21.3.1柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積作業(yè)

1、精品教育資源1.3空間幾何體的表面積與體積1.3.1 柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積目標(biāo)定位 1.了解表面與展開圖的關(guān)系.2.了解柱、錐、臺(tái)體的表面積和體積計(jì)算公式；能運(yùn)用柱、錐、臺(tái)的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題.睇前自學(xué)可再飛耍哽嗔哽盛咧吸嚼哽理直里鬻面自主預(yù)習(xí)1 .多面體的表面積多面體的表面積就是各個(gè)面的面積的和,也就是展開圖的面積2 .旋轉(zhuǎn)體的表面積名稱圖形公式底間積：S底=2兀r圓柱r1 1側(cè)卸積：S側(cè)=21rl2 nr表面積：S = 2上rl + 2-r圓錐11八”A2底間積：S底=兀r側(cè)卸積：S側(cè)=兀rl表卸積：S="rl +冗r上底卸回積：S上底=冗r下底

2、卸聞積：S下底=山r側(cè)卸積：S側(cè)=兀l(r + r )表卸積：S="(r +r+rl + rl)圓臺(tái)i3.體積公式(1)柱體：柱體的底面面積為 S,高為h,則V=Sh.(2)錐體：錐體的底面面積為 S,高為h則V=1Sh3(3)臺(tái)體：臺(tái)體的上、下底面面積分別為 S'、S,高為h,則V=1(S'+壇飛+ S)h.即時(shí)自測(cè)1 .判斷題(1)直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，一邊是棱柱的側(cè)棱，另一邊等于棱柱的底面周長(zhǎng).(，)(2)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)等腰三角形.(X)(3)柱體的底面積為S,高為h,其體積V=Sh,特別地，圓柱的底面半徑為r, 高為h;其體積V=冗人."

3、)已知圓錐SO的底面半徑r = 2,高為4,則具體積為16冗.(X)提示(2)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形.(4)V=1 7tx 22X4 =竽兀. 332 .圓錐的母線長(zhǎng)為5,底面半徑為3,則其側(cè)面積等于()A.15B.15 兀C.24兀D.30 九解析 $側(cè)=兀1 =兀X 3X 5= 15兀.答案 B3 .將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面 積是()A.4兀B.3兀C.2九D.冗解析 底面圓半徑為1,高為1,側(cè)面積S= 2冗由=2冗X1X1=2幾.故選C.答案 C4 .圓臺(tái)OO的上、下底面半徑分別為1和2,高為6,則其體積等于 .解析 V=1M12+ 1X2

4、+22)X6= 14 兀.3答案 14九鵬皇互期:二題遜革：；緡菖理；饕：；碧：爵:常正動(dòng)上流醒j類型一空間幾何體的表面積【例1】 如圖所示，已知直角梯形ABCD, BC/AD, /ABC=90° , AB = 5 cm, BC=16 cm, AD = 4 cm.求以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積.J?解 以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓臺(tái)，其上底半徑是4 cm,下底半徑是 i6 cm,母線 DC = ,52+ (i6 4) 2 =i3(cm).該幾何體的表面積為 兀(4+i6)Xi3+兀X42+兀Xi62=532兀(cm2).規(guī)律方法 1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的相關(guān)

5、幾何量都集中體現(xiàn)在軸截面上，因此準(zhǔn)確把握軸截面中的相關(guān)量是求解旋轉(zhuǎn)體表面積的關(guān)鍵2.棱錐及棱臺(tái)的表面積計(jì)算常借助斜高、側(cè)棱及其在底面的射影與高、底面邊長(zhǎng)等構(gòu)成的直角三角形(或梯形)求解.【訓(xùn)練11如圖，已知棱長(zhǎng)為a,各面均為等邊三角形的四面體 S-ABC,求它 的表面積.歡迎下載使用解 先求 SBC的面積，過點(diǎn)S作SDLBC,交BC于點(diǎn)D.因?yàn)?BC = a, SD=MSB2BD2 =1 -_所以 Sasbc= 2BC , SD= 2ax 乎a=%因此，四面體S-ABC的表面積S= 4x3a2=>/3a2類型二空間幾何體的體積(互動(dòng)探究)【例2】 如圖，三棱臺(tái)ABCAiBiCi中，AB

6、: AiBi=1 ： 2,求三棱錐Ai-ABC,三棱錐B-AiBiC,三棱錐CAiBiCi的體積之比.耳AAC思路探究探究點(diǎn)一題中三棱臺(tái)與三棱錐有什么關(guān)系?提示 題中三個(gè)三棱錐可看作是由三棱臺(tái)分割而成的 探究點(diǎn)二 求體積的常用方法有哪些?提示 求幾何體體積的常用方法有：公式法，等積變換法，補(bǔ)體法，分割法 解 設(shè)棱臺(tái)的高為h, SaABC = S,則SAAiBiCi = 4S . Va1 ABC = aSABC , h = aSh, 331- 4cVc a1B1C1 = §SaA1B1C1 , h = 3Sh.4S+ 2SfSh, 33二 Vb A1B1C= V 臺(tái)一Va1 ABC V

7、c A1 B1C1Sh-7O1_3Sh一 5體積比為1 ： 2 ： 4.規(guī)律方法求幾何體體積的常用方法【訓(xùn)練2】如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距離d.B解 在三棱錐 AiABD 中，AAi,平面 ABD, AB=AD = AAi = a,AiB=BD=AiD =唇，VA1 ABD = VA A1BD,11 211c 3 c 3x5a , a= 3X 2x>/2ax ? ' V2a . d.d=a.A到平面A1BD的距離為坐a.類型三與三視圖有關(guān)的表面積、體積問題【例3】一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正方形，其正視圖如圖所示，則 該四棱

8、錐側(cè)面積和體積分別是（）HA.4乖，8B.475, 3D.8, 8C.4N5+1), 83解析由正視圖得出四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高，進(jìn)而求出側(cè)面積與體積由正視圖知：四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為 2的正方形，四棱錐的高為2,. V=3x 22X2= 8.四棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，底為 2,高為45, 33 S 側(cè)= 4x1x2xV5 = 4f5.答案 B規(guī)律方法 1.解答此類問題的關(guān)鍵是先由三視圖還原作出直觀圖，然后根據(jù)三視 圖中的數(shù)據(jù)在直觀圖中求出計(jì)算體積所需要的數(shù)據(jù)2.若由三視圖還原的幾何體的直觀圖由幾部分組成，求幾何體的體積時(shí)，依據(jù)需要先將幾何體分割分別求解，最后求和【訓(xùn)練3】已知某三棱錐的三視

9、圖如圖所示，則該三棱錐的體積是 .解析 由三視圖可大致畫出三棱錐的直觀圖如圖,由正、俯視圖可知，4ABC為等腰三角形，且AC = 2#,AC邊上的高為1,&abc1=5><24><1=小.1一3由側(cè)視圖可知：二梭錐的圖 h=1,.Vs-abc=§SaABch= 3.答案33課堂小結(jié)1 .圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開圖的面積，因此弄清側(cè)面展開 圖的形狀及側(cè)面展開圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系，是掌握它們的側(cè)面積公式及解有關(guān)問題的關(guān)鍵.2 .計(jì)算柱體、錐體和臺(tái)體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要 充分運(yùn)用多面體的有關(guān)截面及旋轉(zhuǎn)體的軸

10、截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.3 .在幾何體的體積計(jì)算中，注意體會(huì)“分割思想”、“補(bǔ)體思想”及“等價(jià)轉(zhuǎn)化 思想”.自主反憒區(qū)保堂達(dá)宿1.已知長(zhǎng)方體的過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)的比是1 ： 2 ： 3,對(duì)角線的長(zhǎng)是214,則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是（）A.6B.12C.24D.48 解析 設(shè)長(zhǎng)方體的過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為 x、2x、3x,又對(duì)角線長(zhǎng)為2幣, 則 x2+(2x)2+(3x)2= (2/14)2,解得 x = 2；.三條棱長(zhǎng)分別為 2、4、6. V 長(zhǎng)方體=2 X 4 X 6 = 48.答案 D2 .一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如圖(單位：cm),則該幾何體的表面積為()正捌圖 側(cè)視圖俯視圖

11、A.12 兀B.18 九C.24 兀D.36 九解析 由三視圖知該幾何體為圓錐，底面半徑 r=3,母線1 = 5,- S表=兀1 +冗產(chǎn)=24幾.故選C.答案 C3 .一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比為ccc CC1 + 2冗解析 設(shè)底面半徑為r,側(cè)面積為4九2/，表面積為2兀產(chǎn)+4冗22,其比為2兀4 .在長(zhǎng)方體ABCD AiBiCiDi中，截下一個(gè)棱錐 C AiDDi求棱錐CAiDDi的 體積與剩余部分的體積之比.解 已知長(zhǎng)方體可以看成直四棱柱，設(shè)它的底面 ADDiAi的面積為S,高為h, 則它的體積為V=Sh1而棱錐CAiDDi的底面積為2&圖為h

12、,故三棱錐C AiDDi的體積：Vc aiddi = ；x ；Sh=、Sh,余下部分體積為：Sh、Sh= |sh. 3 2666所以才8錐C AiDDi的體積與剩余部分的體積之比為 1 ： 5.課時(shí)作業(yè)| 鞏閭*升區(qū) 基礎(chǔ)過關(guān)1 .圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是 3和4,母線長(zhǎng)為6,則其表面積等于（）A.72B.42 兀C.67 兀D.72 九解析 S圓臺(tái)表=S圓臺(tái)側(cè)+$上底+ $下底=兀（3 + 4） &+ 兀 32+ tt 42 = 67 tt.答案 C2 .如圖所示，正方體ABCD AiBiCiDi的棱長(zhǎng)為I,則三棱錐Di ACD的體積是 （）iiiA.6B.3C.2D.i解析 三棱

13、錐 Di-ADC 的體積 V= 1szadcXDiDXXADXDCXDiDxJ33 23 2X ix ix i =.6答案 A3 .一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正方形，其正（主）視圖如下圖所示該四棱錐側(cè)面和體積分別是（）A.4 m，88C.4(亞+1),同38B.45, 3D.8, 8解析由題意可知該四棱錐為正四棱錐，底面邊長(zhǎng)為2,高為2,側(cè)面上的斜高為、22+12 =75,所以 S 側(cè)= 4X（2X2X 正 j= 4-75, V=3X22X2=a答案 B4 .一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的軸截面分別是邊長(zhǎng)為a的正方形和正三角形，則它們的表面積之比為.解析 S 圓柱=2 兀+ 2 tt -2 Ja=

14、 2 Tta2,a 2 a 32S圓錐=入2 J +兀2 a = 4：ta , ；S圓柱：S圓錐=2 ： 1.m3.答案 2 ： 15 .一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積為僻視圖解析根據(jù)三視圖知，該幾何體上部是個(gè)底面直徑為 4 m,高為2 m的圓錐,卜部是一個(gè)底面直徑為2 m,高為4 m的圓柱.故該幾何體的體積V=1TtX22X2+ 冗 X12X4 = 20 (m3).33答案6 .如圖是某幾何體的三視圖o正視用o惻視圖俯視圖畫出它的直觀圖（不要求寫畫法）;（2）求這個(gè)幾何體的表面積和體積.解（1）這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示.（2）這個(gè)幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，它的下部是

15、一個(gè)圓柱（底面半徑為1,高為2）,它的上部是一個(gè)圓錐（底面半徑為1,母線長(zhǎng)為2,高為43）, 所以所求表面積為S=兀X 12 + 2冗X1X2+冗X1X2=7冗,體積為V=兀X 12X 2+1X兀X 12xJ3=2冗+坐冗.337 .在4ABC中，AC = 3, BC = 4, AB = 5,以AB所在直線為軸，三角形面旋轉(zhuǎn) 周形成一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.解過C點(diǎn)作CDXAB,垂足為D.以4ABC中邊AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周,所得到的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)底面重合的圓錐，如圖所示，這兩個(gè)圓錐的高的和為AB=5,底面半徑 DC = ACarBC = 12,故 S表=兀 DC (BC+AC) =

16、 84幾。 AB 55V=1 幾 DC2 . AD + 1 冗 DC2 . BD 33=1 幾 DC2 . (AD + BD) = 48 幾. 358448即所行旋轉(zhuǎn)體的表面積為 y冗,體積為三冗.55能力提升8.體積為52的圓臺(tái)，一個(gè)底面積是另一個(gè)底面積的9倍，那么截得這個(gè)圓臺(tái)的圓錐的體積是()A.54B.54 兀C.58D.58 幾解析 設(shè)上底面半徑為r,則由題意求得下底面半徑為 3r,設(shè)圓臺(tái)高為hi,則 52=1 幾hi(r2 + 9r2 + 3r r),3.仃、1=12.令原圓錐的高為h,由相似知識(shí)得知a=31h h1h3h=2山，. V 原圓錐=：M3r)2x h= 3 仃2*|&#

17、187; = |x 12=54.322答案 A一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為il-.r9覘圖俯視性I1 2A.&+ & 冗 3 3D. 1+醇解析棱錐, 2由二視圖知，半球的半徑R嚏,四棱錐為底面邊長(zhǎng)為1,圖為1的正四、，1/ / / 1 412 一、3+-6九，故選c. . V= 3X ix ix 1 + 2X3TtX答案 C10.在長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi 中，AB=BC = 2,過 Ai, Ci,長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體 ABCD-AiCiDi,B三點(diǎn)的平面截去且這個(gè)幾何體的體AiDiCi解析由題意知 Vabc

18、d一AiciDi = Vabcd aibicidi Vb aibicii I= 2X2 AAi-0X33 2 i0X 2 X 2 AAi = "3"AAi = i0, . .AAi = 3.答案 3ii若E, F是三棱柱ABC- AiBiCi側(cè)棱BBi和CCi上的點(diǎn),BiE=CF,三棱柱的體積為m,求四棱錐ABEFC的體積.解 如圖所示，連接ABi, ACi.為 的積為i0,則AAi =.BiE = CF, .梯形BEFC的面積等于梯形BiEFCi的面積.又四棱錐A-BEFC的高與四棱錐ABiEFCi的高相等,.i Va BEFC= Va BiEFCi = 'Va BBiCiC.P_iou又 Va aibici = 3$4aibici ' h,3'Vabc aibici = Saaibici . h=m,Va aibici =.一一一2 Va BBICIC = VaBC AIBICI Va AIBICI = 3m,