wy_e剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1、第五章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第五章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(Rotation of a Rigid Body About a Fixed Axis)又如跳馬又如跳馬, ,跳水跳水, ,芭蕾等芭蕾等 一、剛體的概念一、剛體的概念在力的作用下，其大小和形狀在力的作用下，其大小和形狀都保持不變的物體稱為剛體都保持不變的物體稱為剛體。理想化模型理想化模型二二 、剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1 1、剛體的平動(dòng)、剛體的平動(dòng)ABABA B 平動(dòng)特點(diǎn)平動(dòng)特點(diǎn)BArrBAvvBAaanBxyzOABArBr1BM2B3B1A2A3AnA剛體中各質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)規(guī)律完全相同剛體中各質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)規(guī)律完全相同, ,因此可用剛體因

2、此可用剛體中某一點(diǎn)的平動(dòng)規(guī)律來代表整個(gè)剛體的平動(dòng)規(guī)律中某一點(diǎn)的平動(dòng)規(guī)律來代表整個(gè)剛體的平動(dòng)規(guī)律2 2、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)都繞同一固定直線剛體內(nèi)各點(diǎn)都繞同一固定直線( (轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸) )作圓周運(yùn)動(dòng)作圓周運(yùn)動(dòng) 特點(diǎn)：特點(diǎn)：剛體內(nèi)各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的一切角量完全剛體內(nèi)各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的一切角量完全相同，可用一點(diǎn)的角量規(guī)律來代相同，可用一點(diǎn)的角量規(guī)律來代表整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律表整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律 轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng):復(fù)合運(yùn)動(dòng)復(fù)合運(yùn)動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)平動(dòng)各質(zhì)元運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同各質(zhì)元運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)各質(zhì)元繞同一軸作圓周運(yùn)動(dòng)各質(zhì)元繞同一軸作圓周運(yùn)動(dòng)本章：本章： 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)

3、動(dòng)學(xué)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能 轉(zhuǎn)動(dòng)中的角動(dòng)量守恒定律轉(zhuǎn)動(dòng)中的角動(dòng)量守恒定律5.1 5.1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué) (Kinematics of Rotation About a Fixed Axis)同同Chap.1 Chap.1 “圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)”RS Rv Rat2 Ran vsotanaR角速度的矢量表示法：角速度的矢量表示法：大?。捍笮。?方向：方向：/轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸, 符合右手螺旋符合右手螺旋rrv線速度：線速度：rv驗(yàn)證：驗(yàn)證：r大?。捍笮。悍较颍悍较颍篘ote: r 圓周切向圓周切向例例5-15-1 已知：已知：min/60revkmkjir21

4、0)543 (求：求：?v解：解：k)60260()/(2sradkrv210)543 (2kjik210)86(ij)/(188. 0251. 0smji5.2 5.2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 (The Law of Rotation About a Fixed Axis)M=J M=Mi =Miz=( )Fi ri 軸向軸向力矩力矩轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量角加角加速度速度Notes:iriFMi方向方向(順、逆時(shí)針順、逆時(shí)針)與所設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)正方向與所設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)正方向一致為一致為正，相反為負(fù)正，相反為負(fù). .剛體的重力矩剛體的重力矩等于剛體全部質(zhì)量集中于等于剛體全部質(zhì)量集中于質(zhì)心時(shí)所產(chǎn)生的重力矩質(zhì)心時(shí)所產(chǎn)

5、生的重力矩.重力矩大小：重力矩大?。篶os2Lmge.g.細(xì)桿質(zhì)量細(xì)桿質(zhì)量m, 長長Logm由質(zhì)點(diǎn)組角動(dòng)量定理：由質(zhì)點(diǎn)組角動(dòng)量定理：二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律由來二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律由來dtLdM 對(duì)于固定軸對(duì)于固定軸z軸，其分量式為軸，其分量式為dtdLMzz =( )Fi ri iriF質(zhì)元質(zhì)元 mi，對(duì)固定，對(duì)固定z軸的角動(dòng)量軸的角動(dòng)量vmi2i imr 整個(gè)剛體，對(duì)整個(gè)剛體，對(duì)z軸的軸的總角動(dòng)量為總角動(dòng)量為zizLLizi i iLmrv2i i(mr )2i imr J-剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的 轉(zhuǎn)動(dòng)定轉(zhuǎn)動(dòng)定律律 JdtdJdt)J(dMZ 2i iJmr-轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 JMZ 合外力矩合

6、外力矩 MZJ= miri2 (Rotational inertia) mi第第i i質(zhì)元的質(zhì)量質(zhì)元的質(zhì)量 ri 第第i i質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離e.g.oomm2232mL231232)(2)(LmLmJ對(duì)對(duì)OO 軸：軸：SISI單位：單位：kg m2L31L32三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算dmrJ2 J J的大小依賴于的大小依賴于剛體質(zhì)量相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的分剛體質(zhì)量相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的分布布.oocc細(xì)桿質(zhì)量細(xì)桿質(zhì)量m, ,長長L對(duì)于對(duì)于 軸：軸：J=mL2/3oo J J的物理意義的物理意義: : 表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小.e.g.cc 對(duì)于對(duì)于 軸：軸：J=mL

7、2/12例例5-25-2已知已知: :滑輪質(zhì)量滑輪質(zhì)量M、半徑、半徑R、 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=MR2/2 物體質(zhì)量物體質(zhì)量m，v0 0=0=0 忽略繩子質(zhì)量忽略繩子質(zhì)量 繩、輪之間無滑動(dòng)繩、輪之間無滑動(dòng)求求: :物體下落時(shí)的物體下落時(shí)的vt t關(guān)系關(guān)系解：解： 受力圖：受力圖：gma)(TT TgMNT對(duì)物體：對(duì)物體：maTmg對(duì)滑輪：對(duì)滑輪：221MRTRMmmga22.consta atv Note:T F2 ） M地球自轉(zhuǎn)軸旋進(jìn)地球自轉(zhuǎn)軸旋進(jìn)38我國古代已發(fā)現(xiàn)了歲差：我國古代已發(fā)現(xiàn)了歲差：每每50年差年差1度（約度（約72 /年）年） 前漢（公元前前漢（公元前206 23）劉歆發(fā)現(xiàn)歲差。

8、劉歆發(fā)現(xiàn)歲差。晉朝（公元晉朝（公元265 316） 虞喜最先確定了歲差：虞喜最先確定了歲差：將歲差引入歷法：將歲差引入歷法：391年有年有144個(gè)閏月。個(gè)閏月。祖沖之（公元祖沖之（公元429 500）編編大明歷大明歷最先最先（精確值為（精確值為50.2 /年）年）牛頓力學(xué)牛頓力學(xué)理論力學(xué)理論力學(xué)關(guān)于廣義坐標(biāo)廣義動(dòng)量的力學(xué)理論關(guān)于廣義坐標(biāo)廣義動(dòng)量的力學(xué)理論拉格朗日拉格朗日哈密頓哈密頓歐拉歐拉系統(tǒng)用系統(tǒng)用拉格朗日量拉格朗日量或者或者哈密頓哈密頓描述描述利用變分原理求解物理過程利用變分原理求解物理過程理論力學(xué)方法：理論力學(xué)方法：光光走走極極小小路路徑徑力學(xué)系統(tǒng)的分析力學(xué)系統(tǒng)的分析 Chap.5 SU

9、MMARY1.1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)rvRS Rv Rat2 Ran2.2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 M=J (重力矩的計(jì)算！重力矩的計(jì)算！)3.3.轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能力矩的功力矩的功( (有正負(fù)有正負(fù) ) )轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能221JEk21MdA轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理21212221JJA剛體重力勢能的計(jì)算剛體重力勢能的計(jì)算4.4.對(duì)固定軸的角動(dòng)量對(duì)固定軸的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)： L=mvd剛體：剛體： L=J dvmO5.5.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理微分形式：微分形式：dtdLM 積分形式：積分形式：1221LLMdttt6.6.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律定

10、軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律對(duì)于剛體系，若對(duì)于剛體系，若則則.constLtotal0extM 有兩個(gè)半徑相同、質(zhì)量相等的細(xì)圓環(huán)有兩個(gè)半徑相同、質(zhì)量相等的細(xì)圓環(huán)A和和B，A環(huán)的質(zhì)量分布均勻，環(huán)的質(zhì)量分布均勻，B環(huán)不均勻，它環(huán)不均勻，它們對(duì)通過環(huán)心并與環(huán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣們對(duì)通過環(huán)心并與環(huán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為量分別為JA和和JB，則，則(A)JAJB (B)JAT 22 1 設(shè)飛輪質(zhì)量為設(shè)飛輪質(zhì)量為M, ,則則 2與與 1的定量關(guān)系的定量關(guān)系?思考思考如圖，質(zhì)量為如圖，質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的圓盤可繞通的圓盤可繞通過其直徑的光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量過其直徑的光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=mR2

11、/4，設(shè)圓盤從靜止開始在恒力矩，設(shè)圓盤從靜止開始在恒力矩M作用下轉(zhuǎn)動(dòng)，則作用下轉(zhuǎn)動(dòng)，則t秒后圓盤邊緣上秒后圓盤邊緣上B點(diǎn)的點(diǎn)的at=，an=.BR at=R =4M/mR an=R 2=16M2t2/m2R3解：解：M恒定恒定 恒定恒定轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過n圈后，結(jié)果圈后，結(jié)果？思考思考 =M/J=4M/mR2 = t=4Mt/mR2RghRMmmv122)2(5.5.圓盤質(zhì)量圓盤質(zhì)量M, ,半徑半徑R,R,J=MR2/2. .轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸光滑軸光滑. .粘土塊質(zhì)量粘土塊質(zhì)量m=M/10. .開開始時(shí)兩者靜止始時(shí)兩者靜止. . =60=60 . .求求: :粘土塊粘土塊落到盤上后落到盤上后, ,兩者一起開始運(yùn)動(dòng)

12、兩者一起開始運(yùn)動(dòng)的角速度的角速度. .解：解：在碰撞中在碰撞中, ,粘土塊圓盤系統(tǒng)粘土塊圓盤系統(tǒng) L=const.L=const.于是于是mv Rcos60 =(mR2+MR2/2) 粘土塊觸盤前，粘土塊觸盤前，ghv2h思考思考 碰撞中系統(tǒng)機(jī)械能守恒否碰撞中系統(tǒng)機(jī)械能守恒否?(No)6.如圖如圖,子彈射向球心子彈射向球心,已知小木已知小木球和細(xì)棒對(duì)通過水平軸球和細(xì)棒對(duì)通過水平軸O的轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的總和為動(dòng)慣量的總和為J,求子彈嵌入求子彈嵌入球心后球心后,系統(tǒng)的共同角速度系統(tǒng)的共同角速度.解：解：在射入過程中，子彈小球細(xì)棒系統(tǒng)在射入過程中，子彈小球細(xì)棒系統(tǒng)對(duì)對(duì)O軸的角動(dòng)量守恒：軸的角動(dòng)量守恒：J

13、m RL2()20)(cos)(LRmJLRmv系統(tǒng)水平方向動(dòng)量不守恒系統(tǒng)水平方向動(dòng)量不守恒!Attention:L0vR mO0mv RL cos()7.7.飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J J，初角速度，初角速度 0 0，阻力矩的阻力矩的大小與角速度的平方成正比，比例系數(shù)為大小與角速度的平方成正比，比例系數(shù)為k k(k(k為正的常量為正的常量) )求：當(dāng)求：當(dāng) = = 0 0/3/3時(shí)，角加時(shí)，角加速度速度 = =？從開始制動(dòng)到從開始制動(dòng)到 = = 0 0/3/3時(shí)時(shí)所所轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過的角度的角度解：解： 按題意按題意 M=-k 2JMJk20) 3/(Jk920轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律：dtdJk2kJ3l

14、n3/000ddJk思考思考 所經(jīng)過的時(shí)間所經(jīng)過的時(shí)間?ddtdJdk28.8. 一個(gè)物體正在繞固定光滑軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，一個(gè)物體正在繞固定光滑軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，(A)它受熱膨脹或遇冷收縮時(shí)它受熱膨脹或遇冷收縮時(shí),角速度不變角速度不變.(B)它受熱或遇冷時(shí)它受熱或遇冷時(shí),角速度均變大角速度均變大.(C)它受熱時(shí)角速度變大它受熱時(shí)角速度變大,遇冷時(shí)角速度變小遇冷時(shí)角速度變小.(D)它受熱時(shí)角速度變小它受熱時(shí)角速度變小,遇冷時(shí)角速度變大遇冷時(shí)角速度變大.解解：自由轉(zhuǎn)動(dòng)自由轉(zhuǎn)動(dòng) 無外力矩?zé)o外力矩 J =const.受熱時(shí)：受熱時(shí)：J 遇冷時(shí)：遇冷時(shí)：J (D)若物體的線脹系數(shù)為若物體的線脹系數(shù)為 ，則溫度增量為，則溫度增量為 T時(shí)，角速度是原來的多少倍時(shí)，角速度是原來的多少倍？思考思考9.9.圓盤質(zhì)量圓盤質(zhì)量M, ,半徑半徑R, ,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J=MR2/2, ,轉(zhuǎn)軸光滑轉(zhuǎn)軸光滑, ,人的質(zhì)量人的質(zhì)