定積分求曲線的弧長(zhǎng)經(jīng)典實(shí)用

1、定積分-求曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)定義定義: 若在弧若在弧 ab 上任意作內(nèi)接折線上任意作內(nèi)接折線 ,0m1imimnmabyox當(dāng)折線段的最大當(dāng)折線段的最大 0 時(shí)時(shí),折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限 ,此極限為曲線弧此極限為曲線弧 ab 的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng) , 即即并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的.iimm1定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.( (證明略證明略) )ni 10lims機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則稱則稱定積分-求曲線的弧長(zhǎng)一、一、 弧微分弧微分)(xfy 設(shè)設(shè)在在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)

2、數(shù)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 其圖形為其圖形為 ab,弧長(zhǎng)弧長(zhǎng))(xsamsxsmmmmxmmmmmmxyx22)()(mmmm2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxab)(xfy abxoyxmxxmy1lim0mmmmx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定積分-求曲線的弧長(zhǎng)則弧長(zhǎng)微分公式為則弧長(zhǎng)微分公式為ttytxsd)()(d22 )(xs2)(1yxysd)(1d2或或22)(d)(ddyxs若曲線由參數(shù)方程表示若曲線由參數(shù)方程表示:)()(tyytxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 弧微分公式弧微分公式定積分-求曲線的弧長(zhǎng)sdyxabo(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出曲線弧由直角坐

3、標(biāo)方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素(弧微分弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長(zhǎng)因此所求弧長(zhǎng)xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定積分-求曲線的弧長(zhǎng)(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出曲線弧由參數(shù)方程給出:)()()(ttytx弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素(弧微分弧微分) :因此所求弧長(zhǎng)因此所求弧長(zhǎng)tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定積分-求曲線的弧長(zhǎng)(3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所

4、求弧長(zhǎng)因此所求弧長(zhǎng)d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得則得sd弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素(弧微分弧微分) :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定積分-求曲線的弧長(zhǎng))ch(cxccxccsh1例例9. 兩根電線桿之間的電線兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成懸鏈線成懸鏈線 .求這一段弧長(zhǎng)求這一段弧長(zhǎng) . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxch機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 cxbboy下垂下垂懸鏈線方程

5、為懸鏈線方程為定積分-求曲線的弧長(zhǎng)例例10. 求連續(xù)曲線段求連續(xù)曲線段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng).xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定積分-求曲線的弧長(zhǎng)例例11. 計(jì)算擺線計(jì)算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱一拱)20(t的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng) .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyoa2定積分-求曲線的弧長(zhǎng)d222aa例例12. 求阿基米德螺線求阿基米德螺線相應(yīng)于 02一段的弧長(zhǎng)一段的弧長(zhǎng) . 解解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as(p257 積分公式積分公式)212a21ln2102)412ln(24122aa