實數(shù)完備性基本定理之間的等價性

1、學號:20105031106學年論文（本科）學 院 數(shù)學與信息科學學院 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 年 級 2010 姓 名 陳方華 論文題目 實數(shù)完備性基本定理之間的等價性 指導教師 陶有德 職稱 副教授 成 績 2012 年 5 月18日目 錄摘要2關(guān)鍵詞2abstract.2key words.21. 引言22. 實數(shù)基本定理的陳述23. 定理1到定理6的循環(huán)證明34.舉例分析5參考文獻6實數(shù)完備性定理之間的等價性學生姓名:陳方華 學號:20105031106數(shù)學與信息科學學院 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)指導教師:陶有德 職稱:副教授 摘要:本文給出了實數(shù)理論的六個基本定理的循環(huán)證明 關(guān)鍵詞:實數(shù)基

2、本定理;等價性;數(shù)列;極限;收斂abstract:in this paper, a cycle of six fundamental theorem of the theory of real numbers prove.key words:real number of the fundamental theorem; equivalence; series; limits; convergence.1. 引言實數(shù)基本定理以不同的形式刻劃了實數(shù)的連續(xù)性和完備性,實數(shù)基本定理是建立與發(fā)展微積分學的基礎(chǔ).因此掌握這部分內(nèi)容是十分必要的,本文主要給出實數(shù)理論的6個基本定理的循環(huán)證明.2. 實數(shù)基本定

3、理的陳述 定理1(確界原理) 非空有上(下)界數(shù)集,必有上(下)確界.定理2(單調(diào)有界原理) 任何單調(diào)有界數(shù)列必有極限.定理3(區(qū)間套定理) 若是一個區(qū)間套, 則存在唯一一點,使得.定理4(有限覆蓋定理) 設(shè)是一個閉區(qū)間,為上的一個開覆蓋,則在 中存在有限個開區(qū)間,它構(gòu)成上的一個覆蓋.定理5（聚點原理） 實軸上的有界無限點集至少有一個聚點.定理6(柯西收斂準則) 數(shù)列收斂對任給的正數(shù),總存在某一個自然數(shù),使得時,都有. 3. 定理1到定理6的循環(huán)證明 (1) 定理1定理2(確界原理單調(diào)有界原理) 證 不妨設(shè)為單增有上界數(shù)列,即,有. 記,則由確界原理知u有上確界,不妨記為,則 ,從而,使得成立

4、.因為是單調(diào)遞增數(shù)列,所以,有 .故 . (2) 定理2定理3(單調(diào)有界定理區(qū)間套定理)證 因為,所以有從而可見數(shù)列單增有上界,數(shù)列單減有下界故由單調(diào)有界定理可知使得,使得.且有有,所以,于是成立 .又因為,所以.記,從而存在性得證.(3) 定理3定理4(區(qū)間套定理有限覆蓋定理)證(反證法) 假設(shè)閉區(qū)間有一個開覆蓋不能用它的任有限個開區(qū)間覆蓋. 定義性質(zhì)p:不能用中有限個開區(qū)間覆蓋. step(1) 將等分為兩個子區(qū)間,則至少有一個具有性質(zhì),不妨記該區(qū)間為,則; ;step(2) 將等分為兩個子區(qū)間,則至少有一個具有性質(zhì),不妨記該區(qū)間為,則;step(n) 將等分為兩個子區(qū)間,則至少有一個具有

5、性質(zhì),不妨記該區(qū)間為,則;由此可得一個區(qū)間套且滿足利用二等分法容易構(gòu)造出滿足性質(zhì)的區(qū)間套.故由區(qū)間套定理可知,存在唯一的,從而,有,這與具有性質(zhì)矛盾.這就證明了有限復蓋定理.(4) 定理4定理5(有限覆蓋定理聚點原理)證(反證法) 假設(shè)原命題不成立,則由于是直線上的有界無限點集,即存在閉區(qū)間,使得, 所以只含中的有限多項.從而得的一個開覆蓋記為.由有限覆蓋定理可知存在的一個有限子覆蓋記為.所以只含有中的有限多個點,這顯然與是矛盾的,故可知假設(shè)錯誤,原命題成立.(5) 定理5定理6(聚點原理柯西收斂準則)證 不妨設(shè)是無窮基本列,即有,使得有.易證有界.由聚點原理可知至少有一個聚點必含有的無限多項

6、.從而, 任取中滿足的某項,即可得到 .故(6) 定理6定理1(柯西收斂準則確界原理)證 設(shè)是一個有上界非空數(shù)集,則使得有,取構(gòu)造區(qū)間.定義性質(zhì),區(qū)間中至少有一個數(shù)屬于,且區(qū)間的右端點為的一個上界.仿(9)的證明,利用二等分法容易構(gòu)造出滿足性質(zhì)的區(qū)間套則由 時,有.由于單調(diào)遞增,中的每一個元素都為的上界.故,則有.故由柯西收斂準則可知收斂,記其極限為.由(3.1) 易證.因此, 有 .由于都為的上界,所以也為的上界.從而可知, .即,故為的上確界.4.舉例分析 用數(shù)列的柯西收斂準則證明確界原理證:設(shè)為非空有上界數(shù)集,由實數(shù)的阿基米德性,對任何正數(shù),存在整數(shù),使得為的上界,而不是的上界,故存在不

7、是的上界,即存在 分別取,則對每一個正數(shù)n,存在相應的,使得為的上界,而不是的上界,故存在,使得 （6）又對正整數(shù)m,是的上界,故有,結(jié)合（6）式得;同理有,從而得于是,對任意的,存在,使得當時有由柯西收斂準則,數(shù)列收斂,記 （7）現(xiàn)證明就是的上確界,首先,對任何和正整數(shù)n有,由（7）式得,即的一個上界,其次.對任何,由及（7）式,對充分大的n同時有 .又因不是的一個上界,故存在,使得.結(jié)合上式得 .這說明為的上確界,同理可證:若為非空有下界數(shù)集,則必存在下確界.參考文獻1 華東師范大學數(shù)學系.高等教育出版社, 數(shù)學分析教材第一冊m.2 錢吉林 等主編 數(shù)學分析題解精粹m.3 張筑生.數(shù)學分析

8、新講m .北京:北京大學出版社,1990.4 劉玉蓮,傅沛仁. 數(shù)學分析講義m. 北京:高等教育出版社,1996.5華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（上冊）m.高等教育出版社,2001.6同濟大學數(shù)學教研室編.高等數(shù)學m.2000.【唯美句子】 走累的時候，我就到升國旗哪里的一角臺階坐下，雙手撫膝，再閉眼，讓心靈受到陽光的洗滌。懶洋洋的幸福。頂 3 收藏 2【唯美句子】 一個人踮著腳尖，在窄窄的跑道白線上走，走到很遠的地方又走回來。陽光很好，溫暖，柔和。漫天的安靜。頂 7 收藏 7【唯美句子】 清風飄然，秋水緩淌。一絲云起，一片葉落，剔透生命的空靈。輕輕用手觸摸，就點碎了河面的臉。落葉舞步婀娜不肯

9、去，是眷戀，是裝點？瞬間回眸，點亮了生命精彩。頂 11 收藏 9【唯美句子】 幾只從南方歸來的燕子，輕盈的飛來飛去，“幾處早鶯爭暖樹，誰家新燕啄春泥，”其樂融融的山林氣息，與世無爭的世外桃源，讓人心曠神怡。頂 0 收藏 2【唯美句子】 流年清淺，歲月輪轉(zhuǎn)，或許是冬天太過漫長，當一夜春風吹開萬里柳時，心情也似乎開朗了許多，在一個風輕云淡的早晨，踏著初春的陽光，漫步在碧柳垂青的小河邊，看小河的流水因為解開了冰凍而歡快的流淌， 清澈見底的的河水，可以數(shù)得清河底的鵝軟石，偶爾掠過水面的水鳥，讓小河蕩起一層層的漣漪。河岸換上綠色的新裝，剛剛睡醒的各種各樣的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，這兒一叢，那兒一簇，

10、好像是交頭接耳的議論著些什么，又好象是在偷偷地說著悄悄話。頂 3 收藏 4【唯美句子】 喜歡海子寫的面朝大海春暖花開，不僅僅是因為我喜歡看海，還喜歡詩人筆下的意境，每當夜深人靜時，放一曲純音樂，品一盞茶，在腦海中搜尋詩中的恬淡閑適。在春暖花開時，身著一身素衣，站在清風拂柳，蝶舞翩躚的百花叢中，輕吹一葉豎笛，放眼碧波萬里，海鷗，沙灘，還有揚帆在落日下的古船，在心曠神怡中，做一簾紅塵的幽夢。頂 0 收藏 2【唯美句子】 繁華如三千東流水，你只在乎閑云野鶴般的采菊東籬、身心自由，置身置靈魂于曠野，高聲吟唱著屬于自己的歌，悠悠然永遠地成為一個真真正正的淡泊名利、鄙棄功名利祿的隱者。頂 1 收藏 3【唯

11、美句子】 世俗名利和青山綠水之間，你選擇了淡泊明志，持竿垂釣碧泉綠潭；權(quán)力富貴和草舍茅廬之間，你選擇了寧靜致遠，曉夢翩躚姹紫嫣紅。頂 2 收藏 3【唯美句子】 那是一株清香的無名花，我看到了它在春風夏雨中風姿綽約的模樣，可突如其來的秋雨，無情的打落了它美麗的花瓣，看著它在空谷中獨自凋零，我莫名其妙的心痛，像針椎一樣的痛。秋雨，你為何如此殘忍，為何不懂得憐香惜玉，我伸出顫抖的雙手，將散落在泥土里的花瓣捧在手心。頂 4 收藏 5【唯美句子】 滴答滴答，疏疏落落的秋雨，趕著時間的腳步，嘩啦啦的下起來。聽著雨水輕輕地敲擊著微薄的玻璃窗，不知不覺，我像是被催眠了一樣，漸漸的進入了夢鄉(xiāng)。頂 3 收藏 5【

12、唯美句子】 在這極致的悲傷里，我看到了世間最美的愛，可誰又能明白，此刻的我是悲傷還是歡喜，也許只有那撥動我心弦的秋季，才知道潛藏在我心中的眼淚。頂 4 收藏 3【唯美句子】 看著此情此景，我細細地聆聽。像是聽到了落葉的呢喃，秋風的柔軟，在這極短的瞬間，他們一起訴說著最美的愛戀，演繹著永恒的癡纏。當落葉安詳?shù)奶稍诖蟮兀冻鲂腋５哪?，你看，它多像一個進入夢鄉(xiāng)的孩子。突然發(fā)現(xiàn)，秋風并非是想象中的劊子手，原來它只是在葉子生命的最后一刻，讓它體會到愛的纏綿，飛翔的滋味。頂 1 收藏 1【唯美句子】 很感謝那些耐心回答我的人，公交上那個姐姐，還有那位大叔，我不知道他們是不是本地人，但我們遇到的一個交警協(xié)

13、管，一位頭發(fā)花白的大姐，她是上海本地人，很和善，并不像有些人說的上海人很排外。事實上，什么都不是絕對的。頂 2 收藏 0【唯美句子】 我嗅到濃郁的香奈爾，卻也被那種陌生嗆了一鼻。也許，我卻不知道，那時的感受了。那里沒有那么美好，沒有安全感，歸屬感。我想要的自由呢，不完全地體驗到了。頂 2 收藏 1【唯美句子】 那些繁華的都市，車水馬龍，燈紅酒綠，流光溢彩，卻充斥著一種悲哀，浮夸。我看到各種奢華，卻也看到各種卑微，我看到友善親和，也看到暴躁粗魯，我看到金光熠【優(yōu)美語句】 踏過一片海，用博識的學問激起片片微瀾；采過一叢花，正在聰慧的碰碰外送來縷縷清噴鼻；無過一個夢，決定從那里啟程。頂 0 收藏 0

14、【優(yōu)美語句】 人生如一本書，應該多一些精彩的細節(jié)，少一些乏味的字眼；人生如一支歌，應該多一些昂揚的旋律，少一些憂傷的音符；人生如一幅畫，應該多一些亮麗的色彩，少一些灰暗的色調(diào)。 頂 0 收藏 0【優(yōu)美語句】 母愛是一滴甘露，親吻干涸的泥土，它用細雨的溫情，用鉆石的堅毅，期待著閃著碎光的泥土的肥沃；母愛不是人生中的一個凝固點，而是一條流動的河，這條河造就了我們生命中美麗的情感之景。 頂 0 收藏 0【優(yōu)美語句】 生活如海，寬容作舟，泛舟于海，方知海之寬闊；生活如山，寬容為徑，循徑登山，方知山之高大；生活如歌，寬容是曲，和曲而歌，方知歌之動聽。 頂 0 收藏 0【優(yōu)美語句】 母愛就是一幅山水畫，洗去鉛華雕飾，留下清新自然；母愛就象一首深情的歌，婉轉(zhuǎn)悠揚，輕吟淺唱；母愛就是一陣和煦的風，吹去朔雪紛飛，帶來春光無限。 頂 0 收藏 0【優(yōu)美語句】 努力奮斗，天空依舊美麗，夢想仍然純真，放飛自我，勇敢地飛翔于夢想的天空，相信自己一定做得更好。 頂 0 收藏 0【優(yōu)美語句】 品味生活，完善人性。存在就是機會，思考才能提高。人需要不斷打碎自己，更應該重新組裝自己。頂 0 收藏 0【優(yōu)美語句】 母愛是一縷陽光，讓你的心靈即使在寒冷的冬天也能感到溫暖如春；母愛是一泓清泉，讓你的情感即使蒙上歲月的風塵依然純潔明凈。 頂 0 收藏 0【優(yōu)美語句】 母愛是溫暖心靈的