人教A版高中數(shù)學(xué)選修21橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程經(jīng)典實(shí)用

1、太太 陽(yáng)陽(yáng) 系系人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程普寧僑中普寧僑中 鄭慶宏鄭慶宏人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程嘗試實(shí)驗(yàn)，形成概念嘗試實(shí)驗(yàn)，形成概念 1取一條細(xì)繩；取一條細(xì)繩； 2把它的兩端固定在板把它的兩端固定在板上的兩點(diǎn)上的兩點(diǎn)f1、f2； 3用鉛筆尖（用鉛筆尖（m）把細(xì)）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移

2、繩拉緊，在板上慢慢移動(dòng)看看畫(huà)出的圖形。動(dòng)看看畫(huà)出的圖形。f1f2m觀察做圖過(guò)程：觀察做圖過(guò)程：1繩長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)繩長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)大于大于f1、f2之間的距離。之間的距離。2由于繩長(zhǎng)固定，所以由于繩長(zhǎng)固定，所以 m 到到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和也固定。兩個(gè)定點(diǎn)的距離和也固定。動(dòng)手畫(huà)：動(dòng)手畫(huà)：人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 1. 改變兩圖釘之間的距離，使其與改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長(zhǎng)相等，畫(huà)出的圖形還是橢圓嗎？繩長(zhǎng)相等，畫(huà)出的圖形還是橢圓嗎？2繩長(zhǎng)能小于兩圖釘之間的距離嗎？繩長(zhǎng)能小于兩圖釘之間的距離嗎？ 人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 1. 改變兩圖釘之間的距離，使其與改變兩圖釘之間

3、的距離，使其與繩長(zhǎng)相等，畫(huà)出的圖形還是橢圓嗎？繩長(zhǎng)相等，畫(huà)出的圖形還是橢圓嗎？2繩長(zhǎng)能小于兩圖釘之間的距離嗎？繩長(zhǎng)能小于兩圖釘之間的距離嗎？ 人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程f1f2m1 1、橢圓的定義、橢圓的定義 如果設(shè)軌跡上任一點(diǎn)如果設(shè)軌跡上任一點(diǎn)m到兩定點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和為的距離和為常數(shù)常數(shù)2a，兩定點(diǎn)之間的距離為，兩定點(diǎn)之間的距離為2c，則橢圓定義還，則橢圓定義還可以用集合語(yǔ)言表示為：可以用集合語(yǔ)言表示為：p= m| |mf1 |+|mf2|=2a（2a2c）人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程（1 1）平面曲線(xiàn)；）平面曲線(xiàn)；（2 2）到兩定點(diǎn)）到兩定點(diǎn)f f1

4、 1，f f2 2的距離和等于定長(zhǎng)；的距離和等于定長(zhǎng)；（3 3）定長(zhǎng)）定長(zhǎng)|f|f1 1f f2 2| |。反思：反思：橢圓上的點(diǎn)要滿(mǎn)足怎樣的幾何條件？橢圓上的點(diǎn)要滿(mǎn)足怎樣的幾何條件？人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案oxyoxyoxymf1f2方案一方案一f1f2方案二方案二oxymoxy(對(duì)稱(chēng)、對(duì)稱(chēng)、“簡(jiǎn)簡(jiǎn)潔潔”)人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程xf1f2( (x , y) )0y設(shè)p (x, y)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距|f1f2|=2c(c0)，則f1、f2的坐標(biāo)分別是(c,0)、(c,0) . p

5、與f1和f2的距離的和為固定值2a(2a2c) （問(wèn)題：下面怎樣（問(wèn)題：下面怎樣化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)？）？）apfpf2|21222221)(| ,)(|ycxpfycxpfaycxycx2)()(2222由橢圓的定義得，限制條件由橢圓的定義得，限制條件：由于由于得方程得方程人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程222222bayaxb 22ba兩邊除以?xún)蛇叧?得得).0(12222babyax設(shè)所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由橢圓定義可知由橢圓定義可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422y

6、acacxaxaxccxaa 兩邊再平方，得兩邊再平方，得)()(22222222caayaxca移項(xiàng)，再平方移項(xiàng)，再平方橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程剛才我們得到了焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程，如何推導(dǎo)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？（問(wèn)題：下面怎樣（問(wèn)題：下面怎樣化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)？）？）apfpf2|21222221)(| ,)(|cyxpfcyxpfacyxcyx2)()(2222由橢圓的定義得，限制條件由橢圓的定義得，限制條件：由于由于得方程得方程aycxycxx2)()(2222軸焦點(diǎn)在).0(12222babyax人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程oyx

7、 1f 2f),(yxp oyx 2f 1f ),(yxp12222 byax12222 bxay如何根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？如何根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？ 人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程oxyf1f2m(-c,0)(c,0)yoxf1f2m(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1。（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿(mǎn)足滿(mǎn)足a2=b2+c2。（3）由橢圓

8、的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值。的值。反反之求出之求出a.b.c的值可寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。的值可寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)就就在在哪一哪一個(gè)軸上。個(gè)軸上。并且哪個(gè)大哪個(gè)就是并且哪個(gè)大哪個(gè)就是a2。人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上。分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上。222=+abc平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2的距離的和等的距離的和等于常數(shù)（大于于

9、常數(shù)（大于f1f2）的點(diǎn)的軌跡。）的點(diǎn)的軌跡。12- , 0 , 0，fcfc120,-0,，fcfc標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程不不 同同 點(diǎn)點(diǎn)相相 同同 點(diǎn)點(diǎn)圖圖 形形焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)定定 義義a、b、c 的關(guān)系的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷焦點(diǎn)位置的判斷 再認(rèn)識(shí)！再認(rèn)識(shí)！xyf1 1f2 2poxyf1 1f2 2po人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程22221.153xy ，則a ，b ；22222.146xy ，則a ，b ；5346口答：則a ，b ；則a ，b 37 169. 322yx6 147. 422yx2人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程快速練習(xí)：快速練習(xí)：1.判定下列

10、橢圓的判定下列橢圓的焦點(diǎn)在那條軸上焦點(diǎn)在那條軸上?并指出焦點(diǎn)坐并指出焦點(diǎn)坐標(biāo)。標(biāo)。11625) 1 (22yx答：在答：在 x 軸。（軸。（-3，0）和（）和（3，0）1169144)2(22yx答：在答：在 y 軸。（軸。（0，-5）和（）和（0，5）判斷橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的準(zhǔn)則：判斷橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的準(zhǔn)則： 哪個(gè)分母大哪個(gè)分母大,焦點(diǎn)就在哪條軸上焦點(diǎn)就在哪條軸上,大的分母就是大的分母就是a2.人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程變式一變式一:將將上題上題焦點(diǎn)改為焦點(diǎn)改為(0，-4)、(0，4)， 結(jié)果如何？結(jié)果如何？192522xy將將上題上題改為改為兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為兩個(gè)焦

11、點(diǎn)的距離為8 8，橢圓上一點(diǎn)橢圓上一點(diǎn)p p到兩到兩焦點(diǎn)的距離和等于焦點(diǎn)的距離和等于1010，結(jié)果如何？，結(jié)果如何？192522yx192522xy已知兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是已知兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-4,0)、(4,0)，橢圓上一點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)p到到兩焦點(diǎn)距離的和等于兩焦點(diǎn)距離的和等于10；2212 59xy2、寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在x x軸時(shí)，方程為：軸時(shí)，方程為：當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在y y軸時(shí)，方程為：軸時(shí)，方程為：人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程分組練習(xí)：分組練習(xí)：求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)與焦距求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)與焦距1615)

12、1 (22yx答：焦點(diǎn)（答：焦點(diǎn)（-3，0）（）（3，0） 焦距焦距 2c=6116925)2(22yx答：焦點(diǎn)（答：焦點(diǎn)（0，-12）（）（0，12） 焦距焦距 2c=24人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程例例1.求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及橢圓上每一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及橢圓上每一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和。的和。14) 1 (22 yx154)2(22yx434)3(22 yx解：橢圓方程具有形式12222byax其中1, 2ba因此31422bac兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為)0 , 3(),0 , 3(橢圓上每一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為42 a11625)2(22yx11)3(22

13、22mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx11624)6(22kykx練習(xí)練習(xí)1.下列方程哪些表示橢圓？下列方程哪些表示橢圓？22,ba 若是若是,則判定其焦點(diǎn)在何軸？則判定其焦點(diǎn)在何軸？并指明并指明 ，寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo).?人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 兩個(gè)焦點(diǎn)分別是 (-2，0)， (2，0)，且過(guò)點(diǎn)p1f2f),62 , 3(例例2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：法一: c=2法二: c=2 設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為:12222byax2a=p +p 2f1f人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義

14、與標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 0 ，-2）和（）和（ 0 ，2），并且經(jīng)），并且經(jīng) 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)p解解： 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，軸上， 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 )0(12222babxay c=2，且 c2= a2 - b2 4= a2 - b2 又又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)p2523， 1)()(22232225ba聯(lián)立可求得：聯(lián)立可求得：6,1022ba橢圓的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為 161022xy(法一法一)xyf1f2p2523，人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程(法

15、二法二) 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的軸上，所以設(shè)它的 標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為 由橢圓的定義知，由橢圓的定義知，.6410,2.10,10210211023)225()23()225()23(22222222cabcaa又所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.161022xy)0(12222babxay 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：（1 1）首先要判斷焦點(diǎn)位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程）首先要判斷焦點(diǎn)位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程（先（先定位）（2 2）根據(jù)橢圓定義或待定系數(shù)法求）根據(jù)橢圓定義或待定系數(shù)法求a a, ,b b （后（后定量）1.求適合下列條件的橢圓方

16、程1.a a4 4，b b3 3，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在x x軸上；軸上；2.b=1， ，焦點(diǎn)在y軸上15c3 3、若橢圓滿(mǎn)足、若橢圓滿(mǎn)足: a: a5 , c5 , c3 , 3 , 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程,10|21 pfpf如圖:求滿(mǎn)足下列條件的橢圓方程解：橢圓具有標(biāo)準(zhǔn)方程12222byax其中102 , 82ac因此91625222cab, 5, 4ac所求方程為192522yx例3. 求出剛才在實(shí)驗(yàn)中畫(huà)出的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程8|21ff人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 如圖如圖,在圓在圓 上任取一上任取一點(diǎn)點(diǎn)p，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p作

17、作x軸的垂線(xiàn)段軸的垂線(xiàn)段pd，d為為垂足當(dāng)點(diǎn)垂足當(dāng)點(diǎn)p在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線(xiàn)段線(xiàn)段pd的的中點(diǎn)中點(diǎn)m的軌跡是什么？為什么？的軌跡是什么？為什么？224xyyxo解：設(shè)所得曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為解：設(shè)所得曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）, ,圓圓 上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），），由題意可得：由題意可得：224xy2xxyy 因?yàn)橐驗(yàn)榧醇?為所求軌跡方程為所求軌跡方程所以所以224xy2244xy2214xy人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程如圖如圖,設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為別為(-5,0)，(5,0)直線(xiàn)直線(xiàn)am，bm相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是相交于

18、點(diǎn)，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)的軌跡方程，求點(diǎn)的軌跡方程49xyoabm解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y) , 因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為(-5,0) ,所以，直線(xiàn)所以，直線(xiàn)am的斜率的斜率(5);5amykxx 同理，直線(xiàn)同理，直線(xiàn)bm的斜率的斜率4(5)559yyxxx 由已知有由已知有221(5).100259xyx 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn),得點(diǎn)得點(diǎn)m的軌跡方程為的軌跡方程為(5);5bmykxx練習(xí)練習(xí)3 3. .已知方程已知方程 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在x x軸軸上的橢圓，則上的橢圓，則m的取值范圍是的取值范圍是 . .22xy+=14m(0,4) 變變1 1：已知方程已知方程 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在y y軸上的橢圓，則軸上的橢圓，則m的取值的取值范圍是范圍是 . .2 22 2x xy y+ += = 1 1m m - - 1 13 3 - - m m(1,2)人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一種方法：一種方法：二類(lèi)方程二類(lèi)方程:三個(gè)意識(shí)：三個(gè)意識(shí)：求美意識(shí)，求美意識(shí)， 求簡(jiǎn)意識(shí)。求簡(jiǎn)意識(shí)。 12222byax0 12222babxay人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上