培優(yōu)專題2勾股定理及應(yīng)用含解答

1、勾股定理及應(yīng)用 勾股定理是數(shù)學(xué)史上一顆璀璨的明珠，在西方數(shù)學(xué)史上稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理” 例1 已知一直角三角形的斜邊長(zhǎng)是2，周長(zhǎng)是2+，求這個(gè)三角形的面積 分析 由斜邊長(zhǎng)是2，周長(zhǎng)是2+，易知兩直角邊的和是，又由勾股定理可知兩直角邊的平方和為4，列關(guān)于兩直角邊的方程，只需求出兩直角邊長(zhǎng)的積，即可求得三角形的面積本題中用到數(shù)學(xué)解題中常用的“設(shè)而不求”的技巧，要熟練掌握 解：設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，根據(jù)題意列方程得： 即 式兩邊同時(shí)平方再減去式得： 2ab=2， ab= s=因此，這個(gè)三角形的面積為 練習(xí)11已知：如圖2-1，ad=4，cd=3，adc=90°，ab=13，ac

2、b=90°，求圖形中陰影部分的面積2-12已知：長(zhǎng)方形abcd，abcd，adbc，ab=2，addc，長(zhǎng)方形abcd的面積為s，沿長(zhǎng)方形的對(duì)稱軸折疊一次得到一個(gè)新長(zhǎng)方形，求這個(gè)新長(zhǎng)方形的對(duì)角線的長(zhǎng) 3若線段a、b、c能組成直角三角形，則它們的比值可以是（ ） a1：2：4 b1：3：5 c3：4：7 d5：12：13 例2 如圖2-2，把一張長(zhǎng)方形紙片abcd折疊起來，使其對(duì)角頂點(diǎn)a、c重合，若其長(zhǎng)bc為a，寬ab為b，則折疊后不重合部分的面積是多少？ 分析 圖形沿ef折疊后a、c重合，可知四邊形afed與四邊形cfed全等，則對(duì)應(yīng)邊、角相等，af=fc，且fc=ae，則abfad

3、e，由三角形面積公式不難求出不重合部分的面積 解：圖形沿ef折疊后a、c重合， 2-2 四邊形afed與cfed關(guān)于ef對(duì)稱， 則四邊形afed四邊形cfed afe=cfe af=fc，d=d=b=90° ab=cd=ad adbc， aef=efc aef=afe 則ae=af rtabfrtade 在rtabf中，b=90°， ab2+bf2=af2 設(shè)bf=x，b2+x2=（a-x）2， x= 2-3 s=2sabf=2×bx=2×·b·= 練習(xí)21如圖2-3，把矩形abcd沿直線bd向上折疊，使點(diǎn)c落在c的位置上，已知ab=

4、3，bc=7，重合部分ebd的面積為_2如圖2-4，一架長(zhǎng)2.5m的梯子，斜放在墻上，梯子的底部b離墻腳o的距離是0.7m，當(dāng)梯子的頂部a向下滑0.4m到a時(shí)，梯子的底部向外移動(dòng)多少米？2-4 3如圖2-5，長(zhǎng)方形abcd中，ab=3，bc=4，若將該矩形折疊，使c點(diǎn)與a點(diǎn)重合，則折疊后痕跡ef的長(zhǎng)為（ ）a3.74 b3.75 c3.76 d3.772-5 例3 試判斷，三邊長(zhǎng)分別為2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n為正整數(shù)）的三角形是否是直角三角形？ 分析 先確定最大邊，再利用勾股定理的判定定理判斷是否為直角三角形 解：n為正整數(shù)， （2n2+2n+1）-（2n2+2n） =2n

5、2+2n+1-2n2-2n=1>0， （2n2+2n+1）-（2n+1）=2n2+2n+1-2n-1=2n2>0 2n2+2n+1為三角形中的最大邊 又（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1， （2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1 （2n2+2n+1）2=（2n2+2n）2+（2n+1）2這個(gè)三角形是直角三角形 練習(xí)3 1若abc的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，則abc是（ ） a等腰三角形 b直角三角形 c銳角三角形 d鈍角三角形2如圖2-6，在正方形abcd中，f為dc的中點(diǎn)，e為bc上一點(diǎn)，且e

6、c=bc，猜想af與ef的位置關(guān)系，并說明理由 2-6 3abc中的三邊分別是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（ ） aabc是直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為m2+1 babc是直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為2m cabc是直角三角形，但斜邊長(zhǎng)由m的大小而定 dabc不是直角三角形 例4 已知：如圖2-7所示，abc中，d是ab的中點(diǎn)，若ac=12，bc=5，cd=65 求證：abc是直角三角形 分析 欲證abc是直角三角形，在已知兩邊ac、bc的情況下求邊ab的長(zhǎng)，比較困難；但注意到cd是邊ab的中線，我們延長(zhǎng)cd到e，使de=cd，從而有bdeadc，這樣ac、bc、2cd就作為bce的三邊

7、，再用勾股定理的逆定理去判定 證明：延長(zhǎng)cd到e，使de=cd，連結(jié)be 2-7 ad=bd，cd=ed，adc=bde adcbde（sas） be=ac=12 a=dbe acbe 在bce中，bc2+be2=52+122=169 ce2=（2cd）2=（2×6.5）2=169 bc2+be2=ce2 ebc=90° 又acbe， acb=180°-ebc=90° abc是直角三角形 練習(xí)4 1已知a、b、c為abc的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a2-b2，試判斷abc的形狀 先閱讀下列解題過程： 解：a2c2-b2c2=a4-b4， c2（a2

8、-b2）=（a2+b2）（a2-b2） c2=a2+b2 abc為直角三角形 問：（1）上述推理過程，出現(xiàn)錯(cuò)誤的一步是_； （2）本題的正確結(jié)論是_2如圖2-8，abc的三邊分別為ac=5，bc=12，ab=13，將abc沿ad折疊，使ac落在ab上，求折痕ad的長(zhǎng)3如圖2-9，abc中，acb=90°，ac=bc，p是abc內(nèi)一點(diǎn)，滿足pa=3，pb=1，pc=2，求bpc的度數(shù) 例5 如圖2-10，abc中，ab=ac=20，bc=32，d是bc上一點(diǎn)，且adac，求bd的長(zhǎng) 分析 若作aebc于e，如圖2-11，利用勾股定理可求出ae=12，ad是rtadc的直角邊 ad=cd

9、-ac，若設(shè)de=x，借助于ad這個(gè)“橋”可以列出方程 解：作aebc于e 2-10 ab=ac，aebc， be=ec=bc=×32=16 在rtaec中， ae2=ac2-ce2=202-162=144， ae=12 2-11 設(shè)de=x， 則在rtade中，ad2=ae2+de2=144+x2， 在rtacd中，ad2=cd2-ac2=（16+x）2-202 144+x2=（16+x）2-202 解得x=9bd=be-de=16-9=7 練習(xí)5 1如圖2-12，abc中，c=90°，m是bc的中點(diǎn)，mdab于d求證：ad2=ac2+bd22-122如圖2-13，aba

10、d，ab=3，bc=12，cd=13，ad=4，求四邊形abcd的面積2-13 3如圖2-14長(zhǎng)方體的高為3cm，底面是正方形，邊長(zhǎng)為2cm，現(xiàn)有繩子從a出發(fā)，沿長(zhǎng)方形表面到達(dá)c處，問繩子最短是多少厘米？2-14勾股定理及應(yīng)用答案:練習(xí)1124（提示：利用勾股定理即可求出）2長(zhǎng)方形的對(duì)稱軸有2條，要分別討論： （1）以a、b為對(duì)稱點(diǎn)（如圖） s=ab×bc，ab=2， bc=ad= 根據(jù)對(duì)稱性得df=ab=1 由于d=90°，據(jù)勾股定理得： af= （2）以a、d為對(duì)稱點(diǎn)（如圖） bf=bc=由b=90°，據(jù)勾股定理得： af= 3d練習(xí)21（提示：利用rtabe

11、的勾股定理即可求出） 20.8m 3b練習(xí)31b 2afef（提示：連結(jié)ae，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則df=fc=，ec=，在rtadf中，由勾股定理得： af2=ad2+df2=a2+（）2=a2同理：在rtecf中，ef2=（）2+（）2=a2，在rtabe中，be=a，則ae2=a2+a2=a2 a2+a2=a2， af2+ef2=ae2 afe=90° afef3a（點(diǎn)撥：利用勾股定理的逆定理來判定）練習(xí)41（1）、 （2）abc為直角三角形或等腰三角形2ac2+bc2=52+122=132=ab2， c=90° 將abc沿ad折疊，使ac落在ab上，c的對(duì)稱點(diǎn)為e（

12、如圖） cd=de， ac=ae=5 則acdaed 又be=ab-ae=8 設(shè)cd為x，則x2+82=（12-x）2 解之得x= ad2=52+（）2 ad=3過點(diǎn)c作cecp，并截ce=cp=2，連結(jié)pe，be（如圖） acb=pce=90°， acb-pcb=pce-pcb 即acp=bce pcaecb（sas） be=ap=3 在rtpce中， pe2=pc2+ce2=8 又bp2=1，be2=9， be2=bp2+pe2 pbe是直角三角形，其中bpe=90° 在rtpce中，pc=ce， cpe=cep=45° bpc=cpe+bpe=45°+90°=135