信號(hào)與系統(tǒng)：第8講 傅里葉級(jí)數(shù)與LTI系統(tǒng)

1、第第3 3章章 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示 3.8-3.8-3.113.11傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)與LTILTI系統(tǒng)；系統(tǒng)； 濾波；微分、差分方程描述的濾波器濾波；微分、差分方程描述的濾波器2021-11-1信號(hào)與系統(tǒng)第8講2n離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示n成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合n與連續(xù)情況不同，只有有限個(gè)諧波，周期為與連續(xù)情況不同，只有有限個(gè)諧波，周期為N，N個(gè)個(gè)n系數(shù)的確定系數(shù)的確定n離散時(shí)間周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的分解和綜合表達(dá)式離散時(shí)間周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的分解和綜合表達(dá)式n序列的周期性，系數(shù)

2、的周期性，序列的周期性，系數(shù)的周期性，n任意任意N個(gè)順序序列，順序系數(shù)的意義個(gè)順序序列，順序系數(shù)的意義n系數(shù)的多種表達(dá)，幅度、相位系數(shù)的多種表達(dá)，幅度、相位n周期方波的分解周期方波的分解n周期方波分解的表達(dá)式周期方波分解的表達(dá)式n有限個(gè)諧波分量對(duì)原序列的近視，沒(méi)有吉伯斯現(xiàn)象有限個(gè)諧波分量對(duì)原序列的近視，沒(méi)有吉伯斯現(xiàn)象n性質(zhì)性質(zhì)n與連續(xù)情況有差別的性質(zhì)，相乘、差分、帕斯瓦爾定理與連續(xù)情況有差別的性質(zhì)，相乘、差分、帕斯瓦爾定理n有限長(zhǎng)（周期內(nèi)）求和有限長(zhǎng)（周期內(nèi)）求和2021-11-1信號(hào)與系統(tǒng)第8講3n周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示n復(fù)指數(shù)信號(hào)作為基本信號(hào)可以表示任何周期信號(hào)復(fù)

3、指數(shù)信號(hào)作為基本信號(hào)可以表示任何周期信號(hào)n系統(tǒng)與復(fù)指數(shù)信號(hào)的關(guān)系系統(tǒng)與復(fù)指數(shù)信號(hào)的關(guān)系n系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)是描述系統(tǒng)的重要特征系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)是描述系統(tǒng)的重要特征n沖激響應(yīng)作為系統(tǒng)的重要特征，與系統(tǒng)對(duì)于復(fù)指沖激響應(yīng)作為系統(tǒng)的重要特征，與系統(tǒng)對(duì)于復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)有什么關(guān)系？數(shù)信號(hào)的響應(yīng)有什么關(guān)系？n系統(tǒng)對(duì)不同諧波復(fù)指數(shù)信號(hào)響應(yīng)的分析系統(tǒng)對(duì)不同諧波復(fù)指數(shù)信號(hào)響應(yīng)的分析n系統(tǒng)響應(yīng)與信號(hào)頻率的關(guān)系系統(tǒng)響應(yīng)與信號(hào)頻率的關(guān)系n濾波的概念濾波的概念n濾波器的描述濾波器的描述2021-11-1信號(hào)與系統(tǒng)第8講4n復(fù)指數(shù)信號(hào)與復(fù)指數(shù)信號(hào)與LTI系統(tǒng)系統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)可以表示任何離散周期信號(hào)和幾乎所有有用傅

4、里葉級(jí)數(shù)可以表示任何離散周期信號(hào)和幾乎所有有用的連續(xù)周期信號(hào)的連續(xù)周期信號(hào)LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)有特別簡(jiǎn)單的響應(yīng)形式系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)有特別簡(jiǎn)單的響應(yīng)形式n連續(xù)情況連續(xù)情況n離散情況離散情況( ),( )( )( )( )( )stststx tey tH s eH sh t edth t輸入為輸出為是系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) , ( )( ) nnnnx nzy nH z zH zh n zh n輸入為輸出為是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)2021-11-1信號(hào)與系統(tǒng)第8講5n系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)n系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)n一般情況，一般情況，s和和z都是復(fù)數(shù)都是復(fù)數(shù)n頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)n頻率響應(yīng)用于表示

5、系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)很簡(jiǎn)單，頻率響應(yīng)用于表示系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)很簡(jiǎn)單，n頻率響應(yīng)用于表示系統(tǒng)對(duì)周期信號(hào)的響應(yīng)也很方便頻率響應(yīng)用于表示系統(tǒng)對(duì)周期信號(hào)的響應(yīng)也很方便n周期信號(hào)是不同諧波的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合周期信號(hào)是不同諧波的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合n頻率響應(yīng)如何表示系統(tǒng)對(duì)非周期信號(hào)的響應(yīng)頻率響應(yīng)如何表示系統(tǒng)對(duì)非周期信號(hào)的響應(yīng)( )( )( ) stkkH shedHzh k z,stj tsee對(duì)連續(xù)系統(tǒng)，考慮 為純虛數(shù)情況： ( )() ()njnjjnjnzeH zH eh n eH e對(duì)離散系統(tǒng)，考慮=1的情況： z，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)( )()( )()j tH sH jh t edt

6、H j，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)2021-11-1信號(hào)與系統(tǒng)第8講6n周期信號(hào)的頻率響應(yīng)周期信號(hào)的頻率響應(yīng)n連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)n離散信號(hào)離散信號(hào)( ),h t如果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為(2/)(2/) ()jkNjkN nkkNx ny na H ee系統(tǒng)對(duì)的響應(yīng)：00( )( )()jktkkx tta H jke系統(tǒng)對(duì)的響應(yīng)為：y0( )jktkkx ta e周期信號(hào)：0(2/) jknjkN nkkkNkNx na ea e周期信號(hào)：，( ),h n如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)2021-11-1信號(hào)與系統(tǒng)第8講7n頻率響應(yīng)舉例頻率響應(yīng)舉例-連續(xù)情況連續(xù)情況323011223

7、3( )( )( ),( )1,1/4,1/2,1/3(3.2)jkttkkx ta eh te u ty taaaaaaaExample，計(jì)算輸出的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)其中：2202 ,( )(2 )jktjktkkkkta H jkeb e由于所以：y01111111, , ,412412bbjjb3230112233( )( )( ),( )1,1/4,1/2,1/3(3.2)jkttkkx ta eh te u ty taaaaaaaExample，計(jì)算輸出的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)其中：00( )( )()jktkkx tta H jke系統(tǒng)對(duì)的響應(yīng)為：y223311111111, , , 2142

8、14316316bbbbjjjj3230112233( )( )( ),( )1,1/4,1/2,1/3(3.2)jkttkkx ta eh te u ty taaaaaaaExample，計(jì)算輸出的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)其中：0011()11jjH je ede ejj頻率響應(yīng)為：，=沖激響應(yīng)收斂，沖激響應(yīng)收斂，這個(gè)積分才存這個(gè)積分才存在，頻率響應(yīng)在，頻率響應(yīng)才存在才存在2021-11-1信號(hào)與系統(tǒng)第8講8n頻率響應(yīng)舉例頻率響應(yīng)舉例-連續(xù)情況（續(xù)）連續(xù)情況（續(xù)）*( )kkbby t從上面結(jié)果看，是實(shí)信號(hào)，合并系數(shù)kCkDkBkR eIm01111111, , ,412412bbjjb2233111

9、11111, , , 214214316316bbbbjjjj33221131( )121212cos(2)kjjktjktkkkkkkky tb eB eeBkt R eR e31( )12cos2sin2kkky tCktDkt 或：2021-11-1信號(hào)與系統(tǒng)第8講9n頻率響應(yīng)舉例頻率響應(yīng)舉例-離散情況離散情況2 cos() ,1, nnx nh na u nay nN，其中：求輸出傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)(2/)(2/) jN njN nx nx nee11表示為傅里葉級(jí)數(shù)：=222/(2/)2/(2/)(2/)(2/)2/2/ ()()1111jNjN njNjN njN njN njNjNy

10、 nH eeH eeeeaeae112211222/2/(2/)(2/)1111 cos( 2 /)jjjNjNjjN njjN nrereaeaey nre ereernN令：，有1122等比級(jí)數(shù)求和的等比級(jí)數(shù)求和的條件是公比小于條件是公比小于1，否則級(jí)數(shù)是，否則級(jí)數(shù)是發(fā)散的，頻率響發(fā)散的，頻率響應(yīng)不存在應(yīng)不存在001()1njnj njjnnH ea eaeae2021-11-1信號(hào)與系統(tǒng)第8講10n課堂練習(xí)課堂練習(xí)(2/)11( )jkT tkTat edtTT011000 2000T(2/)(2/)0110( )1(12cos)jT tjT ty taa ea etT2021-11-1

11、信號(hào)與系統(tǒng)第8講11n0.濾波的概念濾波的概念n改變信號(hào)中各頻率分量相對(duì)改變信號(hào)中各頻率分量相對(duì)大小是信號(hào)處理經(jīng)常做的。大小是信號(hào)處理經(jīng)常做的。該過(guò)程稱為濾波該過(guò)程稱為濾波n用于改變頻譜形狀的用于改變頻譜形狀的LTI系系統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為頻率形成濾波器頻率形成濾波器n衰減或消除部分頻率信號(hào)，衰減或消除部分頻率信號(hào)，無(wú)失真通過(guò)其他頻率信號(hào)稱無(wú)失真通過(guò)其他頻率信號(hào)稱為為頻率選擇性濾波器頻率選擇性濾波器n1.頻率成形濾波器頻率成形濾波器n音頻信號(hào)處理中的舉例音頻信號(hào)處理中的舉例n低頻濾波器低頻濾波器n連續(xù)可調(diào)成形濾波器頻連續(xù)可調(diào)成形濾波器頻率響應(yīng)的上下限率響應(yīng)的上下限n均衡器響應(yīng)均衡器響應(yīng)2021-11-

12、1信號(hào)與系統(tǒng)第8講12n圖像信號(hào)處理舉例圖像信號(hào)處理舉例n“對(duì)信號(hào)求導(dǎo)對(duì)信號(hào)求導(dǎo)”功能的頻率響應(yīng)功能的頻率響應(yīng)n求導(dǎo)功能的效果求導(dǎo)功能的效果n對(duì)信號(hào)的放大能力與頻率正比對(duì)信號(hào)的放大能力與頻率正比n突顯了高頻成分，細(xì)節(jié)增強(qiáng)突顯了高頻成分，細(xì)節(jié)增強(qiáng)( )( )/y tdx tdt( ),( )jtjtx tey tj e若：得：()Hjj頻率響應(yīng)：2021-11-1信號(hào)與系統(tǒng)第8講13n離散信號(hào)的頻率成形濾波舉例離散信號(hào)的頻率成形濾波舉例n對(duì)連續(xù)兩點(diǎn)的平均對(duì)連續(xù)兩點(diǎn)的平均n“平均平均”功能的效果功能的效果n對(duì)細(xì)節(jié)平滑對(duì)細(xì)節(jié)平滑n損失了變化快的高頻信息損失了變化快的高頻信息n“平均平均”功能的頻率響

13、應(yīng)功能的頻率響應(yīng)0/ 21()( 1)21(1)cos(/2)2jj nnjjH enneee1 ( 1)2y nx nx n1 ( 1)2h nnn2021-11-1信號(hào)與系統(tǒng)第8講14n2.頻率選擇性濾波器頻率選擇性濾波器n對(duì)指定頻率的信號(hào)進(jìn)行衰減，其他信號(hào)不變對(duì)指定頻率的信號(hào)進(jìn)行衰減，其他信號(hào)不變n低通、高通、帶通低通、高通、帶通n濾波器設(shè)計(jì)的問(wèn)題濾波器設(shè)計(jì)的問(wèn)題n衰減頻帶內(nèi)的衰減衰減頻帶內(nèi)的衰減n是否等于是否等于0 n通帶內(nèi)是否無(wú)失真通帶內(nèi)是否無(wú)失真n能否做到等于能否做到等于1n通與阻之間的過(guò)渡通與阻之間的過(guò)渡n能否做到無(wú)過(guò)度的跳變能否做到無(wú)過(guò)度的跳變n連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的舉例連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的

14、舉例n理想低通濾波器頻率響應(yīng)理想低通濾波器頻率響應(yīng)1,()0,ccH j2021-11-1信號(hào)與系統(tǒng)第8講15n2.頻率選擇性濾波器頻率選擇性濾波器n離散時(shí)間選擇性濾波器離散時(shí)間選擇性濾波器n低通、高通、帶通低通、高通、帶通n與連續(xù)的差別何在？與連續(xù)的差別何在？n離散時(shí)間濾波器特點(diǎn)離散時(shí)間濾波器特點(diǎn)n頻率特性的周期性頻率特性的周期性n2為周期為周期n高頻位于高頻位于的奇數(shù)倍位置的奇數(shù)倍位置n低頻位于低頻位于的偶數(shù)倍位置的偶數(shù)倍位置2021-11-1信號(hào)與系統(tǒng)第8講16n0.微分方程的意義微分方程的意義n能描述很多實(shí)際情況；微分便于物理實(shí)現(xiàn)能描述很多實(shí)際情況；微分便于物理實(shí)現(xiàn)n1.簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單RC低

15、通濾波器低通濾波器n系統(tǒng)的性質(zhì)判定系統(tǒng)的性質(zhì)判定n在松弛初始條件下為在松弛初始條件下為L(zhǎng)TI系統(tǒng)系統(tǒng)n系統(tǒng)頻率響應(yīng)系統(tǒng)頻率響應(yīng)n系統(tǒng)沖激響應(yīng)系統(tǒng)沖激響應(yīng)n階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)/1( )( )t RCh teu tRC( )( )( )ccsdvtRCvtvtdt微分方程:()()()j tj tscv tev tH j e若 ：， 有 ：1()() ()1j tj tj tdRCH jeH jeeH jdtRCj 求解得到：/( )(1) ( )t RCs teu t2021-11-1信號(hào)與系統(tǒng)第8講17n1.簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單RC低通濾波器（圖解）低通濾波器（圖解）時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)=RC=RC，越大響應(yīng)達(dá)

16、到穩(wěn)定越大響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間越長(zhǎng)的時(shí)間越長(zhǎng)沖擊響應(yīng)和沖擊響應(yīng)和階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)頻率響應(yīng)的頻率響應(yīng)的模和相位模和相位具有低通具有低通特征特征濾波器的濾波器的參數(shù)由參數(shù)由RC調(diào)整調(diào)整2021-11-1信號(hào)與系統(tǒng)第8講18n2.簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單RC高通濾波器高通濾波器n輸出選擇電阻上的電壓輸出選擇電阻上的電壓n確定方程確定方程n頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)n階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)( )( )()j tsj trv tev tG je輸入輸出/( )( )t RCrv teu t階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)頻率響應(yīng)的頻率響應(yīng)的模和相位模和相位具有高通具有高通特征特征濾波器的濾波器的參數(shù)由參數(shù)由RC調(diào)整調(diào)整( )( )( )rsrdvtdv

17、tRCvtRCdtdt()()j tj tj tdRCG jeG jej RCedt ()()/(1)G jj RCj RC2021-11-1信號(hào)與系統(tǒng)第8講19n0. 差分方程的意義差分方程的意義n差分濾波器實(shí)際應(yīng)用廣泛；便于物理實(shí)現(xiàn)差分濾波器實(shí)際應(yīng)用廣泛；便于物理實(shí)現(xiàn)n遞歸濾波器（無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)）遞歸濾波器（無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)）n非遞歸濾波器（有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)）非遞歸濾波器（有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)）n1.一階一階離散時(shí)間濾波器離散時(shí)間濾波器n方程方程n頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)n單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)n單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)1 ()()()1()1j njj njj njjnj njjx ne

18、y nH eeH eeaH eeeH eae（）輸入，輸出 nh na u na=-0.6頻率響頻率響應(yīng)的模和相位應(yīng)的模和相位a=0.6頻頻率響應(yīng)的率響應(yīng)的模和相位模和相位具有低通特征具有低通特征具有高通特征具有高通特征無(wú)限長(zhǎng)脈沖a分別為正負(fù)情況分析濾波器的濾波器的參數(shù)由參數(shù)由a調(diào)整調(diào)整 1 y nay nx n11 1nas nu na參數(shù)參數(shù)a由由1到到0到到-1變化，變化，濾波器由濾波器由窄帶低通窄帶低通到全通到到全通到窄帶高通窄帶高通2021-11-1信號(hào)與系統(tǒng)第8講20n2.離散時(shí)間濾波器離散時(shí)間濾波器n一般形式一般形式n濾波器功能濾波器功能n加權(quán)平均數(shù)據(jù)加權(quán)平均數(shù)據(jù)n舉例：舉例：3點(diǎn)等權(quán)平均點(diǎn)等權(quán)平均n系統(tǒng)方程系統(tǒng)方程n頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)1 -1 1311()112cos33jjjh nnnnH eee （）（） （）這是一個(gè)低通濾波器低通和帶阻之間沒(méi)有陡峭的過(guò)度沒(méi)有可以調(diào)整濾波器性能的參數(shù) MkkNy nb x nk1 -1 13y nx nx nx n（）多點(diǎn)平均，擴(kuò)大平均窗口，調(diào)整窗口改變低通截止