫做沿曲線（由至）是可積的，而把叫做沿（由至）的積分，用記號(hào)來表示： 叫做這個(gè)積分的積分路徑。我們知道若某一個(gè)函數(shù)在某一閉區(qū)域內(nèi)是處處解析的，則函數(shù)沿這閉區(qū)域內(nèi)的任意一條封閉的曲線的積分值都為零，即 推論1 若是一條周線，為的內(nèi)部，函數(shù)在閉域上是解析的，則 下面的定理也是從一個(gè)方面推廣了的柯西積分定理。推論2 若是一條周線，為的內(nèi)部，函數(shù)在內(nèi)解析，在上連續(xù)（也可以說“連續(xù)到”）,則 注意：對(duì)于一個(gè)復(fù)變函數(shù)的積分，首先判斷是否在某一區(qū)域內(nèi)解析，一定要在解

4、析的基礎(chǔ)上再求積分。推論3 （牛頓萊布尼茲公式）若在某個(gè)單連通域內(nèi)是處處解析的，為的一個(gè)原函數(shù)，則對(duì)內(nèi)任意兩點(diǎn)有。定理1.2 若某一區(qū)域的邊界是周線，而函數(shù)在內(nèi)是處處解析的，并且在上是連續(xù)的，則有 也可寫成 定理1.3若函數(shù)在周線所圍成的某一區(qū)域內(nèi)，除在點(diǎn)外是解析的，而在閉區(qū)域上除外是連續(xù)的，則有 2 復(fù)積分的計(jì)算方法2.1 利用參數(shù)方程法計(jì)算復(fù)積分如果有光滑曲線: ，這就表示在上連續(xù)且有不為零的導(dǎo)數(shù),又設(shè)沿連續(xù)，令,于是 = =，即=或=這種方法是從積分路徑入手的，稱為參數(shù)方程法。例1 計(jì)算積分，為直線段0到1+i解 設(shè)參數(shù)方程為,故 此題中被積函數(shù)在區(qū)域內(nèi)不解析，則與積分路徑有關(guān)，可用參數(shù)

5、方程法解題，即先把積分路徑寫成,然后由計(jì)算右端關(guān)于實(shí)參數(shù)的積分。例2 計(jì)算積分，為圓周上從1到-1的上半圓周。解 設(shè)參數(shù)方程為，故例3 計(jì)算積分其中為：0到的直線段解 可用參數(shù)方程表示為,例4 計(jì)算積分，:左平面以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針方向的單位半圓周。解： 令，則有， 故例5 計(jì)算積分，路徑為直線段解 設(shè)，則例6 計(jì)算的值，其中為拋物線上從0到的一段弧。解 ，設(shè)參數(shù)方程為：，其中，所以有例7 計(jì)算積分的值，其中為正向圓周：解 的參數(shù)方程為：，?？傻美? 計(jì)算積分，其中為扇形區(qū)域的周界。解 由兩段光滑曲線組成：；，起點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)。而被積函數(shù)在上連續(xù)，只要補(bǔ)充定義，利用曲線的參數(shù)方程分別計(jì)算這兩個(gè)復(fù)積分

6、。例9 證明。其中積分路徑是從連接和的直線段。證 的參數(shù)方程為 也就是 沿，連續(xù)，并且有。而的長度是2，由定理可知2.2 利用柯西積分定理計(jì)算復(fù)積分 如果把柯西積分定理的條件改變一些在某些情況下還是可以的。例如可以不是簡單的閉曲線；也可以是的邊界，但要在上也解析；還可以是的邊界，在內(nèi)解析，上連續(xù)。但有一點(diǎn)必須滿足單連通域是不能發(fā)生變化的。例9 計(jì)算下列積分：(1);(2) 其中為右半圓周：，,起點(diǎn)為-2i,終點(diǎn)為2i;(3),其中取那支解 （1）的支點(diǎn)為-1，它在閉圓上單值解析。于是由上述柯西積分定理得到： （2）在,上解析，i （3）的支點(diǎn)為0，它的單值分支在圓內(nèi)解析，并連續(xù)到邊界，由柯西積

7、分定理得到：例10 計(jì)算積分，為解 這兩個(gè)函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是處處解析的，故例11 計(jì)算下列積分：（1） ； （2）； （2） ； （4）解 （1）在平面內(nèi)處處解析，由牛頓-萊布尼茲公式可得 （2）在復(fù)平面內(nèi)處處解析，由牛頓萊布尼茲公式可得 （3)在內(nèi)處處解析，又因?yàn)辄c(diǎn)1與i都在內(nèi)，由牛頓萊布尼茲公式可得 （4）在內(nèi)處處解析，由牛頓萊布尼茲公式可得 例12 計(jì)算.解 因?yàn)樵趶?fù)平面上處處解析，所以積分與路徑無關(guān).2.3 利用柯西積分公式計(jì)算復(fù)積分在實(shí)際使用時(shí)，和柯西積分定理一樣柯西積分公式的條件在某些條件下還可以做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，即的內(nèi)部有奇點(diǎn)的多連通區(qū)域。例13 計(jì)算積分：，其中為：（1） （2）

8、（3）解 （1）: （2）： （3）: 在平面內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)，分別是和，再以，為圓心，以為半徑作圓與，可得到：例14 設(shè)為圓周，則按有在閉圓周上是解析的，定理1.4的條件又是滿足的，可以直接運(yùn)用。例15 計(jì)算下列積分，其中為解 在這個(gè)積分中，內(nèi)包含有兩個(gè)奇點(diǎn)，分別是0和1.則有柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式可得，例16 計(jì)算積分，其中為繞一周的周線。解 在平面上處處解析 例17 計(jì)算，其中為圓周.解 因被積函數(shù)的兩個(gè)奇點(diǎn)是，分別以這兩點(diǎn)為心做兩個(gè)完全含于且互不相交的圓周.則有.例18 計(jì)算，其中為圓周：解 由題可知，這個(gè)函數(shù)有一個(gè)奇點(diǎn)，在的外部。則函數(shù)在以為邊界的閉圓上是解析的。所以可得：由以上例題

9、我們可以得出這樣的結(jié)論：設(shè)函數(shù)在平面上的區(qū)域內(nèi)處處解析，則在內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，并且各階導(dǎo)數(shù)也在內(nèi)解析。注意：如果一個(gè)被積函數(shù)在積分曲線的內(nèi)部有兩個(gè)及兩個(gè)以上的奇點(diǎn)，就不能直接運(yùn)用柯西積分公式。24 利用柯西留數(shù)定理計(jì)算復(fù)積分積分的另一種求法便是運(yùn)用柯西留數(shù)定理來求。在求周線積分的情況下，內(nèi)部有被積函數(shù)的多個(gè)孤立奇點(diǎn)，則用柯西留數(shù)定理計(jì)算。例19 利用柯西留數(shù)定理求下列積分：（1） ，n為正整數(shù)（2）解（1）被積函數(shù)在的孤立奇點(diǎn)為,而的根有6n個(gè)，這6n+1個(gè)孤立奇點(diǎn)均為的一級(jí)極點(diǎn)，所以由公式有所以由留數(shù)基本定理可得到：（2） 被積函數(shù)有一個(gè)奇點(diǎn),并且在內(nèi)的洛朗展開式為所以有，所以由柯西留數(shù)基本定

10、理=0注意：在利用柯西留數(shù)定理求復(fù)積分時(shí)，一般思路是先求出被積函數(shù)在積分路徑里面的孤立奇點(diǎn)，并且要判斷孤立奇點(diǎn)的類型，再次求出在奇點(diǎn)處的留數(shù)，最后利用柯西留數(shù)定理就可求得所求積分值。推而廣之，這樣的計(jì)算方法可以推廣到復(fù)平面上全部孤立奇點(diǎn)留數(shù)之和為零的類型題上來，例如下面的例題。例20 計(jì)算下列積分，其中為正向的圓周： :解 被積函數(shù)在內(nèi)，以為4級(jí)極點(diǎn)，以為它的三級(jí)極點(diǎn)。由于它們的極點(diǎn)級(jí)數(shù)比較高，所以利用如果利用留數(shù)公式直接計(jì)算就顯得比較麻煩，但仔細(xì)觀察在外有且僅有以為它的孤立奇點(diǎn)，并且有所以由留數(shù)之和為零知，可將其轉(zhuǎn)化為被積函數(shù)在積分路徑外部孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)來計(jì)算可得例21 計(jì)算積分解 被積函

11、數(shù)在的內(nèi)部只有一階極點(diǎn)及二階極點(diǎn),所以有 所以由留數(shù)定理可得：例22 計(jì)算積分(為正整數(shù))解 以為一階極點(diǎn)，可得：例23 計(jì)算積分解 只以為三階極點(diǎn)，可得：所以由留數(shù)定理可得: 3.小結(jié)上述各種方法對(duì)復(fù)變函數(shù)的積分的求法都有著重要的作用，他們相互聯(lián)系又互相區(qū)別。而在具體解題時(shí)該用哪種計(jì)算方法比較合適是許多人比較迷茫的問題?，F(xiàn)在就針對(duì)這一問題進(jìn)行探討。復(fù)積分的構(gòu)成不外乎就是積分微元，積分路徑，被積函數(shù)這三部分構(gòu)成的。如果積分路徑為直線段或圓周的一部分或閉曲線時(shí)，則用參數(shù)方程法計(jì)算復(fù)積分。如果積分路徑為閉曲線且在其區(qū)域內(nèi)處處解析，則該函數(shù)的積分值為0。如果積分路徑是一段曲線，且含在被積函數(shù)的解析區(qū)

12、域內(nèi)，則用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算積分值。如果積分曲線內(nèi)部有被積函數(shù)的有限個(gè)奇點(diǎn)，則可用柯西積分公式、柯西留數(shù)定理計(jì)算。 在某些復(fù)變函數(shù)的積分求值中，各種求積分的方法并不是獨(dú)立的。例如某些題中需要單獨(dú)的運(yùn)用柯西積分公式或者單獨(dú)運(yùn)用柯西積分定理，又有些題會(huì)運(yùn)用柯西留數(shù)定理和牛頓萊布尼茲公式相結(jié)合來求解?；蛘呖挛鞣e分定理及柯西積分公式及其推論的互相結(jié)合。由此可見，復(fù)變函數(shù)的積分的求值問題并不是獨(dú)立的，而是相互聯(lián)系的?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1孫清華.復(fù)變函數(shù)與積分變換例題與習(xí)題解析m.湖南大學(xué)出版社, 2001：31-322鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論(第三版)m.高等教育出版社,2005：45-503蓋云英.復(fù)變函數(shù)與積

13、分變換m.科學(xué)出版社,2001：36-394陳靜.復(fù)變函數(shù)積分的幾種計(jì)算方法j.河南機(jī)電高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2013,21(2):21-23.5張?，?復(fù)積分的幾種算法j.科技致富向?qū)?2013,(2):41-41.6王艷琴.計(jì)算復(fù)積分的幾種方法j.湖南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2011,11(5):8-11.7完巧玲.周線上復(fù)積分的幾種算法j.隴東學(xué)院學(xué)報(bào),2010,21(2):7-9.8邱雙月.復(fù)積分的計(jì)算j.邯鄲學(xué)院學(xué)報(bào),2009,(3):-. the complex integral various calculation methods wang panxi college of math

14、ematics and information science mathematics and applied mathematic【abstract】the complex integral is an important part for the integration of complex functions. cauchy's integral theorem by the integration of complex function obtained with the cauchy integral formula are an important tools to explore the theory of analytic functions.its many important properties are used prove complex integration. therefore, it is necessary to explore the complex methods to calculate the integral method t. it makes us to gain a deeper understanding of the nature of analytic functions. this article is