高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)45第一章不等式的基本性質(zhì)理人教實(shí)驗(yàn)B版知識(shí)精講

1、高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：45 第一章 不等式的基本性質(zhì)（理）人教實(shí)驗(yàn)b版【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：45 / 第一章 / 不等式的基本性質(zhì)、基本不等式；不等式的解法二. 教學(xué)目的：1、鞏固不等式的基本性質(zhì)、拓展基本不等式相關(guān)知識(shí)；2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及絕對(duì)值不等式的解法三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)基本不等式的知識(shí)拓展；絕對(duì)值不等式的解法四. 知識(shí)分析【不等式的基本性質(zhì)】1、不等式的基本性質(zhì)：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，b，有，這三條基本性質(zhì)是差值比較法的理論依據(jù)2、不等式的性質(zhì)包括“單向性”和“雙向性”兩個(gè)方面【單向性】（1）（2）（3）（4）（5）（6）【雙向性】（1）（2）（3）單向性主要

2、用于證明不等式；雙向性是解不等式的基礎(chǔ)（當(dāng)然也可用于證明不等式），由于單向性（3）、（4）的逆命題都成立，所以它們也可用于解不等式，在應(yīng)用單向性（6）解無(wú)理不等式和形如的高次不等式時(shí)，若n為偶數(shù)時(shí)要注意討論3、要注意不等式性質(zhì)成立的條件例如，在應(yīng)用“”這一性質(zhì)時(shí)，有些同學(xué)要么是弱化了條件，得，要么是強(qiáng)化了條件，而得【基本不等式】定理1 設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。定理2 如果a，b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。定理3 如果a，b，c為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。定理4 （一般形式的算術(shù)幾何平均值不等式）如果，為n個(gè)正數(shù)，則，并且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。說(shuō)明：在公式及的學(xué)習(xí)中，應(yīng)注意幾點(diǎn)

3、：（1）和成立的條件是不同的，前者只要求a，b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a，b都為正數(shù)。例如，成立，而不成立。（2）關(guān)于不等式及的含義?；虮硎緡?yán)格的不等式；或表示非嚴(yán)格的不等式。不等式“”讀作c大于或等于d，其含義是“或者，或者”，等價(jià)于“c不小于d”，即若或有一個(gè)正確，則正確。不等式“”讀作c小于或等于d，其含義是“，或者”，等價(jià)于“c不大于d”，即若或c=d中有一個(gè)正確，則正確。（3）這兩個(gè)公式都是帶有等號(hào)的不等式，因此，對(duì)定理“當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立”的含義要搞清楚，它的含義是：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。對(duì)基本不等式：a，b為正數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，作類(lèi)似理解。定理1定理4的不等式中，

4、都給出了等號(hào)成立的充分必要條件，這些條件為解決某些有關(guān)優(yōu)化的極值問(wèn)題提供了理論基礎(chǔ)，因此定理中等號(hào)成立的條件要求掌握?！静坏仁降慕夥ā?1. 一元一次不等式通過(guò)同解變形，一元一次不等式可化為：，若，則其解集為。若，則其解集為。若；，解集為r；時(shí)，解集為。 2. 一元二次不等式通過(guò)同解變形，一元二次不等式可化為：或。不妨設(shè)方程的兩根為、且。（1）若，則的解集為，的解集為。（2）若，不等式的解集為，不等式的解集為。（3）當(dāng)，則不等式的解集為r，不等式的解集為。 3. 高次不等式高次不等式通過(guò)同解變形可化為：或（）。不妨設(shè)，運(yùn)用圖像法可求解。用表示每個(gè)因式的符號(hào)及符號(hào)的圖像，可決定或的解集。如圖所示

5、，時(shí)，的符號(hào)均為正，從而，所以是>0的解。依此可求出不等式0或的解集。 4. 分式不等式（1）。（2）。（3）（4）。 5. 含有絕對(duì)值的不等式的主要類(lèi)型及解法：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）?！镜湫屠}】 例1. 對(duì)于實(shí)數(shù)a、b、c，判斷下列命題的真假。（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則；（5）若，則。解析：（1）因未知c的正負(fù)或是否為零，無(wú)法確定ac與bc的大小，所以是假命題。（2）因?yàn)?，所以只有時(shí)才能正確，時(shí)，所以是假命題。變式：若，則，命題是真命題。（3），命題是真命題。（4）由性質(zhì)定理，命題是假命題。（5）例如，命題是假命題。點(diǎn)評(píng)：不等式的性質(zhì)是證明

6、不等式和解不等式的理論基礎(chǔ)，必須熟練掌握，還要注意不等式性質(zhì)定理中的條件是否為充要條件，不能用充分不必要條件的性質(zhì)定理解不等式。 例2. 實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足下列三個(gè)條件：；。請(qǐng)將a、b、c、d按照從大到小的次序排列，并證明你的結(jié)論。思路：本題條件較多，從何入手？如果兩兩比較，一般需要進(jìn)行次，但如果能找到一個(gè)合理的程序，則可減少解題的層次。解析：由式得。點(diǎn)評(píng)：由于找到了一個(gè)合理程序，上面的解法沒(méi)有浪費(fèi)一點(diǎn)筆墨，干凈利落。 例3. （1）若，試比較與的大?。唬?）設(shè)，且，試比較與的大小。思路：根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可考慮用差值比較法。解析：。，（2）根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則，可考慮用比值比較法。，

7、。當(dāng)時(shí)，則，于是。當(dāng)時(shí)，則，于是。綜上所述，對(duì)于不相等的正數(shù)a、b，都有。點(diǎn)評(píng)：實(shí)數(shù)大小的比較問(wèn)題常常利用不等式的基本性質(zhì)或“，且”來(lái)解決，比較法的關(guān)鍵是第二步的變形，一般來(lái)說(shuō)，變形越徹底，越有利于下一步的判斷。 例4. 設(shè)，且，求的取值范圍。思路：因?yàn)?，而，；又與中的a、b不是獨(dú)立的，而是相互制約的，因此，若將用和表示，則問(wèn)題得解。解析：設(shè)（m、n為待定系數(shù)），則，即，于是，得解得，故。以上解題過(guò)程簡(jiǎn)化如下：由得。點(diǎn)評(píng)：嚴(yán)格依據(jù)不等式的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則，是正確解答此類(lèi)題目的保證。 例5. 已知a、b、c，求證：（1）；（2）；思路：由不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，我們聯(lián)想到重要不等式及變形不等式；

8、，故可運(yùn)用它們進(jìn)行證明。證明：（1），同理，。三式相加得。（2），即。又，即。點(diǎn)評(píng)：證明不等式時(shí)應(yīng)根據(jù)求證式二端的結(jié)構(gòu)，合理選擇重要不等式及其變形不等式；本題的證明方法在證輪換對(duì)稱(chēng)不等式時(shí)具有一定的普遍性。 例6. 某單位決定投資3200元建一倉(cāng)庫(kù)（長(zhǎng)方體狀），高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢(qián)，正面用鐵柵，每米長(zhǎng)造價(jià)40元，兩側(cè)墻砌磚，每米長(zhǎng)造價(jià)45元，頂部每平方米造價(jià)20元，試算：（1）倉(cāng)庫(kù)面積s的最大允許值是多少？（2）為使s達(dá)到最大，而實(shí)際投資又不超過(guò)預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？解析：用字母分別表示鐵柵長(zhǎng)和一堵磚墻長(zhǎng)，再由題意得出數(shù)量關(guān)系。設(shè)鐵柵長(zhǎng)為x米，一堵磚墻長(zhǎng)為y米，則有。由題

9、意得（*）應(yīng)用二元均值不等式，得。，即。，從而。因此s最大允許值是100，取得此最大值的條件是而，由此求得，即鐵柵的長(zhǎng)應(yīng)是15米。點(diǎn)評(píng)：本題也可將代入（*），導(dǎo)出關(guān)于x的二次方程，利用判別式法求解。 例7. 解下列不等式：（1）；（2）。思路：按一元高次不等式和分式不等式的解法求解。解析：（1）解法一：，由，得，但時(shí)，符合題意，故原不等式的解集為：。解法二：原不等式變形為：，利用數(shù)軸標(biāo)根法，畫(huà)出圖示如下圖所示：原不等式的解集為：。（2）移項(xiàng)整理，將原不等式化為。0恒成立。原不等式等價(jià)于。解之，得原不等式的解集為。點(diǎn)評(píng)：（1）采用列表法和數(shù)軸標(biāo)根法沒(méi)有什么本質(zhì)區(qū)別，但用后者更簡(jiǎn)捷，要注意平方因式

10、，如的特點(diǎn)。（2）第（2）題需移項(xiàng)通分，經(jīng)因式分解變形，對(duì)出現(xiàn)的二次式注意是否有實(shí)根，以便分析不等式是否有解，從而使求解過(guò)程科學(xué)合理。另外，此題也可用數(shù)軸標(biāo)根法求解，解分式不等式時(shí)，注意分母不能為零。 例8. 解下列不等式：（1）；（2）。思路：按解絕對(duì)值不等式的方法求解。解析：（1）解法一：原不等式等價(jià)于或原不等式的解集為。解法二：，而，故原不等式等價(jià)于。原不等式的解集為。（2）或。點(diǎn)評(píng)：（1）若中的的值的范圍可確定（包括恒正或恒非負(fù)，恒負(fù)或恒非正），就可直接脫掉絕對(duì)值符號(hào)，從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程。（2）（2）小題也可將原不等式轉(zhuǎn)化為求解，但過(guò)程較繁，不如上面的解法簡(jiǎn)捷。 例9. 求不等式的解集。

11、思路：由于絕對(duì)值符號(hào)里含有對(duì)數(shù)式，故先求出對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，然后再脫掉絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行求解。解析：因?yàn)閷?duì)數(shù)必須有意義，所以先解不等式組解得。又原不等式可化為。（1）當(dāng)時(shí)，不等式化為，結(jié)合前提條件，得。（2）當(dāng)時(shí)，即，。（3）當(dāng)時(shí)，結(jié)合前提條件，得。綜合得原不等式的解集為點(diǎn)評(píng)：“零點(diǎn)分區(qū)間”的方法是解絕對(duì)值不等式最基本的方法，注意熟練掌握，另外注意，原不等式的解集是各區(qū)間解集的并集?！灸M試題】（答題時(shí)間：75分鐘） 1. 若a、b是任意實(shí)數(shù)，且，則a. b. c. 0d. 2. 若，則a. b. c. d. 3. 設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：；，其中能推出“a，b中至少有一個(gè)數(shù)大于1”的條

12、件是a. b. c. d. 4. 設(shè)a、b，若，則的最小值等于a. 1b. 3c. 2d. 4 5. 若關(guān)于x的不等式的解集是，則a的值為a. 2b. 2c. d. 6. 若不等式對(duì)一切恒成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是a. b. c. d. 7. 不等式的解集是a. b. c. d. 8. 已知三個(gè)不等式，以其中兩個(gè)做條件，余下一個(gè)做結(jié)論，則可以組成_個(gè)正確命題。 9. 已知，則與的大小關(guān)系是_。 10. 如果只有一個(gè)實(shí)數(shù)滿足，則a=_。 11. 已知，則m、n的大小關(guān)系是_。 12. 已知a、b，并且，求證：。 13. 有一種變壓器，鐵芯的截面呈正十字形，如圖所示，為了保證所需的磁通量，需要一定的截面積，如果要求正十字的面積為，應(yīng)如何設(shè)計(jì)正十字形的長(zhǎng)y與寬x，才能使正十字形的外接圓周長(zhǎng)最短（從而可使用來(lái)繞鐵芯的銅線最?。?？ 14. 已知不等式的解集為，（1）求a、b的值。（2）解不等式，。 15. 若a，b，、是方程的兩根，且，求證：，且。【試題答案】 1. d2. b3. d4. c5. b6. d7. b 8. 39. 10.