高中數(shù)學(xué)希望杯競賽試題詳解3140題新人教A版

1、題31 已知，求函數(shù)的最大值.（第九屆高二培訓(xùn)題第61題）解法1 取待定正數(shù)，由均值不等式得令則于是 當(dāng)時(shí)取等號.解法2 可化為配方，得由上式可得即由已知，顯然有（當(dāng)時(shí)，取得最大值）.解法3 由已知，得且當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)取等號.解法4 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值 解法5 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，解法6 時(shí)，解法7 構(gòu)造如圖長方體，設(shè)對角線與交于點(diǎn)的三個面所成的銳角分別為，長方體的三條棱分別為則有于是即時(shí)，解法8 由得（1）關(guān)于的一元二次方程（1）的判別式，解得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號. 把代入（1）可得,評析 若，則，這就是說，只要與的倍數(shù)之間建立了不大于的關(guān)系，則的最大值就求出了.因而解

2、決問題的關(guān)鍵就在于找出這樣的關(guān)系.解法1通過引入正參數(shù)、，并運(yùn)用解法3運(yùn)用公式，解法4、解法5運(yùn)用，解法6運(yùn)用，圓滿解決了這一關(guān)鍵問題.解法2通過將的分子、分母同除以，巧妙地通過配平方，得到進(jìn)而得，很富新意.解法7通過構(gòu)造長方體（若三條棱分別為的長方體的對角線長為，則有而恰好是的分母，且長方體中有）解決問題.解法8則把變?yōu)椋醋麝P(guān)于的一元二次方程，利用其有正根的條件得到，是方程思想的典型運(yùn)用. 拓展 設(shè)，顯然有的最大值為，即；設(shè)，已解出的最大值為，即我們不妨猜想：命題 若則的最大值是證明 取正參數(shù)令 （1），因求最大值，故還必須有此即將上式代入（1），得 （2），令則觀察（2）的形式，考慮作代

3、換故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列， 于是 （3）.再令（3）為，上式變形為這樣，又得到一個公比為的等比數(shù)列，即故有.而故有，整理得化簡得.的最大值唯一，應(yīng)能求出的一個確定的值，對于這個的值，我們有從而又（1）和（2）是取最大值的充要條件，由（1）（2）可推得（3）.將代入（3），化簡得對任意都有應(yīng)取.至此，已推知題32 已知，且，則的最小值是.（第十屆高二培訓(xùn)題第44題）解法1 是直線上的動點(diǎn)，點(diǎn)到此直線上各點(diǎn)距離的最小值是點(diǎn)a到該直線的距離，.解法2 .當(dāng)，即時(shí)取等號.所求最小值為18.解法3 .當(dāng)，即時(shí)取等號.所求最小值為18.解法4 ，當(dāng)即時(shí)取等號的最小值為18.解法5當(dāng)時(shí)，有最小值18.解法

4、6設(shè)又設(shè)則由得即即解得的最小值為18.解法7構(gòu)造向量即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 取得最小值18.評析 因?yàn)橐阎?所以要求的最小值，關(guān)鍵就是得到與關(guān)于的式子之間的大于等于關(guān)系.解法2利用解法3利用柯西不等式解法4巧妙地利用配方法，都順利地解決了這一關(guān)鍵問題.解法5則是把代入所求式，使之變?yōu)殛P(guān)于的二次函數(shù)，再求其最小值，是函數(shù)思想的具體運(yùn)用.解法6設(shè)后，運(yùn)用三角代換，最終轉(zhuǎn)化成解關(guān)于的不等式，是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在解題中的一次妙用.解法7通過構(gòu)造向量，利用即使問題獲解，充分發(fā)揮了新教材中向量這一工具在求代數(shù)最值中的作用.應(yīng)當(dāng)指出，許多最值問題都可以通過構(gòu)造向量，利用向量的上述性質(zhì)得到解決.而解法1則是將看作定點(diǎn)與直

5、線上的動點(diǎn)的距離的平方，故能直觀地知道點(diǎn)到直線的距離的平方就是所求的最小值，簡潔明了，充分顯示了等價(jià)轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想的威力.拓展 將此賽題一般化，便得下面的定理 若x,y滿足（a、b、c是實(shí)常數(shù)，a、b不全為零），m，n是實(shí)常數(shù)，則的最小值是.證明 ，表示定點(diǎn)與直線上的動點(diǎn)之間的距離d的平方.的最小值是. 運(yùn)用該定理解本賽題：所求最小值是. 下面的題目供讀者練習(xí)： 1.已知x，y滿足，求的最小值.2.已知，且，求的最小值.3.已知，且，求的最小值.答案 題33 實(shí)數(shù)，滿足方程，則的最大值與最小值的和等于_. （第十屆高二第二試第17題）解法1 題設(shè)方程就是，設(shè)，即,則()，.解法2 題設(shè)方程

6、就是，根據(jù)柯西不等式，即,.解法3 題設(shè)方程就是，結(jié)合， 又配方，于是，即 . .解法4 設(shè)，則，代入，整理得， ，即，解之得.解法5 已知等式表示一個圓，令，即，表示一直線，若直線與圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于圓的半徑，即，即，解得，.解法6 已知方程就是，構(gòu)造向量，. ， ，即.即,于是,，.評析 因?yàn)橐阎匠叹褪牵蟮氖且淮问降淖畲笾蹬c最小值的和，所以解法1運(yùn)用三角換元，將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域，這是解決這類問題的通法，已知方程表示橢圓時(shí)，此法仍然適用.解法2運(yùn)用柯西不等式求解，之所以湊成，是因?yàn)檫@樣才會出現(xiàn)，并可利用.解法3運(yùn)用的是配方法，請讀者思考為什么如此配方：

7、?解法4運(yùn)用的是待定參數(shù)法及方程思想，也是解決這類問題的通法.解法5運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成直觀的幾何問題，輕松解決問題.解法6通過已知方程聯(lián)想到向量模的平方，從而通過構(gòu)造向量，運(yùn)用解決問題，思路清晰，體現(xiàn)了向量在解題中的工具作用.拓展 將此賽題一般化，便得命題1 實(shí)數(shù)滿足，實(shí)數(shù)不全為零，則.證明 設(shè)，即，又已知，由題意，直線與圓有公共點(diǎn)，故圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，即，即，即，.將命題1中的圓改為橢圓，又得命題2 實(shí)數(shù)滿足，不全為零，則.證明 設(shè)，即, ，（其中）.題34 線段ab的端點(diǎn)坐標(biāo)是a（-1，2），b（2，-2），直線y=kx+3與線段ab相交的充要條件是

8、（ ）a、 b、 c、且k0 d、（第八屆高二培訓(xùn)題第2題）解法1 線段ab的方程為，即4x+3y-2=0 (-1x2),由，xy圖1oabm-332-2得，令-12，解得，選d.解法2 如圖1所示，y=kx+3是過定點(diǎn)m（0，3）的直線系方程，易求得直線ma、mb的斜率分別是,當(dāng)直線ma繞點(diǎn)m逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與線段ab相交時(shí)，其斜率由1增加到+；當(dāng)直線mb繞點(diǎn)m順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與線段ab相交時(shí)，其斜率由減小到-，所以，故選d.xy圖2oabm-332-2abbny=kx+3解法3 如圖2，設(shè)直線ma與mb分別與x軸交于點(diǎn)a，b，易求得直線ma、mb的方程分別為y=x+3,y=x+3,從而可求得a（-3，

9、0），b（-，0），在mab中，過m任作一條直線y=kx+3交邊ab于點(diǎn)n，則直線也必與線段ab相交，反之亦然.omab，|om|=3，k=tanmno（n在oa上）或k=tan（-mno）（n在ob上）兩種情形，但都有，所以，由，解得，故選d.解法4 設(shè)直線與線段ab交于點(diǎn),點(diǎn)n內(nèi)分所成的比為,則,消去,得，得或.又當(dāng)直線過點(diǎn)a、b時(shí)，的值分別為，所以所求充要條件為.故選d.解法5 當(dāng)k=0時(shí)，直線y=kx+3即y=3與線段ab顯然不相交，所以排除含0的a、b，又當(dāng)k=-1時(shí)，直線y=kx+3即y=-x+3與線段ab也不相交，所以又排除含-1的c,故選d.評析 解法1運(yùn)用的是方程思想，若運(yùn)用

10、這個思想，先求出直線ma、mb與x軸的交點(diǎn)a，b的橫坐標(biāo)ax，bx,并求出直線y=kx+3與x軸的交點(diǎn)n的橫坐標(biāo)nx，再解ax nxbx，同樣可以解決問題.解法2直接通過觀察圖象，看直線y=kx+3與線段ab相交時(shí)的k與之間的關(guān)系而選d，顯得直觀明了.解法3運(yùn)用平面幾何知識求nx，別具一格.解法4運(yùn)用定比分點(diǎn)知識求解,也是解此類問題的通法之一.解法5運(yùn)用了特殊值法，顯得最為簡捷.值得注意的是，如果取k=1，發(fā)現(xiàn)直線y=kx+3與線段ab相交，此時(shí)就選a那就錯了，請讀者想想這是什么原因.拓展 已知直線,顯然點(diǎn)a（0，1）、b（1，3）與點(diǎn)c（1，-1）、d（3，1）都在的同側(cè)，點(diǎn)a、c與點(diǎn)b、d

11、都在的異側(cè)，f (0,1)=-2<0，f (1,3)=-3<0，f (1,-1)=1>0，f (3,1)=1>0f (0,1)與f (1,3)同號，f (1,-1)與f (3,1)同號，f (0,1)與f (1,-1)異號，f (1,3)與f (3,1)異號，是否對于任意直線的同側(cè)或異側(cè)的任意兩點(diǎn)都有此結(jié)論呢？經(jīng)研究，我們有下面的定理1 已知兩點(diǎn)m（x1,y1）、n(x2,y2)及直線(1) 若點(diǎn)m、n在的同側(cè)，則f（x1,y1）f (x2,y2)>0;(2) 若點(diǎn)m、n在的異側(cè)，則f（x1,y1）f (x2,y2)<0.證明 （1）10當(dāng)b0時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)m

12、、n都在的上方，則所以當(dāng)b>0時(shí)，有，即f（x1,y1）>0，f (x2,y2)>0；當(dāng)b<0時(shí)，有，即f（x1,y1）<0，f (x2,y2)<0,所以當(dāng)b0時(shí)，f（x1,y1）f (x2,y2)>0；20當(dāng)a0，b=0時(shí)，的方程為，此時(shí)x軸，不妨設(shè)設(shè)點(diǎn)m、n都在的右側(cè)，則，所以當(dāng)a>0時(shí)，即f（x1,y1）>0，f (x2,y2)>0；當(dāng)a<0時(shí)，即f（x1,y1）<0，f (x2,y2)<0，所以當(dāng)a0，b=0時(shí)，f（x1,y1）f (x2,y2)>0.綜上可知，當(dāng)點(diǎn)m、n在的同側(cè)時(shí)，f（x1,y1）f

13、(x2,y2)>0.（2）10當(dāng)b0時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)m、n分別在的上、下方，則，故當(dāng)b>0時(shí)，有, 即f（x1,y1）>0，f (x2,y2)<0; 當(dāng)b<0時(shí)，有, 即f（x1,y1）<0，f (x2,y2)>0；所以當(dāng)b0時(shí)，f（x1,y1）f (x2,y2)<0；20當(dāng)a0，b=0時(shí)，的方程為f(x,y)=ax+c=0，此時(shí)x軸，不妨設(shè)設(shè)點(diǎn)m、n分別在的左、右側(cè)，則.所以當(dāng)a>0時(shí)，即f（x1,y1）<0，f (x2,y2)>0；當(dāng)a<0時(shí)，即f（x1,y1）>0，f (x2,y2)<0，所以當(dāng)a0，b=0時(shí)

14、，f（x1,y1）f (x2,y2)<0.綜上可知，當(dāng)點(diǎn)m、n在的異側(cè)時(shí)，f（x1,y1）f (x2,y2)<0.根據(jù)定理1，不難得到定理2 直線ax+by+c=0與以點(diǎn)p1（x1,y1）、p2 (x2,y2)為端點(diǎn)的線段相交的充要條件是.運(yùn)用定理2，可得本賽題的如下解法：直線y=kx+3即kx-y+3=0，由定理2，可知（-k-2+3）（2k+2+3）0，即為所求的充要條件，故選d.題35 過點(diǎn)且與兩條坐標(biāo)軸圍成面積為2的三角形的直線的條數(shù)是 .(第十屆高二第一試第18題)解法1 記過點(diǎn)的動直線為,為坐標(biāo)原點(diǎn)(如圖),則當(dāng)直線從的位置xo 1ap1ybq繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動到直線的位置

15、時(shí),它和坐標(biāo)軸在第二象限內(nèi)圍成的三角形的面積從零增加到,故圍成的三角形在第二象限時(shí),滿足條件的直線有且只有一條,同理,圍成的三角形在第四象限時(shí),滿足條件的直線也有且只有一條,并且,滿足條件的三角形在第三象限不存在.當(dāng)圍成的三角形在第一象限時(shí),顯然存在斜率,設(shè)的方程為與軸、軸的正半軸分別交于點(diǎn)a、b，則當(dāng)時(shí),s的最小值為2,故當(dāng)圍成的三角形在第一象限時(shí),滿足題設(shè)的直線也只有一條.綜上,所求的直線為3條.下面的解法中,對“圍成的三角形在第二、四象限時(shí),滿足題設(shè)的直線都只有一條,且滿足題設(shè)的三角形在第三象限不存在”不再一一敘述,僅對圍成的三角形在第一象限時(shí)加以解答.解法2 設(shè)直線與軸,軸的正半軸分別

16、交于點(diǎn)則直線的方程為直線過點(diǎn)故設(shè)(其中),則,故 (當(dāng)時(shí)取等號),即.故所求的直線共有3條.解法3 同解法2,得,(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號), ,即.故所求的直線共有3條.解法4 設(shè)直線與軸、軸的正半軸分別交于點(diǎn),點(diǎn)分所成的比為,則,即.故時(shí)，故所求直線共有3條.評析 上述解法都是用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)與數(shù)形結(jié)合的思想方法分析答案的可能性.圍成的三角形在第二、四象限時(shí),只有一條,圍成的三角形在第三象限不可能,這些是容易看到的,關(guān)鍵是圍成的三角形在第一象限時(shí)，滿足題設(shè)的直線有幾條.直觀地看,可能性有三個:0條,1條,2條.那么到底有多少條?四種解法分別用不同的方法求出了三角形面積的最小值為2,故此時(shí)的只

17、有一條,從而解決了問題.此題也可直接求解:不論圍成的三角形在第幾象限, 的斜率總是存在的.設(shè)的方程為.則與軸,軸的交點(diǎn)分別為.故.當(dāng)時(shí),就是,有兩個不等的正數(shù)解；當(dāng)時(shí),就是.故所求直線為3條.拓展 將此題內(nèi)容拓廣,可得定理1 動直線過定點(diǎn),則直線和坐標(biāo)軸在點(diǎn)所在象限內(nèi)圍成三角形的面積的最小值是證明 設(shè)直線與軸,軸分別交于點(diǎn)在點(diǎn)所在象限,直線的方程為直線過點(diǎn),即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.定理2 直線過定點(diǎn)且和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,則當(dāng)時(shí),滿足條件的直線有且僅有兩條.當(dāng)時(shí),滿足條件的直線有且僅有三條.當(dāng)時(shí),滿足條件的直線有且僅有四條.根據(jù)定理1的結(jié)論及圖象不難知道定理2的正確性.證明從略.題36

18、某工廠安排甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn).已知每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品需要原材料a、b、c、d的數(shù)量分別為1噸、2噸、2噸、7噸；每生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品需要原材料a、b、d的數(shù)量分別為1噸、4噸、1噸.由于原材料的限制，每個生產(chǎn)周期只能供應(yīng)a、b、c、d四種原材料分別為80噸、80噸、60噸、70噸.若甲、乙產(chǎn)品每噸的利潤分別為2百萬元和3百萬元.要想獲得最大利潤，應(yīng)該在每個生產(chǎn)周期安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品 噸，期望的最大利潤是 百萬元. （第十三屆高二第一試第25題）解 設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的噸數(shù)分別為、.則根據(jù)題意可知求函數(shù)的最大值，限制條件為如圖，上述不等式組約束區(qū)域即圖中的陰影部分.區(qū)域的頂點(diǎn)坐標(biāo)為m（0，20），n（

19、10，0），r，o（0，0）,直線的斜率.直線的斜率.由圖可知，在點(diǎn)r處取得最大值，最大值為（百萬元）.故填.評析 可用若干不等式表示的限制條件下某二元一次函數(shù)的最大（?。┲档膽?yīng)用題，通?？捎镁€性規(guī)劃知識求解，其步驟如下：1、設(shè)變量（如），建立目標(biāo)函數(shù)（如）.2、根據(jù)約束條件列出不等式組.3、畫出不等式組表示的平面區(qū)域.4、作出直線，并將其向上或向下平移確定最優(yōu)解.5、將最優(yōu)解代入便得所求最值.題37 點(diǎn)m是圓內(nèi)圓心以外的一點(diǎn)，則直線與該圓的位置關(guān)系是 （ ）（a）相切 （b）相交 （c）相離 （d）相切或相交 （第七屆高二第一試第5題）解法1 圓的圓心是o，它到直線的距離，點(diǎn)m在圓的內(nèi)部且不

20、在圓心，.可知直線與圓相離.故選c.解法2 令，滿足題設(shè).此時(shí)，直線與圓相離.由正確選擇支的唯一性，選c.評析 解析幾何中，判斷直線與圓的位置關(guān)系就看圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系：直線與圓相離； 直線與圓相切；直線與圓相交.對于二次曲線與點(diǎn)m的位置關(guān)系，有下面的結(jié)論：點(diǎn)m 在曲線c上；點(diǎn)m在曲線c內(nèi)；點(diǎn)m在曲線c外.所謂二次曲線內(nèi)是指曲線把平面分成的兩（或三）部分中含有焦點(diǎn)（或圓心）的部分.以上這些就是解法1的依據(jù).由于是選擇題，解法2運(yùn)用特殊化思想求解，顯得更簡捷.應(yīng)當(dāng)指出，特殊值法（包括適當(dāng)選取特殊點(diǎn)、特殊角、特殊函數(shù)、特殊曲線、特殊位置等）通常應(yīng)是解選擇題時(shí)首先考慮的方法，一旦用

21、上，簡單快捷，可以大量節(jié)省時(shí)間.此題來源于課本上的一道習(xí)題：“已知圓的方程是，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)m的切線方程.”答案是.拓展 給定圓c：與定點(diǎn)m，（），則直線就是存在且確定的，它與定圓到底是什么樣的位置關(guān)系呢？經(jīng)研究，有下面的結(jié)論.結(jié)論1 若點(diǎn)則與c切于點(diǎn)m.（這是顯然的，證明略）結(jié)論2 若點(diǎn)m在圓外，過點(diǎn)m引圓c的兩條切線與，則為過兩切點(diǎn)的直線方程，因而與c相交.證明 設(shè)和是兩個切點(diǎn)，由結(jié)論1，直線與的方程分別是與.因?yàn)樗鼈兿嘟挥邳c(diǎn)m，于是與同時(shí)成立.于是得表示直線的方程.與c顯然相交.結(jié)論3 若點(diǎn)m在圓c內(nèi)且不是圓心，以m為中點(diǎn)的圓的弦為ab，過a、b的兩條切線相交于點(diǎn)n，則表示過點(diǎn)n且平行于

22、ab的直線方程，因而與c相離.證明 令n，由結(jié)論2，直線ab的方程一定是.因?yàn)閙是ab的中點(diǎn)，所以，這說明點(diǎn)n在直線上.下面證明.當(dāng)時(shí)，由于o、m、n三點(diǎn)共線，可知，過m、n引同一坐標(biāo)軸的垂線，由點(diǎn)的坐標(biāo)定義及直角三角形的相似關(guān)系，易知，故ab.當(dāng)時(shí)，由于，則有或.無論哪種情況，兩直線都同時(shí)垂直于同一坐標(biāo)軸，并且在該坐標(biāo)軸上截距不等.故ab.此時(shí)與c顯然相離.題38 過圓與圓的交點(diǎn)的直線方程是 . （第二屆高二第二試第15題）解 解方程組 ，得，故兩圓相切于點(diǎn)（2，3），所以所求直線方程是，其中為參數(shù).評析 先通過解方程組求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，如果交點(diǎn)有兩個：，則所求直線方程為.但此題中的兩圓只

23、有一個交點(diǎn)，過點(diǎn)的所有直線該如何表達(dá)呢？有人表述為（為參數(shù)），這就錯了，因?yàn)榉匠瘫硎镜乃兄本€中并不包括直線（即過點(diǎn)且垂直于軸，亦即過點(diǎn)且斜率不存在的那一條）.而（為參數(shù)）才能表示過點(diǎn)的所有直線.當(dāng)且時(shí)，該直線方程就是.一般地，過點(diǎn)的所有直線組成的直線系方程為（其中為參數(shù)）.拓展 我們先看下面的問題：求過兩圓與的交點(diǎn)的直線方程.分析：按上面評析中的思路，先解方程組得兩交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出過這兩點(diǎn)的直線方程為.如果將兩圓方程相減，也得，恰好就是過兩圓交點(diǎn)的直線方程.這是否是一種巧合呢？非也.設(shè)兩圓交于a、b兩點(diǎn)，則a、b的坐標(biāo)既是方程組的 解，也是方程組的解，即a、b的坐標(biāo)都適合方程，故就是直線ab

24、的方程.那么，當(dāng)兩圓外切時(shí)，兩圓方程相減所得方程又表示什么樣的直線呢？就拿此賽題為例，與兩邊相減，得.由圖形，可知直線恰好是過兩圓切點(diǎn)的公切線.這也不是偶然的，道理與兩圓相交時(shí)一樣.當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，此結(jié)論也成立.于是，我們有下面的定理 已知兩圓，,則當(dāng)兩圓相切時(shí)，過切點(diǎn)的公切線方程是；當(dāng)兩圓相交時(shí)，公共弦所在的直線方程是.題39 若實(shí)數(shù)、適合方程，那么代數(shù)式的取值范圍是.（第九屆高二第一試第17題）x1-2oanmy解法1 已知方程就是，所以題意就是求圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)a的連線的斜率的取值范圍.如圖,，只須求切線an的斜率.易知 注：切線an的斜率的另一種求法：設(shè)an的方程是即，則圓心m到切線an的距離等于圓m的半徑,即，解得（舍去），.解法2 已知方程就是，故設(shè)即則令，得即 解得即解法3 設(shè)，則代入并整理，得由得.由即可知即經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，且對稱軸故評析 解法1將看作，進(jìn)而看作圓上的動點(diǎn)與定點(diǎn)的連線的斜率，將問題轉(zhuǎn)化為求此斜率的范圍；解法2 通過換元，將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域；解法3 通過整體換元并消去后