信號與系統(tǒng)：第8講 傅里葉級數(shù)與LTI系統(tǒng)

1、第第3 3章章 周期信號的傅里葉級數(shù)表示周期信號的傅里葉級數(shù)表示 3.8-3.8-3.113.11傅里葉級數(shù)與傅里葉級數(shù)與LTILTI系統(tǒng)；系統(tǒng)； 濾波；微分、差分方程描述的濾波器濾波；微分、差分方程描述的濾波器2021-11-1信號與系統(tǒng)第8講2n離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示n成諧波關系的復指數(shù)信號的線性組合成諧波關系的復指數(shù)信號的線性組合n與連續(xù)情況不同，只有有限個諧波，周期為與連續(xù)情況不同，只有有限個諧波，周期為N，N個個n系數(shù)的確定系數(shù)的確定n離散時間周期信號傅里葉級數(shù)的分解和綜合表達式離散時間周期信號傅里葉級數(shù)的分解和綜合表達式n序列的周期性，系數(shù)

2、的周期性，序列的周期性，系數(shù)的周期性，n任意任意N個順序序列，順序系數(shù)的意義個順序序列，順序系數(shù)的意義n系數(shù)的多種表達，幅度、相位系數(shù)的多種表達，幅度、相位n周期方波的分解周期方波的分解n周期方波分解的表達式周期方波分解的表達式n有限個諧波分量對原序列的近視，沒有吉伯斯現(xiàn)象有限個諧波分量對原序列的近視，沒有吉伯斯現(xiàn)象n性質(zhì)性質(zhì)n與連續(xù)情況有差別的性質(zhì)，相乘、差分、帕斯瓦爾定理與連續(xù)情況有差別的性質(zhì)，相乘、差分、帕斯瓦爾定理n有限長（周期內(nèi)）求和有限長（周期內(nèi)）求和2021-11-1信號與系統(tǒng)第8講3n周期信號的傅里葉級數(shù)表示周期信號的傅里葉級數(shù)表示n復指數(shù)信號作為基本信號可以表示任何周期信號復

3、指數(shù)信號作為基本信號可以表示任何周期信號n系統(tǒng)與復指數(shù)信號的關系系統(tǒng)與復指數(shù)信號的關系n系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應是描述系統(tǒng)的重要特征系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應是描述系統(tǒng)的重要特征n沖激響應作為系統(tǒng)的重要特征，與系統(tǒng)對于復指沖激響應作為系統(tǒng)的重要特征，與系統(tǒng)對于復指數(shù)信號的響應有什么關系？數(shù)信號的響應有什么關系？n系統(tǒng)對不同諧波復指數(shù)信號響應的分析系統(tǒng)對不同諧波復指數(shù)信號響應的分析n系統(tǒng)響應與信號頻率的關系系統(tǒng)響應與信號頻率的關系n濾波的概念濾波的概念n濾波器的描述濾波器的描述2021-11-1信號與系統(tǒng)第8講4n復指數(shù)信號與復指數(shù)信號與LTI系統(tǒng)系統(tǒng)傅里葉級數(shù)可以表示任何離散周期信號和幾乎所有有用傅

4、里葉級數(shù)可以表示任何離散周期信號和幾乎所有有用的連續(xù)周期信號的連續(xù)周期信號LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號有特別簡單的響應形式系統(tǒng)對復指數(shù)信號有特別簡單的響應形式n連續(xù)情況連續(xù)情況n離散情況離散情況( ),( )( )( )( )( )stststx tey tH s eH sh t edth t輸入為輸出為是系統(tǒng)的單位沖激響應 , ( )( ) nnnnx nzy nH z zH zh n zh n輸入為輸出為是系統(tǒng)的單位脈沖響應2021-11-1信號與系統(tǒng)第8講5n系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應n系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)n一般情況，一般情況，s和和z都是復數(shù)都是復數(shù)n頻率響應頻率響應n頻率響應用于表示

5、系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應很簡單，頻率響應用于表示系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應很簡單，n頻率響應用于表示系統(tǒng)對周期信號的響應也很方便頻率響應用于表示系統(tǒng)對周期信號的響應也很方便n周期信號是不同諧波的復指數(shù)信號的線性組合周期信號是不同諧波的復指數(shù)信號的線性組合n頻率響應如何表示系統(tǒng)對非周期信號的響應頻率響應如何表示系統(tǒng)對非周期信號的響應( )( )( ) stkkH shedHzh k z,stj tsee對連續(xù)系統(tǒng)，考慮 為純虛數(shù)情況： ( )() ()njnjjnjnzeH zH eh n eH e對離散系統(tǒng)，考慮=1的情況： z，稱為系統(tǒng)的頻率響應( )()( )()j tH sH jh t edt

6、H j，稱為系統(tǒng)的頻率響應2021-11-1信號與系統(tǒng)第8講6n周期信號的頻率響應周期信號的頻率響應n連續(xù)信號連續(xù)信號n離散信號離散信號( ),h t如果系統(tǒng)的單位沖激響應為(2/)(2/) ()jkNjkN nkkNx ny na H ee系統(tǒng)對的響應：00( )( )()jktkkx tta H jke系統(tǒng)對的響應為：y0( )jktkkx ta e周期信號：0(2/) jknjkN nkkkNkNx na ea e周期信號：，( ),h n如果系統(tǒng)的單位脈沖響應為系統(tǒng)的頻率響應系統(tǒng)的頻率響應2021-11-1信號與系統(tǒng)第8講7n頻率響應舉例頻率響應舉例-連續(xù)情況連續(xù)情況323011223

7、3( )( )( ),( )1,1/4,1/2,1/3(3.2)jkttkkx ta eh te u ty taaaaaaaExample，計算輸出的傅里葉級數(shù)系數(shù)其中：2202 ,( )(2 )jktjktkkkkta H jkeb e由于所以：y01111111, , ,412412bbjjb3230112233( )( )( ),( )1,1/4,1/2,1/3(3.2)jkttkkx ta eh te u ty taaaaaaaExample，計算輸出的傅里葉級數(shù)系數(shù)其中：00( )( )()jktkkx tta H jke系統(tǒng)對的響應為：y223311111111, , , 2142

8、14316316bbbbjjjj3230112233( )( )( ),( )1,1/4,1/2,1/3(3.2)jkttkkx ta eh te u ty taaaaaaaExample，計算輸出的傅里葉級數(shù)系數(shù)其中：0011()11jjH je ede ejj頻率響應為：，=沖激響應收斂，沖激響應收斂，這個積分才存這個積分才存在，頻率響應在，頻率響應才存在才存在2021-11-1信號與系統(tǒng)第8講8n頻率響應舉例頻率響應舉例-連續(xù)情況（續(xù)）連續(xù)情況（續(xù)）*( )kkbby t從上面結(jié)果看，是實信號，合并系數(shù)kCkDkBkR eIm01111111, , ,412412bbjjb2233111

9、11111, , , 214214316316bbbbjjjj33221131( )121212cos(2)kjjktjktkkkkkkky tb eB eeBkt R eR e31( )12cos2sin2kkky tCktDkt 或：2021-11-1信號與系統(tǒng)第8講9n頻率響應舉例頻率響應舉例-離散情況離散情況2 cos() ,1, nnx nh na u nay nN，其中：求輸出傅里葉級數(shù)系數(shù)(2/)(2/) jN njN nx nx nee11表示為傅里葉級數(shù)：=222/(2/)2/(2/)(2/)(2/)2/2/ ()()1111jNjN njNjN njN njN njNjNy

10、 nH eeH eeeeaeae112211222/2/(2/)(2/)1111 cos( 2 /)jjjNjNjjN njjN nrereaeaey nre ereernN令：，有1122等比級數(shù)求和的等比級數(shù)求和的條件是公比小于條件是公比小于1，否則級數(shù)是，否則級數(shù)是發(fā)散的，頻率響發(fā)散的，頻率響應不存在應不存在001()1njnj njjnnH ea eaeae2021-11-1信號與系統(tǒng)第8講10n課堂練習課堂練習(2/)11( )jkT tkTat edtTT011000 2000T(2/)(2/)0110( )1(12cos)jT tjT ty taa ea etT2021-11-1

11、信號與系統(tǒng)第8講11n0.濾波的概念濾波的概念n改變信號中各頻率分量相對改變信號中各頻率分量相對大小是信號處理經(jīng)常做的。大小是信號處理經(jīng)常做的。該過程稱為濾波該過程稱為濾波n用于改變頻譜形狀的用于改變頻譜形狀的LTI系系統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為頻率形成濾波器頻率形成濾波器n衰減或消除部分頻率信號，衰減或消除部分頻率信號，無失真通過其他頻率信號稱無失真通過其他頻率信號稱為為頻率選擇性濾波器頻率選擇性濾波器n1.頻率成形濾波器頻率成形濾波器n音頻信號處理中的舉例音頻信號處理中的舉例n低頻濾波器低頻濾波器n連續(xù)可調(diào)成形濾波器頻連續(xù)可調(diào)成形濾波器頻率響應的上下限率響應的上下限n均衡器響應均衡器響應2021-11-

12、1信號與系統(tǒng)第8講12n圖像信號處理舉例圖像信號處理舉例n“對信號求導對信號求導”功能的頻率響應功能的頻率響應n求導功能的效果求導功能的效果n對信號的放大能力與頻率正比對信號的放大能力與頻率正比n突顯了高頻成分，細節(jié)增強突顯了高頻成分，細節(jié)增強( )( )/y tdx tdt( ),( )jtjtx tey tj e若：得：()Hjj頻率響應：2021-11-1信號與系統(tǒng)第8講13n離散信號的頻率成形濾波舉例離散信號的頻率成形濾波舉例n對連續(xù)兩點的平均對連續(xù)兩點的平均n“平均平均”功能的效果功能的效果n對細節(jié)平滑對細節(jié)平滑n損失了變化快的高頻信息損失了變化快的高頻信息n“平均平均”功能的頻率響

13、應功能的頻率響應0/ 21()( 1)21(1)cos(/2)2jj nnjjH enneee1 ( 1)2y nx nx n1 ( 1)2h nnn2021-11-1信號與系統(tǒng)第8講14n2.頻率選擇性濾波器頻率選擇性濾波器n對指定頻率的信號進行衰減，其他信號不變對指定頻率的信號進行衰減，其他信號不變n低通、高通、帶通低通、高通、帶通n濾波器設計的問題濾波器設計的問題n衰減頻帶內(nèi)的衰減衰減頻帶內(nèi)的衰減n是否等于是否等于0 n通帶內(nèi)是否無失真通帶內(nèi)是否無失真n能否做到等于能否做到等于1n通與阻之間的過渡通與阻之間的過渡n能否做到無過度的跳變能否做到無過度的跳變n連續(xù)時間系統(tǒng)的舉例連續(xù)時間系統(tǒng)的

14、舉例n理想低通濾波器頻率響應理想低通濾波器頻率響應1,()0,ccH j2021-11-1信號與系統(tǒng)第8講15n2.頻率選擇性濾波器頻率選擇性濾波器n離散時間選擇性濾波器離散時間選擇性濾波器n低通、高通、帶通低通、高通、帶通n與連續(xù)的差別何在？與連續(xù)的差別何在？n離散時間濾波器特點離散時間濾波器特點n頻率特性的周期性頻率特性的周期性n2為周期為周期n高頻位于高頻位于的奇數(shù)倍位置的奇數(shù)倍位置n低頻位于低頻位于的偶數(shù)倍位置的偶數(shù)倍位置2021-11-1信號與系統(tǒng)第8講16n0.微分方程的意義微分方程的意義n能描述很多實際情況；微分便于物理實現(xiàn)能描述很多實際情況；微分便于物理實現(xiàn)n1.簡單簡單RC低

15、通濾波器低通濾波器n系統(tǒng)的性質(zhì)判定系統(tǒng)的性質(zhì)判定n在松弛初始條件下為在松弛初始條件下為LTI系統(tǒng)系統(tǒng)n系統(tǒng)頻率響應系統(tǒng)頻率響應n系統(tǒng)沖激響應系統(tǒng)沖激響應n階躍響應階躍響應/1( )( )t RCh teu tRC( )( )( )ccsdvtRCvtvtdt微分方程:()()()j tj tscv tev tH j e若 ：， 有 ：1()() ()1j tj tj tdRCH jeH jeeH jdtRCj 求解得到：/( )(1) ( )t RCs teu t2021-11-1信號與系統(tǒng)第8講17n1.簡單簡單RC低通濾波器（圖解）低通濾波器（圖解）時間常數(shù)時間常數(shù)=RC=RC，越大響應達

16、到穩(wěn)定越大響應達到穩(wěn)定的時間越長的時間越長沖擊響應和沖擊響應和階躍響應階躍響應頻率響應的頻率響應的模和相位模和相位具有低通具有低通特征特征濾波器的濾波器的參數(shù)由參數(shù)由RC調(diào)整調(diào)整2021-11-1信號與系統(tǒng)第8講18n2.簡單簡單RC高通濾波器高通濾波器n輸出選擇電阻上的電壓輸出選擇電阻上的電壓n確定方程確定方程n頻率響應頻率響應n階躍響應階躍響應( )( )()j tsj trv tev tG je輸入輸出/( )( )t RCrv teu t階躍響應階躍響應頻率響應的頻率響應的模和相位模和相位具有高通具有高通特征特征濾波器的濾波器的參數(shù)由參數(shù)由RC調(diào)整調(diào)整( )( )( )rsrdvtdv

17、tRCvtRCdtdt()()j tj tj tdRCG jeG jej RCedt ()()/(1)G jj RCj RC2021-11-1信號與系統(tǒng)第8講19n0. 差分方程的意義差分方程的意義n差分濾波器實際應用廣泛；便于物理實現(xiàn)差分濾波器實際應用廣泛；便于物理實現(xiàn)n遞歸濾波器（無限長單位脈沖響應）遞歸濾波器（無限長單位脈沖響應）n非遞歸濾波器（有限長單位脈沖響應）非遞歸濾波器（有限長單位脈沖響應）n1.一階一階離散時間濾波器離散時間濾波器n方程方程n頻率響應頻率響應n單位脈沖響應單位脈沖響應n單位階躍響應單位階躍響應1 ()()()1()1j njj njj njjnj njjx ne

18、y nH eeH eeaH eeeH eae（）輸入，輸出 nh na u na=-0.6頻率響頻率響應的模和相位應的模和相位a=0.6頻頻率響應的率響應的模和相位模和相位具有低通特征具有低通特征具有高通特征具有高通特征無限長脈沖a分別為正負情況分析濾波器的濾波器的參數(shù)由參數(shù)由a調(diào)整調(diào)整 1 y nay nx n11 1nas nu na參數(shù)參數(shù)a由由1到到0到到-1變化，變化，濾波器由濾波器由窄帶低通窄帶低通到全通到到全通到窄帶高通窄帶高通2021-11-1信號與系統(tǒng)第8講20n2.離散時間濾波器離散時間濾波器n一般形式一般形式n濾波器功能濾波器功能n加權(quán)平均數(shù)據(jù)加權(quán)平均數(shù)據(jù)n舉例：舉例：3點等權(quán)平均點等權(quán)平均n系統(tǒng)方程系統(tǒng)方程n頻率響應頻率響應1 -1 1311()112cos33jjjh nnnnH eee （）（） （）這是一個低通濾波器低通和帶阻之間沒有陡峭的過度沒有可以調(diào)整濾波器性能的參數(shù) MkkNy nb x nk1 -1 13y nx nx nx n（）多點平均，擴大平均窗口，調(diào)整窗口改變低通截止